Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-432-90-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ7P7
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11
Bundle
2 copies of E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle
2 copies of Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
130700.wRwRw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;8) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;6) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 90
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 432
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 14

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 432
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 204
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 14 0 x0 - 14 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 65 0 0 x1 - 67 132
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 90 0 0 0 0 90
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 85t + 260t^{2} + 85t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(49)
Coates et al. (2020) P1 x MM(2,33)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(83)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 11t^{3} + 10t^{2} + 5t - 1 \right) \left( 37t^{3} + 34t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 51t^{3} - 26t^{2} + 5t - 1 \right) \left( 67t^{3} + 2t^{2} - 7t - 1 \right) \left( 7465011232420673610135038290t^{30} + 22538948843351120187792698160t^{29} + 34124550761355999895190190132t^{28} + 8676779295235972400108112432t^{27} + 14267215960145279033504361848t^{26} + 31583475977796833810474726220t^{25} + 20787511149249104743022603116t^{24} + 7171066909710550484075095324t^{23} - 824704182542385991668453010t^{22} - 1821510827930697430493822324t^{21} - 940416517148045049552078528t^{20} - 328187785682936221139777180t^{19} - 95626934088076216402399915t^{18} - 13802172486635217037475040t^{17} - 3822970690125301851909441t^{16} - 412016223770756048993387t^{15} + 6489159288973529826497t^{14} + 3533181391992256407850t^{13} + 1965755977268920688696t^{12} + 276138314740649906326t^{11} - 36746098460944654039t^{10} + 2389723788023495314t^{9} - 876018192853021091t^{8} - 49733743372179097t^{7} - 3343657931347662t^{6} - 88392790508616t^{5} - 3781760015151t^{4} - 68518909341t^{3} - 4069042047t^{2} - 8457372t - 746496 \right)D^{8} + \left( 373742386421070484166882051362698360t^{42} + 1579632668015113023790303679463952080t^{41} + 3257844046034174713768576675428353544t^{40} + 2934661682096591774758130497330074144t^{39} + 1898403039049847532196198486491754320t^{38} + 2617319327387733036511531807782120100t^{37} + 3410310342722388333182081357867826616t^{36} + 2441716002307701222671276010910085964t^{35} + 675906760613376789676528156060828944t^{34} - 299372781708176667278834780185765156t^{33} - 381069674288645149467747037241223016t^{32} - 175832367965861965272053005102917292t^{31} - 37778596399312839802572567695650760t^{30} + 1748589217205837288884497078993572t^{29} + 4739551269802312068049200429645570t^{28} + 2167546801352513489151533996182893t^{27} + 571394364137573026023946388393932t^{26} + 96288562287584615596977450725498t^{25} + 26811645550651347905191010250280t^{24} + 3144865780147151351786159485684t^{23} - 243163890772580151299756585552t^{22} - 129066779856012304258965188184t^{21} - 51941630786197447218228187436t^{20} - 12230712706354739312724952252t^{19} - 1578483170906507177411337320t^{18} - 391162426597657827932150320t^{17} - 90784385169783939129470984t^{16} - 7082870312193682551537132t^{15} - 167501910868290033654588t^{14} + 100074184619223808057622t^{13} + 41566511105111568726306t^{12} + 1840593912480121549035t^{11} - 554258165344906480644t^{10} + 3873297908194768550t^{9} - 13819164672811448888t^{8} - 735001454532099310t^{7} - 42196378714642332t^{6} - 1044175310028810t^{5} - 38961135646794t^{4} - 651631947093t^{3} - 32666787432t^{2} - 59201604t - 4478976 \right)D^{7} + \left( 5668426194052902343197711112334258460t^{42} + 23282399742930582878230799312944041120t^{41} + 47108696488355598706135521161620208616t^{40} + 39590938835614450350618414945853880896t^{39} + 27616197631626940321951619463153270880t^{38} + 43768594662720218562924457105556774396t^{37} + 53341611141563312870585855052995987864t^{36} + 35883969064140211795719250207672603036t^{35} + 