Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-432-90-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ3P3 × ℙ6P6
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11
Bundle
E^(w5 + w6) + E^(w2 + w6) + E^(w2 + w3)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + Q_1 box O_3(1) + Q_1 box O_2(1)
ZL62 label
2030600.wYwDwA
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;4;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 90
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 432
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 14

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 432
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 204
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 14 0 x0 - 14 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 65 0 0 x1 - 67 132
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 90 0 0 0 0 90
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 85t + 260t^{2} + 85t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(47)
Coates et al. (2020) Obro(4,45)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(80)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 964627t^{12} - 2154932t^{11} + 1282648t^{10} + 138373t^{9} - 65793t^{8} + 79796t^{7} + 7525t^{6} - 371t^{5} + 463t^{4} + 106t^{3} + 24t^{2} - 2t - 1 \right) \left( 27599098116604573670732707602820t^{30} - 37095565214916856035186593626832t^{29} + 44795660494959850827685073294312t^{28} - 12037257978931506053813302576232t^{27} - 24270217040658655494738479266070t^{26} + 3567918087052249056315234715600t^{25} + 5979543028581335812665417435550t^{24} + 10920339185565679991565138043940t^{23} - 859908658584144470076820680622t^{22} - 1361704348498090621002491252502t^{21} + 174188081527800302725175769752t^{20} - 192917026457543250355795966850t^{19} + 56747996143582532657449431339t^{18} + 22246743215057076738986995778t^{17} + 265824395321153780960787890t^{16} - 373567166812625622178868994t^{15} + 100936680281614840249242347t^{14} - 14446637119289090350397888t^{13} - 570951262932824931996967t^{12} + 161485797968691368616852t^{11} + 20987390937379103417407t^{10} + 3927267992979397000599t^{9} + 103903296430452288792t^{8} + 41639225136176203052t^{7} + 723857548441466945t^{6} + 70370735685740260t^{5} + 2229886104067355t^{4} + 40591559921417t^{3} + 3084575929879t^{2} + 3029226928t + 105283584 \right)D^{8} + \left( 958422067881333123106003663324276133040t^{42} - 3108210591181403091688776967066195898768t^{41} + 4969711245414968648654529425966898676496t^{40} - 4662630723648628239048235435472652035104t^{39} + 1294100598526833398246365335004640634864t^{38} + 1671376708403506474333630866146222359216t^{37} - 995448774344169245381002475456727129364t^{36} + 88175496945619067502507251315619046496t^{35} - 648402467112225113226786273763553501864t^{34} + 441953499303650870768864490909238914766t^{33} + 119802287813557239691507809647610526656t^{32} - 92304862387137901194814771060944058398t^{31} + 34996358394099586219558220349507497994t^{30} - 10542528441319005341236866404034277136t^{29} - 2149220937965328902552096034665070318t^{28} + 1634340016611035228339690945889933080t^{27} - 201329938587229266952866208640154936t^{26} - 819553557568238730592870496933338t^{25} + 45812263880453153132747493368710406t^{24} + 3631258325160847500578481406846238t^{23} - 955001945074513778408677098659194t^{22} + 170421496659835517104650112545779t^{21} - 41091543256832437390623766366348t^{20} - 12602327480482335244495091783712t^{19} + 2642465849287172171971842815167t^{18} + 609680644567956730761453057231t^{17} - 13912293644039879972377239768t^{16} - 1412047003129038791840243142t^{15} + 1910737851756562702584305557t^{14} - 278585671638728133571102783t^{13} - 6972213646421551383682713t^{12} + 3152380856846921730966765t^{11} + 427631294113331501049240t^{10} + 60456128708321121196372t^{9} + 2104606350119219264675t^{8} + 553833753995775336867t^{7} + 9558605277179525806t^{6} + 798132329775813816t^{5} + 22842939201457540t^{4} + 378159770962477t^{3} + 24697826728984t^{2} + 21204588496t + 631701504 \right)D^{7} + \left( 14536068029533552367107722227084854684440t^{42} - 43020902221077882060219884328434742049856t^{41} + 66604835126191379545253539299924817088560t^{40} - 60258339171805390777493848435761395865848t^{39} + 11507303002750466979735869684444191037244t^{38} + 23527537515848374368655940701918904216928t^{37} - 9845915579280635265104093472701380063836t^{36} + 2042960883598493726694975552005081408452t^{35} - 10819204992740741304923993415929275997208t^{34} + 