Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-459-95-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(w3 + w4) + E^(w1 + w2)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
12040.wBw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;2) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 95
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 459
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 16

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 459
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 210
$\mathrm{c}_2^2$ = 97
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 16 0 x0 - 16 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 68 0 0 x1 - 76 144
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 95 0 0 0 0 95
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 90t + 277t^{2} + 90t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(7)
Coates et al. (2020) Obro(4,94)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(11)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 7235849t^{12} + 4380037t^{11} + 1416666t^{10} + 347407t^{9} - 13567t^{8} - 97932t^{7} - 41700t^{6} - 9913t^{5} - 1084t^{4} - 33t^{3} + 29t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 2477891723894992785029959931809t^{30} + 39145786740333197517413139852486t^{29} + 131211057339811104815864879700027t^{28} + 235344540412484343258663591553560t^{27} + 277830493667512056963496906985742t^{26} + 221820607740875745066497112948573t^{25} + 106251208022764029202444374153841t^{24} + 15593666146581816654373184537419t^{23} - 13580441129635265743196536146050t^{22} - 9548130462619990303026667190322t^{21} - 2991888051615925324425633340295t^{20} - 638595186505641230980037770074t^{19} - 139334744495242651078457183450t^{18} - 33893397442938523132038425739t^{17} - 6499107055797307057059886815t^{16} - 828609110694668985745542009t^{15} - 80135299056901336690672560t^{14} - 7678311555192569309024634t^{13} - 975711419689803028158339t^{12} - 147480480587875839718599t^{11} - 17196788569764543252633t^{10} - 1536970064344881863346t^{9} - 90014849046197243541t^{8} - 1904703296560695414t^{7} + 13999460501257605t^{6} + 5492539925043345t^{5} - 24757827355872t^{4} - 2071561512123t^{3} - 562160829393t^{2} + 2048999085t - 46267200 \right)D^{8} + \left( 645467412688338947348385019534327950276t^{42} + 10805958791031984971552453090068652820708t^{41} + 41477597228352158926352343487921412353572t^{40} + 86206389581905296391517703782440624215762t^{39} + 119521493031202313184116045484586080834414t^{38} + 117087581018090285656543132394043058749459t^{37} + 78981543921445976922097192443454021223559t^{36} + 32690063274429202851170854975075266407825t^{35} + 4214817308756093038181220681856739210402t^{34} - 4145641656331790314168954810565355336121t^{33} - 3409889713541627519928927838086401162991t^{32} - 1477688138786307411342175689410455025113t^{31} - 434862986360695824333282483655543647935t^{30} - 79987212007844678111798421285276872459t^{29} - 2403649042424661712287410788332967715t^{28} + 3898938083777529841510134034983789294t^{27} + 1575342820327920099583918490020098442t^{26} + 463601518835034173004383795540061859t^{25} + 142011854390629288864834472750921470t^{24} + 42348058195811947064534550572005251t^{23} + 10541591734385235945773236638755890t^{22} + 2110352443547009124257902520302012t^{21} + 361443949895742928806560755567267t^{20} + 61565761286202814417122025391598t^{19} + 11438574765472386889744344479586t^{18} + 2036061314921632788403743158079t^{17} + 292096784549248051828122735363t^{16} + 31912671481639927215174996870t^{15} + 2941805004555778488400719015t^{14} + 281421335630817265595389257t^{13} + 32331787593299859965695047t^{12} + 3871099295764994967410484t^{11} + 376330132267196256849852t^{10} + 28079556908403395066571t^{9} + 1353725921576020206816t^{8} + 24492953498136553863t^{7} - 351712295659337103t^{6} - 59746184220419370t^{5} + 226029388042260t^{4} + 26829731899134t^{3} + 4474893148749t^{2} - 14342993595t + 277603200 \right)D^{7} + \left( 9789589092439807368117172796270640579186t^{42} + 166689754365274508503879319528302196173110t^{41} + 642381888593811035319287045255126249859030t^{40} + 1337826081391443104053162666707446862494250t^{39} + 1854836320282720327535193548873980679334248t^{38} + 1806545667630535777952930527637942424698371t^{37} + 1192539358004468373178363288769497042325127t^{36} + 460780038152464753800163132148094269568813t^{35} + 