10447563185487211772115734069744925236t^{34} - 3094433069570309984782140744031587480t^{33} - 4805292829546568409225682383721450920t^{32} - 2477564649573272028057188481885760828t^{31} - 733001223368966152242593820142456828t^{30} - 107104988104168297092282921316653756t^{29} + 18749822160638070460518076949984462t^{28} + 18115118326298215265982520606750193t^{27} + 5787139297685748291905789876657150t^{26} + 1307168053577858048281652138098790t^{25} + 363967130983783776355833196655686t^{24} + 42203056857043584189721075918308t^{23} + 817909945319064990898201850302t^{22} + 188886470298584799469601392906t^{21} + 120545695915325501558400910196t^{20} + 96683530894900057058510144080t^{19} + 30611605699454824150942823056t^{18} + 4017656831976122248246584514t^{17} + 854482077473565205381024058t^{16} + 63333206825042789223438590t^{15} - 4232478249555703005589192t^{14} - 949945009689142319943360t^{13} - 300272416877432302901124t^{12} - 24504006180952099431457t^{11} + 3727205572577578523428t^{10} - 100933719022637315298t^{9} + 64024382160187157592t^{8} + 3056645730960632896t^{7} + 172406887894708074t^{6} + 3553737022746720t^{5} + 136032617709918t^{4} + 1849581524853t^{3} + 89864267400t^{2} + 133635420t + 9704448 \right)D^{6} + \left( 47091540689054881005027138471699993360t^{42} + 188719090598070599081676491730680599200t^{41} + 376011988352078381857861462160565166320t^{40} + 294612942992707020711402326431889774736t^{39} + 221799387938391298891346375911502720808t^{38} + 385946232249463492083614816667017093620t^{37} + 443662685912487124078839475175840041624t^{36} + 283966262926411553936092246870050159516t^{35} + 81835480368589922355621848658592671580t^{34} - 22307307522099029108598800728844785272t^{33} - 36504046679617371749874668891515161520t^{32} - 20024768639562317419807581910275999312t^{31} - 6987541424082279226957704139236602218t^{30} - 1611115036346226555007586807810649724t^{29} - 164144921346555853594325172443857580t^{28} + 41537706235574807704892016838036167t^{27} + 21521129283295708367724866638061752t^{26} + 7408359789521205629982007619236966t^{25} + 2376142074433940835113535797225446t^{24} + 307277410419548895576504195370924t^{23} + 1802301297486400329786282084106t^{22} - 8127890549633101682811438036052t^{21} - 3408487239081807776405922712964t^{20} - 619809863531039650454774166972t^{19} - 66513057681217618873933734096t^{18} - 13188651867223528372995631924t^{17} - 2099993313691025182452126434t^{16} - 219914134751241091764659932t^{15} - 8921723939402547564708142t^{14} - 1279303066522640994684594t^{13} + 268974670784588182799462t^{12} + 46944464930331240987473t^{11} - 12499734265335353739582t^{10} + 218114489701368214274t^{9} - 128631316509081895400t^{8} - 5517933969868472554t^{7} - 308752676014977576t^{6} - 5015389481948718t^{5} - 201273029837316t^{4} - 2295071359515t^{3} - 98625759246t^{2} - 135501660t - 8957952 \right)D^{5} + \left( 233059523132405869418398199195589318990t^{42} + 914702821274189486807466157008491539440t^{41} + 1800241773730583893092365285763246366132t^{40} + 1317472333419144996058074582929024823256t^{39} + 1071829525768505397982429806600448850500t^{38} + 1984675533166450010089662572198937755480t^{37} + 2165227475131268128326646702149338227904t^{36} + 1328851505483384429412100485913261900312t^{35} + 363951607019559355333948729475374789452t^{34} - 117379617350567443018991308685791518308t^{33} - 177384808543703867975227864800586335320t^{32} - 99342393913107439268601177654103131464t^{31} - 37678116119332693136867552075328088029t^{30} - 10246204004841107275180866236739720240t^{29} - 1874184816851393755760539170194767007t^{28} - 190609411604277490191260376837201412t^{27} + 6185777079205339211500297747622991t^{26} + 20223358611679436845381400183040720t^{25} + 7940061434718663576390793292799446t^{24} + 1209308181194935156611913889226132t^{23} + 77147576302639372303220927200150t^{22} - 7178442475094093528414157646030t^{21} - 6486200460213510633543218718288t^{20} - 443053393300722352525985877672t^{19} + 180595481150925598990111264820t^{18} + 3167904492942640683041363558t^{17} + 5388234343607970755964311316t^{16} + 463041920703761606915325918t^{15} - 19477091856487806284550143t^{14} - 3322009098541887907406866t^{13} - 623913544352709340114323t^{12} - 64077122399232741490332t^{11} + 11508037512438654386989t^{10} - 162441087895515636960t^{9} + 