Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-431-90-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(w1 + w5)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label
13040.wIw3
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 90
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 431
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 14

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 431
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 206
$\mathrm{c}_2^2$ = 92
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 62
$\mathrm{c}_4$ = 11
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 14 0 x0 - 14 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 66 0 0 x1 - 64 130
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 90 0 0 0 0 90
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 85t + 259t^{2} + 85t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(38)
Coates et al. (2020) Obro(4,104)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(55)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 1469929t^{11} - 497456t^{10} - 712336t^{9} - 358960t^{8} - 155684t^{7} - 41120t^{6} - 6627t^{5} - 527t^{4} - 61t^{3} - 4t^{2} + 6t + 1 \right) \left( 2700139949886090840468407258t^{23} + 13298059498017741123318717824t^{22} + 8046882694024967362625814352t^{21} - 8804332029540318043222688340t^{20} - 14171356185137556475086247472t^{19} - 8545205623122601838508050493t^{18} - 3208433413898769883753876975t^{17} - 908712060413593884219909234t^{16} - 190920599692377837996409052t^{15} - 21030411960265236579228538t^{14} + 284916013592259342427696t^{13} + 320623498124785822562300t^{12} + 34096725003688810513680t^{11} + 728408670123202855872t^{10} - 175064063864933771710t^{9} - 15980724132946813968t^{8} - 147160930252741115t^{7} + 83617448676443260t^{6} - 2254417561814073t^{5} + 13636996230301t^{4} - 3656247996716t^{3} - 35694744808t^{2} + 917627874t - 8634654 \right)D^{8} + \left( 142884504590260018429399874844408552t^{34} + 682950497527567590937292544147566912t^{33} + 198244207351493479520381225885237728t^{32} - 887086541556100071582462191190310764t^{31} - 933477730194913761789474408569313696t^{30} - 191323221452168501232609460727505677t^{29} + 278356560587363044225057116110770794t^{28} + 306292329276683261730306042086786062t^{27} + 181980595252036744250617244567214392t^{26} + 78569641392321101803281093149935350t^{25} + 26157398893579816084110113923053556t^{24} + 6825809633389095684334318778052671t^{23} + 1387196441788502621254330742014059t^{22} + 205743832658212364541286511372731t^{21} + 18675620532280725659346619914520t^{20} + 647729859438046010968334190990t^{19} + 133392190452230072727795988919t^{18} + 108625233099781929753651961198t^{17} + 35280961103499333591165669980t^{16} + 6161654651235494201237760587t^{15} + 453695608235851516204176094t^{14} - 27822018992935395242181744t^{13} - 8488102608301816522950796t^{12} - 668127277479177222100504t^{11} - 2246108827854416626466t^{10} + 3653922842882373092715t^{9} + 248360244890511662903t^{8} - 1426568960309556133t^{7} - 1003979420559332344t^{6} + 26686325918096932t^{5} - 62311064812385t^{4} + 37196097180554t^{3} + 310413861864t^{2} - 7289215068t + 60442578 \right)D^{7} + \left( 2167081652952276946179231435140196372t^{34} + 10712364784572445082470700338154845760t^{33} + 4003533210247940977914401862053394256t^{32} - 12489659560138489527547065824135294372t^{31} - 14189149946713564119700257932614417916t^{30} - 4120378983172272571509071574507295687t^{29} + 2386560519033856050713470984763546282t^{28} + 3004817567934220467933367578838866874t^{27} + 1731798664613875868522092511106570932t^{26} + 708297503251588037113270445864820666t^{25} + 218216834777576221499924299149023920t^{24} + 50639829557155664679957572099444361t^{23} + 8627136499905097789078616260241109t^{22} + 917114589769693703410988724786825t^{21} - 3545525903454062963757128898808t^{20} - 26196383344405958462717747781328t^{19} - 7180402692206074278062737086411t^{18} - 1475492997530988419651038307916t^{17} - 275395448379975658015730186988t^{16} - 40777536207003240561337969957t^{15} - 3037464045425526121524317518t^{14} + 146382751024399313494932626t^{13} + 49849037859199636203065854t^{12} + 4071257977510320087110052t^{11} + 49345285654168373797640t^{10} - 16661457171059371459967t^{9} - 1184762051059412009007t^{8} - 5367498142405828305t^{7} + 4873907910802433258t^{6} - 114602509575733900t^{5} + 467584859297583t^{4} - 127163285570354t^{3} - 994605176836t^{2} + 20395828476t - 146789118 \right)D^{6} + \left( 18003447578372762322104384230395477552t^{34} + 91462618698285203016903974591867394176t^{33} + 40045889914868519371691336601086147824t^{32} - 