5585569279627706991867149285365436460078t^{33} + 1840103593156268285194201657994908085700t^{32} - 1302339562193306391995165545893239842758t^{31} + 444091927665586866716531429805235752848t^{30} - 174282170280109953840046177785070318464t^{29} - 17238546477713080291098275391096822846t^{28} + 21986848945475820516808396719294907598t^{27} - 114952033494945456742269223180671658t^{26} - 322552946462816229352593343587103110t^{25} + 344240564909929811704955572233853976t^{24} + 12539458111645356354458398729341982t^{23} - 8563477429543240862041359731076318t^{22} + 1640688905565480941114600836710757t^{21} - 105786641638777494700085294744072t^{20} + 28469220840342452443999525553646t^{19} - 13195541396670520758528179894925t^{18} - 4034349839697353677255808246585t^{17} + 197639742838763772879445388116t^{16} + 58812807526567816391155310098t^{15} - 11603244391507045140298703161t^{14} + 1872914498667065875730093301t^{13} + 26172418708366549247929339t^{12} - 17275802517777604982164217t^{11} - 2071927826332908280663234t^{10} - 323733802703917876905394t^{9} - 7344285726350014902301t^{8} - 2471310207136754341081t^{7} - 37238448856993749964t^{6} - 2822429787281596294t^{5} - 72555521031192792t^{4} - 1150980882018861t^{3} - 67451376357000t^{2} - 41190155440t - 1368686592 \right)D^{6} + \left( 120761180553047973511356461578858792763040t^{42} - 328706442380753981234052884676919730000672t^{41} + 496280196724270206585164066830361065575392t^{40} - 428259067252914900087834282952670295723472t^{39} + 39528725292758255726900387772451735862040t^{38} + 180830389290894044374940820813575629334368t^{37} - 46366553034555494650230986336557344255520t^{36} + 25809297023186123535772718668072830809408t^{35} - 93881422408054995825169006164570920716496t^{34} + 35451497756089216620531735573225557978518t^{33} + 15521525654408290328608605025469591502276t^{32} - 10017902770608156519243955003225678619034t^{31} + 3694943594651227446646389497599560950742t^{30} - 1440757858542327724985182744827942908360t^{29} - 121189882714979497623883042234911017022t^{28} + 160441533630841534784026897119728379296t^{27} + 10863940412769203647839291013174150434t^{26} - 4906697366251463520608691820155465994t^{25} + 1824288604462480480659603936835608896t^{24} + 30398110714893567913710031026476264t^{23} - 54943834414229732704075855255582900t^{22} + 8021032345916697686672590102924403t^{21} - 349484691823407351060395449239250t^{20} - 130411107926771459425267873967538t^{19} + 70618705674018336825297305294749t^{18} + 19698939197906182790053375672617t^{17} + 949908869948403754162900237182t^{16} - 163252235486179367714998448322t^{15} + 51946695274488949392557323525t^{14} - 3659983459354965706690861657t^{13} + 70682466982315376578621059t^{12} + 43400956803602605966875081t^{11} + 4365240322042043395717896t^{10} + 707786331079998116804578t^{9} + 11545819182762885681527t^{8} + 4608678428739683196927t^{7} + 67267573022305368196t^{6} + 4190895139425629976t^{5} + 88369842658218022t^{4} + 1552123386465055t^{3} + 73639900520494t^{2} + 31734739120t + 1263403008 \right)D^{5} + \left( 597656027829667980016852117721296525294860t^{42} - 1509156121687585617633279678771637576223936t^{41} + 2235645599078346180036613046256949725413272t^{40} - 1827591570469469910548248516725606660309236t^{39} - 27984001659368468804119721645648628714078t^{38} + 818378940229424397570500034145441414846896t^{37} - 85288820123729828521202044076248697844810t^{36} + 177320521726009078180484176459955831683954t^{35} - 467540800697913553174274292961509689340432t^{34} + 123409959794485736758523907834374375864526t^{33} + 77931878807994159900993635707789978577388t^{32} - 46334042329836714080110602685651682261916t^{31} + 19385237240996899130184856750511219024987t^{30} - 6729790886705180594690834671705777212606t^{29} - 763632348475182858669363536222598901638t^{28} + 705561074798062668806782635488199232379t^{27} + 81472593018386603999873264193084472172t^{26} - 29979342831429808634017710836535521214t^{25} + 6920980632965863327560860804489276210t^{24} - 256042054826368398389555531143875650t^{23} - 162625416152251757007225163756320915t^{22} + 35326991476154275470715748361081775t^{21} - 1649676236108299106732133104112110t^{20} + 500725306706133622198863895545774t^{19} - 6209517101311063689095973225237t^{18} - 11388572016823215354021763095125t^{17} + 2365579293373976288108274163555t^{16} + 282457066458911999880579706930t^{15} - 30288787713674279137604919580t^{14} + 4686203343400881533773340727t^{13} - 261951907787135589339295967t^{12} - 