90303620052325998948t^{8} + 3464724383964599602t^{7} + 202384061319524679t^{6} + 2502990545958378t^{5} + 110603190054429t^{4} + 1057100661450t^{3} + 38316069657t^{2} + 49686696t + 2985984 \right)D^{4} + 2 t \left( 349262260110490367453951276998441617420t^{41} + 1347233908612202596783266639936846182760t^{40} + 2625976815117478594395819292164818467668t^{39} + 1802844742835081553882174223230571945128t^{38} + 1582630066084723411637177021841229736580t^{37} + 3051027530759080506135936170645196000740t^{36} + 3178254317526160663419373678314568555208t^{35} + 1882572197442479299721107845664809947772t^{34} + 476895989900217210710600187858634120546t^{33} - 201971066956475633718360848179859570746t^{32} - 270745305350402615566011013342770329700t^{31} - 151014580374639282576932890416425428922t^{30} - 59539353988762330885751154886598076691t^{29} - 17356052235069132492665591061695649324t^{28} - 3784590042100679914327308532841378779t^{27} - 676948780959427826523209681181979414t^{26} - 86154883402735168962565670627931850t^{25} + 14495811978941266297043294851275000t^{24} + 8287032360408773491807417026814861t^{23} + 1616277774845592925866068066127404t^{22} + 149727657742757169230956345438171t^{21} - 6877349803310233026650761243422t^{20} - 9632270406843511054041311973036t^{19} - 993501322099242873659802749692t^{18} + 78570237854868258320325098424t^{17} - 13280461968167457106760499450t^{16} + 4063381749211294709350199049t^{15} + 241847284143286892790339380t^{14} - 13557236829375645889810527t^{13} - 3568079517644443222551062t^{12} - 215664633935673365638084t^{11} - 14467169542677626438254t^{10} - 991809898729420835355t^{9} - 37486818415183986308t^{8} - 2092086063672373468t^{7} - 88634280993296888t^{6} - 3446109968955750t^{5} - 45806524780176t^{4} - 909995254209t^{3} - 23228344728t^{2} - 63483021t - 31104 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 306582955927795346331449829410884590810t^{40} + 1166180580390049339420348975353494648320t^{39} + 2256129124735119038894173120883953649476t^{38} + 1462953839526735820809873278168194727296t^{37} + 1378184893064415665760457854717710582480t^{36} + 2724917302815896616928872602622492525296t^{35} + 2728459802718435332749316674038053691772t^{34} + 1569724158720148727984434295817675865880t^{33} + 362048130492014746032906564576103315564t^{32} - 203440991683134844314031318229716488192t^{31} - 244931685688770209464909471067823539064t^{30} - 134594329813312934577038215043636519390t^{29} - 53926214593547132445442386755519610581t^{28} - 16160899929174161577642157357114695188t^{27} - 3813506631002943986591064322553219278t^{26} - 807269513989145699753915009920417116t^{25} - 125068360033572539614597891466941175t^{24} + 3819442514174710087595865962991400t^{23} + 5144111391936535602456711309462490t^{22} + 1316848683739097448259839450153210t^{21} + 155153556655695282483761946931525t^{20} + 475048643007786043051411907894t^{19} - 6392304605598317571601054765069t^{18} - 602402554081652246790660152964t^{17} + 50757532152464018719286869307t^{16} - 9898722667557886744958435896t^{15} + 3591402392103637806376499398t^{14} + 199510908241096520756418592t^{13} - 1193135516769963270958351t^{12} - 1414068399215871208154690t^{11} - 99364030267315001597081t^{10} - 8929863191467162066682t^{9} - 434422338926348501305t^{8} - 20399492348066605642t^{7} - 1289109992095406217t^{6} - 55792228318044342t^{5} - 1682565821605791t^{4} - 20971689659604t^{3} - 636725379636t^{2} - 7849642608t - 5971968 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 142208978033217319225498620543506725980t^{39} + 535110302416956866161267079791814196600t^{38} + 1029455408137402462198628568994460259660t^{37} + 636215415169508167613115556961600732208t^{36} + 636976356718714906467288084988011875424t^{35} + 1278878996531855840589200157309901568100t^{34} + 1240043385754172561899152195204552008376t^{33} + 697299065589641817542982357628747442292t^{32} + 145861124068809271937801835379168070010t^{31} - 105413790926768651643765835107956425290t^{30} - 116972108458000107996336512506616736224t^{29} - 63184728189574074959908436049517308968t^{28} - 25456977331494450457840533398416703903t^{27} - 7692299228854649461566807360315429116t^{26} - 1892875307601901540001554432244642008t^{25} - 432900668178346574599447992615251324t^{24} - 70437063253610240129200823926059300t^{23} - 