98907549347415146737002688089719198068t^{31} - 122075488962024134351362356551417173436t^{30} - 46395868284454255148061008834136532431t^{29} + 5961655164935989513155568421038362332t^{28} + 14701276076899254688137280785213638658t^{27} + 8907330677972702635836941516133784336t^{26} + 3645042410349911306418331460800973650t^{25} + 1076529633197174016904305701477570560t^{24} + 223235489795256170719917392585258713t^{23} + 30249748661667624519513441526146151t^{22} + 1704431533825616213154338820956219t^{21} - 261753207659466360975482367776754t^{20} - 56704730564015589324631190198854t^{19} + 2882054637697336727017710706087t^{18} + 3282870386793896501882144849560t^{17} + 855490086000495866146644503954t^{16} + 137781904032836585752110865633t^{15} + 11250587425868324643608327018t^{14} - 258940885616251256468043376t^{13} - 135848771976331519359192294t^{12} - 11607562473210822547979834t^{11} - 202103365094684563609758t^{10} + 32989690005020908810043t^{9} + 2299742638318814797047t^{8} + 33731669424994372243t^{7} - 9192056470865459448t^{6} + 205396674893169178t^{5} - 827196635493763t^{4} + 182595174288866t^{3} + 1224839671992t^{2} - 23420044248t + 146789118 \right)D^{5} + \left( 89100395654076309825599938621725766218t^{34} + 462770211792990017350499402562623391392t^{33} + 225483135278355341509799230380395902144t^{32} - 476137223271996550846117869118017470024t^{31} - 634457101437272749777694289161676038012t^{30} - 290168745256508776939770981951122201244t^{29} - 29266553485120218168471058714752709709t^{28} + 34669504920556575276870896964185687830t^{27} + 26128567994724113200609828915866795346t^{26} + 11526625873180855157258949600791085832t^{25} + 3399177089096818895213712732733475724t^{24} + 637984518021951465888711673602500398t^{23} + 64894061896324318998685873287669331t^{22} - 1064468069589122565645715043163177t^{21} - 1609579880388787604999460817959519t^{20} - 295982826975022166550326161156586t^{19} - 34056624778723173338705778238437t^{18} - 3733448784829582303421679635923t^{17} - 625601957920557584896970055989t^{16} - 116752977771673538797524538980t^{15} - 11773109140751398134743617658t^{14} + 61263044029813108557416180t^{13} + 122367383728111869930550801t^{12} + 11717148591286903090992925t^{11} + 245000443220859939309238t^{10} - 23130614179053262053395t^{9} - 1384232369592637553389t^{8} - 40312534463734732451t^{7} + 5613647148073900550t^{6} - 133766091483861661t^{5} + 681964788278564t^{4} - 94318867847024t^{3} - 475070454472t^{2} + 9444205110t - 51807924 \right)D^{4} + 2 t \left( 133525569539597987222274183042099791844t^{33} + 705852940062157995715963807871825820064t^{32} + 370716506934450005182784489443454801336t^{31} - 703811185393851351174274134742951421888t^{30} - 1000370362569067645973131518025644141562t^{29} - 518135274041175922142555724038260844030t^{28} - 116656558677722029618459607944752775971t^{27} + 8982126034015802130323613258138954840t^{26} + 20669525832185013834781088006903874220t^{25} + 11191906908586184547077220808168153356t^{24} + 3462309404314285466718904573600210750t^{23} + 601788881437469947228129780936355904t^{22} + 43323020149819044803584136440601835t^{21} - 5022642037214622720641923212497003t^{20} - 1718627368099098581574357806647379t^{19} - 195206926446096792025757781666156t^{18} - 5500532345909803958461880280811t^{17} + 1617676257071229548840182358845t^{16} + 269319817871299415506267000913t^{15} + 16463544446517052427919201582t^{14} - 476792838953461780974967728t^{13} - 169630547218272322296635852t^{12} - 9150341753129836993106127t^{11} + 119560685683254441648969t^{10} + 29726313763021097893724t^{9} + 1015006141176325708165t^{8} + 21039287079150446777t^{7} + 1777462512700666065t^{6} - 18237490965573024t^{5} - 240039218493679t^{4} - 5519766908766t^{3} + 242281486882t^{2} - 801960552t + 1702890 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 58604476459096786169980662555975402071t^{32} + 314107117714657596848493868640363822480t^{31} + 174017342318694929394134717056404231048t^{30} - 307334570536165696743072553245311169916t^{29} - 459725077140731442355384645332909767938t^{28} - 258822624202603618331761819668818410590t^{27} - 76787583966986557108636918924978894487t^{26} - 10229145411704408129474499533203153539t^{25} + 3342171618102058808883934105419919611t^{24} + 3164138372472972081029931042432227544t^{23} + 1092854147837181117988081832997269618t^{22} + 182352385842603009452330378508660077t^{21} + 9325601497685717040813745052654510t^{20} - 2186149041199455712106057911560448t^{19} - 491547399399010245471631271165304t^{18} - 32171957556714575351280155121106t^{17} + 3074774924664817163672221769285t^{16} + 939974520539346464349634936478t^{15} + 