27881611084232174191344620t^{11} - 3454095069181878888855532t^{10} - 524643218887957007131933t^{9} - 6660379055452967845696t^{8} - 3077188836516805631257t^{7} - 47778900831586076482t^{6} - 2351743409828335222t^{5} - 38507112915048291t^{4} - 813537231780348t^{3} - 27334360885329t^{2} - 8518395424t - 421134336 \right)D^{4} + 2 t \left( 895645422435105803542560423376536046325880t^{41} - 2118021646107736085198999411055598151847496t^{40} + 3094192956263446960469280280914612571629352t^{39} - 2389329651982585651387809252803538191771528t^{38} - 305413339376576139858487637666019649774932t^{37} + 1108448893479151016649146182784152162902008t^{36} + 45970694835420599165867926272885567066754t^{35} + 343418411957510288403519634862261310050176t^{34} - 686816362219211933054083055152138112351644t^{33} + 117548891180902480033017712009687981195622t^{32} + 117516722947134422485604627749093217564382t^{31} - 65648563111884296715067641069790050575748t^{30} + 30480487213833810450190719147459354272880t^{29} - 9105066580676588152297351332688483613860t^{28} - 1556696795508705442836413504496126911250t^{27} + 957533301367438338160557283832615976736t^{26} + 137291958913088882289882520802358579111t^{25} - 49466464064923902789066256338905369210t^{24} + 9887241338213474675694075685195689457t^{23} - 572351709340395029059726363240279811t^{22} - 160960816502185915509202603311440981t^{21} + 30409771654852854298441765889284777t^{20} - 645625434401249185210582026742013t^{19} + 801810873028291511855563124894097t^{18} + 83136905696136295639785571134194t^{17} + 10873337908678539183032398605588t^{16} + 2449894597011648142725936388509t^{15} + 31154334709117018183060171848t^{14} + 36199006386598362275680751975t^{13} + 1744557506715146459531540596t^{12} + 85465832017396375073457807t^{11} + 1997224274245797446084025t^{10} - 27344855195876184980808t^{9} + 10221374111038097103845t^{8} - 269224785801833924345t^{7} + 2419544929535653911t^{6} + 1387617714766368983t^{5} + 14742098885047404t^{4} - 255660673619965t^{3} + 570545856842t^{2} + 8710737413t + 4508672 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 786198946850101346067872060600811069022340t^{40} - 1759005564588268169531703044715512675906416t^{39} + 2544366700189926860796974342262864882002520t^{38} - 1858078060099983195068182405875166179267508t^{37} - 445451403441143792167112400250777894933826t^{36} + 873674501995194996064950376047238265924936t^{35} + 158879724730438509184902396169417998232646t^{34} + 367852344281849740618209624070216978040774t^{33} - 581754343341860855823575426491292920886634t^{32} + 55545224580164743931172783518256787948122t^{31} + 102799219063308987858460068677134766231954t^{30} - 55052038456606582330204989728616098721778t^{29} + 27417977494369837669038236068901706463449t^{28} - 6950498278691016500873760939832486368708t^{27} - 1763618874827868383138846073801040012912t^{26} + 775987728572421756095775001138542239563t^{25} + 123865777606899072291969233464694303850t^{24} - 46115264015933783988892402837937780830t^{23} + 8997075878479328065040204809081171747t^{22} - 626001928234839373337191353874532080t^{21} - 91185388630106928116309974441940842t^{20} + 17495741807898704359737231860219712t^{19} + 205041853794256479681709384419155t^{18} + 925301576543836847546794315765459t^{17} + 56650326514211845200109291293619t^{16} + 6828472918994458815757102341304t^{15} + 1716594647815148290859261028640t^{14} + 17256995748748448314309503115t^{13} + 26826877345679250890506652500t^{12} + 1001925664611026697986290822t^{11} + 56822357557010013346021385t^{10} + 903394326242977545586507t^{9} + 71144234522888343193305t^{8} + 3506727112389198198170t^{7} + 6889396889545631440t^{6} + 9097075334289999620t^{5} + 820734611693134739t^{4} + 2654300081582312t^{3} + 14109483938312t^{2} - 98329076288t + 842268672 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 121559865609615751113944797964962356207240t^{39} - 260127942274955545830940719631915481842632t^{38} + 373711595724624361963910062851990323036232t^{37} - 259459209042517768737217969891959609710352t^{36} - 89193629643301975151265411118925615293940t^{35} + 121615139816785088844445086320336534844336t^{34} + 38200876791530844763516275852466005081794t^{33} + 66014615084774284036749976127806925759360t^{32} - 86309179216275476802105298738942419731382t^{31} + 3002839233278784266565175562331286652510t^{30} + 15735291495406112843891874851828494414252t^{29} - 8208764268561127712650489610164668826438t^{28} + 4267452809049643320708179519100549740332t^{27} - 913433429985133603169942917064626064790t^{26} - 