616138672145066665006576997524248t^{22} + 1811917763105574383019059496026593t^{21} + 596375035818571785671612174883594t^{20} + 80593583979727144304341180209226t^{19} + 2505711290575857894466961278694t^{18} - 2182925145629112693577126712341t^{17} - 187566306725605795484012160348t^{16} + 17997267881998188650563547137t^{15} - 3590701437582421454181682580t^{14} + 1622352302491435880209926449t^{13} + 87433314168394378899793026t^{12} + 2772069389107528566613415t^{11} - 233050344270682614637298t^{10} - 33814284415326317876088t^{9} - 2857540158763402234218t^{8} - 122969958243710292123t^{7} - 6439765629515118498t^{6} - 455738842886327127t^{5} - 17826228867637692t^{4} - 463382137183320t^{3} - 6205773272202t^{2} - 211204725750t - 1564667280 \right)D + 288 t ^{3} \left( 1453442613859718549537874644188271400t^{39} + 5426722488681436626135780150569719000t^{38} + 10398972302670543537695952777119814100t^{37} + 6194408516834603796355167324708983440t^{36} + 6501834964311068551269233538437530160t^{35} + 13171792071533311232654931355706164428t^{34} + 12470255966814441640176130907359700570t^{33} + 6896683732532610927541006130238422132t^{32} + 1321474078122492483971831408452107036t^{31} - 1165303350933179921905184245746851736t^{30} - 1222992095087709309142594373171988504t^{29} - 651057768167667966764174914977072208t^{28} - 262651574222860780544183650907369844t^{27} - 79390696682347425612520766668057166t^{26} - 20011167262974518288716363420049614t^{25} - 4765555863716002256482243082517378t^{24} - 784619061467451601869326715001701t^{23} - 19603197376938740425076590911576t^{22} + 15345100291421139171154841264834t^{21} + 6108385370964081915743304319442t^{20} + 890215174449921156088011538190t^{19} + 42471454963388275934479731830t^{18} - 16417097986414193275498558841t^{17} - 1273784231109451515210543522t^{16} + 150046584400830569837155085t^{15} - 27639325462995312220950494t^{14} + 16028882911182901896662984t^{13} + 863326488768823841792004t^{12} + 49972987444714943225641t^{11} - 199635820329090015832t^{10} - 302118909512945587647t^{9} - 20475047578731299046t^{8} - 968912622715412088t^{7} - 52325637238834020t^{6} - 3934952496727263t^{5} - 130775861102616t^{4} - 3116202090102t^{3} - 46499731560t^{2} - 1516273344t - 7558272 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ7P7

|λ| = 6.729032 λ ≈ 6.729032; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.790706 - 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.790706 + 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.864516 - 0.9419768i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.864516 + 0.9419768i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.209294 - 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.209294 + 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.729032; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.581412; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.418588; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.8645158 - 0.9419768i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.8645158 + 0.9419768i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$6.72903154$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$6.729032$11
$-2.790706 - 4.277176\mathrm{i}$11
$-2.790706 + 4.277176\mathrm{i}$11
$-4.864516 - 0.9419768\mathrm{i}$11
$-4.864516 + 0.9419768\mathrm{i}$11
$1.209294 - 4.277176\mathrm{i}$11
$1.209294 + 4.277176\mathrm{i}$11
$2.729032$11
$2.581412$11
$-1.418588$11
$-0.8645158 - 0.9419768\mathrm{i}$11
$-0.8645158 + 0.9419768\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 34 \lambda + 37\right) \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 2 \lambda - 67\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} + 26 \lambda - 51\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} - 10 \lambda - 11\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 34 \lambda + 37\right) \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 2 \lambda - 67\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} + 26 \lambda - 51\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} - 10 \lambda - 11\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & -6 & -8 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \frac{1}{2} & 3 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & 5 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$