92738009178466656620863588616t^{14} + 1863150482817802051156487794t^{13} - 529274893350423477762713356t^{12} - 67678425436057754956458682t^{11} - 2028152898542087146111263t^{10} + 78406391456694837496825t^{9} + 7325539524750700519683t^{8} + 350739401391983889116t^{7} + 12911129274623986936t^{6} + 218360516918314163t^{5} - 6944863006369240t^{4} + 42844702253788t^{3} + 820005028468t^{2} + 31092194298t - 120885156 \right)D^{2} + 16 t ^{2} \left( 27183776998296968506193326189148727018t^{32} + 147226746900267803712000538867646737584t^{31} + 84693376372229813475669512090636857476t^{30} - 142485598239644255238894062932755469612t^{29} - 221442441265409931173901960001130890049t^{28} - 131780820802042828622613645026467805856t^{27} - 44732488671400634170512780498290377268t^{26} - 9586328021760544238046767583401443714t^{25} - 332184544079633215354537509369931742t^{24} + 923813648072993572341531783260130488t^{23} + 384959610795048567053524856098075649t^{22} + 64147670554259250630119398689133755t^{21} + 2632377556313572699682448176818727t^{20} - 822724277641997889822413345185160t^{19} - 140113465335876267671466134187009t^{18} - 487149106997231189636026745453t^{17} + 2717482798991001917964522340301t^{16} + 470794388270361869854816413962t^{15} + 33759661277058251180851228576t^{14} - 650921860790659467448474170t^{13} - 313929802784009476381117203t^{12} - 27534273269573123672323153t^{11} - 406586473946256585021026t^{10} + 37441467562619735413953t^{9} + 1927458790814741431729t^{8} + 139853992756941369131t^{7} + 5436292473231973074t^{6} + 18093904618277445t^{5} - 2709487511582996t^{4} + 27648682221420t^{3} + 434945050176t^{2} + 4561188090t - 17269308 \right)D + 192 t ^{3} \left( 833492943443183440838165936592383220t^{31} + 4547508736599528297009739218910178160t^{30} + 2683033714420727936105647509422756940t^{29} - 4374248670561047596510723188616954780t^{28} - 6981013054808268294598457824022047403t^{27} - 4304564818488743183623903730340065376t^{26} - 1570954333615241190960052177966731976t^{25} - 397202977319088647779791232434835412t^{24} - 49439652826338735503154053840948234t^{23} + 17377642032019886338580261201739680t^{22} + 9505436026998080237989342486922345t^{21} + 1626734998485178660124054570848427t^{20} + 64199497233792785055715830481122t^{19} - 19319738092907002323985121382334t^{18} - 2554876281328050977885080686487t^{17} + 233614427552965933688966557977t^{16} + 102871710396632999563512034532t^{15} + 14575790246706278453969680858t^{14} + 834514116303487052842822838t^{13} - 46066212298779506475976229t^{12} - 10420769561204096625538506t^{11} - 750356610964798989674881t^{10} - 4336626712464253175365t^{9} + 1083930124810771482117t^{8} + 39130028160482667347t^{7} + 3858017728988267882t^{6} + 132639085602369003t^{5} - 52581733171362t^{4} - 70124367447514t^{3} + 746887925487t^{2} + 6891986808t + 45244656 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4

|λ| = 6.682293 λ ≈ 6.682293; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.085446 - 4.740793i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.085446 + 4.740793i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.00099 - 1.093164i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.00099 + 1.093164i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.481955 - 2.940908i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.481955 + 2.940908i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.864854; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.0307307 - 2.837392i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.0307307 + 2.837392i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.9160987; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
11
Spectral radius
$6.68229264$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$6.682293$11
$2.085446 - 4.740793\mathrm{i}$11
$2.085446 + 4.740793\mathrm{i}$11
$-5.00099 - 1.093164\mathrm{i}$11
$-5.00099 + 1.093164\mathrm{i}$11
$-2.481955 - 2.940908\mathrm{i}$11
$-2.481955 + 2.940908\mathrm{i}$11
$-2.864854$11
$0.0307307 - 2.837392\mathrm{i}$11
$0.0307307 + 2.837392\mathrm{i}$11
$0.9160987$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{11} + 6 \lambda^{10} - 4 \lambda^{9} - 61 \lambda^{8} - 527 \lambda^{7} - 6627 \lambda^{6} - 41120 \lambda^{5} - 155684 \lambda^{4} - 358960 \lambda^{3} - 712336 \lambda^{2} - 497456 \lambda + 1469929\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{11} + 6 \lambda^{10} - 4 \lambda^{9} - 61 \lambda^{8} - 527 \lambda^{7} - 6627 \lambda^{6} - 41120 \lambda^{5} - 155684 \lambda^{4} - 358960 \lambda^{3} - 712336 \lambda^{2} - 497456 \lambda + 1469929\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$