328824082366845662146190249733248999562t^{25} + 112458950861561853387057257158459056818t^{24} + 19091553548796738778140355510491205071t^{23} - 7445016758558652350432050494798894816t^{22} + 1471168698336186623409064445890228390t^{21} - 110377522285751998336764456395633031t^{20} - 8916900827700129714890393679473466t^{19} + 2080513549815182321115003713047530t^{18} + 87827978542021209874632994232862t^{17} + 160989824148490141557723932596184t^{16} + 6368843994288837860669271386190t^{15} + 966433534104229605468948535983t^{14} + 235211820332226362000561599658t^{13} + 1376306452494964518172413809t^{12} + 3412819777040777910058460691t^{11} + 104228201893934969235564341t^{10} + 6852923706814927971722699t^{9} + 160765618597648265065746t^{8} + 13043200746216492993407t^{7} + 386116379731403496444t^{6} + 18565610159416444095t^{5} + 1427468626617379812t^{4} + 78643401474831216t^{3} + 72954864813602t^{2} + 9088400056694t - 10524064320 \right)D + 288 t ^{3} \left( 3727196930649628812078903135149962739600t^{39} - 7717479235976094778877673401547640075480t^{38} + 11037633102330492121759767777337747636680t^{37} - 7355166542611496312025066167389706895880t^{36} - 3168130860617756489335428202220588371192t^{35} + 3408011383978151161400371372787692067240t^{34} + 1462002373765239460201689283197463402702t^{33} + 2244129357807699095840422745055549779332t^{32} - 2549271286986692283129423510640618854474t^{31} - 28227237993396939487709301148801175602t^{30} + 476908697895532620757225469298233521546t^{29} - 245041125835538995903552467068069459870t^{28} + 130579944050527770577217159994852163054t^{27} - 23879828493701674529104425419244188362t^{26} - 11436117972191810693816783368431847381t^{25} + 3281193355553591983511551077560593228t^{24} + 579478786243377434905256696285189609t^{23} - 235405329981932125101830286906587551t^{22} + 47288761276379860093177978161261755t^{21} - 3682422844744748042412826550861083t^{20} - 167342701009690003677398356558746t^{19} + 57531153169392744670960891666873t^{18} + 3128134566961476136607538444613t^{17} + 5179908955084324029535359687643t^{16} + 139763100903352112252994419707t^{15} + 31027993724226681180712861317t^{14} + 6718164464941757005764548134t^{13} + 11881342645431014662399302t^{12} + 86716749175459005111818420t^{11} + 2259257953181719002304041t^{10} + 174410623434911422717651t^{9} + 6301248700770234826526t^{8} + 369734964694200277400t^{7} + 15168044111290518824t^{6} + 825233704746913505t^{5} + 39202279913446340t^{4} + 1501942482239274t^{3} + 675700382448t^{2} + 243467808192t - 177666048 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 3, 5)

|λ| = 6.699961 λ ≈ 6.699961; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.101019 - 4.762938i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.101019 + 4.762938i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.061398 - 0.8972565i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.061398 + 0.8972565i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.541305 - 3.063029i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.541305 + 3.063029i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.929852; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.9847098 - 2.411286i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.9847098 + 2.411286i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7513472 - 0.2722207i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7513472 + 0.2722207i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$6.69996105$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$6.699961$11
$-2.101019 - 4.762938\mathrm{i}$11
$-2.101019 + 4.762938\mathrm{i}$11
$-5.061398 - 0.8972565\mathrm{i}$11
$-5.061398 + 0.8972565\mathrm{i}$11
$2.541305 - 3.063029\mathrm{i}$11
$2.541305 + 3.063029\mathrm{i}$11
$-2.929852$11
$0.9847098 - 2.411286\mathrm{i}$11
$0.9847098 + 2.411286\mathrm{i}$11
$0.7513472 - 0.2722207\mathrm{i}$11
$0.7513472 + 0.2722207\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 2 \lambda^{11} - 24 \lambda^{10} - 106 \lambda^{9} - 463 \lambda^{8} + 371 \lambda^{7} - 7525 \lambda^{6} - 79796 \lambda^{5} + 65793 \lambda^{4} - 138373 \lambda^{3} - 1282648 \lambda^{2} + 2154932 \lambda - 964627\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 2 \lambda^{11} - 24 \lambda^{10} - 106 \lambda^{9} - 463 \lambda^{8} + 371 \lambda^{7} - 7525 \lambda^{6} - 79796 \lambda^{5} + 65793 \lambda^{4} - 138373 \lambda^{3} - 1282648 \lambda^{2} + 2154932 \lambda - 964627\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$