30711219266350586708293039497969736820778t^{34} - 76773365969960470224085196531348200516449t^{33} - 52420205971119068369209907883359753996039t^{32} - 20430762528578874930869337119938742717219t^{31} - 5846174460893321706664018784421179735479t^{30} - 1342906570444934520351537737672163252633t^{29} - 259698001822758406093817024628560806613t^{28} - 44521010612142911206578673084971273222t^{27} - 6255703117820861818366702439404705694t^{26} - 87968242591421986908151872315615067t^{25} + 313795106552450868727418436795532570t^{24} + 88401773288064847938499322739900175t^{23} + 5390475760955891168998175190871608t^{22} - 2932911826057517315724474653483460t^{21} - 1055324280857143835316674934828759t^{20} - 227119873796046924351890052862728t^{19} - 46085857037439719198062761010512t^{18} - 8848257264949211982350041493427t^{17} - 1300718393063970670868093410053t^{16} - 132740534599267250085961053744t^{15} - 10657570716213976610573645493t^{14} - 940219824356393058180740307t^{13} - 120417803602442334835641657t^{12} - 16446275421241406946807780t^{11} - 1677830293301829574823226t^{10} - 129075176286197878900365t^{9} - 6549084020884263936894t^{8} - 134461140014607767667t^{7} - 91259996266839519t^{6} + 210292750241367354t^{5} - 1274555327177664t^{4} - 40513187450754t^{3} - 12488732349741t^{2} + 33052445685t - 601473600 \right)D^{6} + \left( 81328893998730707365896512461325321734776t^{42} + 1404304965289722808337070471826817670856344t^{41} + 5432124626663601559364694961993535090467032t^{40} + 11340102945980389166920510138826780564657442t^{39} + 15737335039589603171006320101759987895336666t^{38} + 15267115106909338816004994138088241179649069t^{37} + 9892483404442018257381802221478211615829855t^{36} + 3566677043245882109180913200805764869670701t^{35} - 13987862133522914833364135168291201124650t^{34} - 768931986177054461399748740394163819942745t^{33} - 464015120407985968548520318546245017504011t^{32} - 168730787030499136945340109654576259937643t^{31} - 47541165285317454247704750902998944220251t^{30} - 12000348324309140160896818289359374370165t^{29} - 2869889623678429314702136928138607940985t^{28} - 628359061488771983806833275826992156934t^{27} - 117169510602198869642797087605755632940t^{26} - 16634649132433868511911501020554718323t^{25} - 1375296035389971176466244658307060980t^{24} + 61036195087799358007636725225462137t^{23} + 56979284284450916116870452664922780t^{22} + 17387357259491332353901159825379498t^{21} + 3841791029944453662348381788674685t^{20} + 722676170225055369219702219885996t^{19} + 147624752026651889344604144006208t^{18} + 29988490892974090942902970376049t^{17} + 4587029250095403389209782101097t^{16} + 467290538770015788339011100852t^{15} + 33258969710038031576824667511t^{14} + 2023346225130172201980457329t^{13} + 201109450311383690957162949t^{12} + 30120524763286100132488014t^{11} + 3237262798762148257879830t^{10} + 255163617135680256276327t^{9} + 13736709434040358153446t^{8} + 322448274292931244873t^{7} + 3647104875351150435t^{6} - 285777117981080946t^{5} + 2981069050616280t^{4} + 52118765193114t^{3} + 13716087777567t^{2} - 29970982125t + 555206400 \right)D^{5} + \left( 402502720762236695250663758431281337659609t^{42} + 7029932990591969045481024430062577269033963t^{41} + 27284221218514326314670609743891673838015131t^{40} + 57099355823153981904387095748339512243655252t^{39} + 79356099528744736425491648292005382600161541t^{38} + 76789152652735334388823979918773344884519343t^{37} + 48996767909051760972980827529545088711230848t^{36} + 16546519096030996346847702372825170229320240t^{35} - 1263569351540759969738388403936599327791428t^{34} - 4408621279088698050133233265124105584107361t^{33} - 2445942411633806869147948585621822066223205t^{32} - 844948978596829736569450787824739993818537t^{31} - 233916854504342977326997270020240560082704t^{30} - 60973549405119225018018398515730704130747t^{29} - 15213936171005873993873390155223601350441t^{28} - 3320750624607957402424150569775971136260t^{27} - 590577313677596403011950389168386820221t^{26} - 82308175953234470428061214476555230481t^{25} - 8988045342228809638641039039050858819t^{24} - 983264037985709253490358465490025680t^{23} - 184663575678278595087622749284332718t^{22} - 43172950860844906133289710861641232t^{21} - 7883848860382853097637396441857533t^{20} - 1070965466807474015475725413665999t^{19} - 135309577399666212091235052017223t^{18} - 20892028785746559290737383925356t^{17} - 2905307234413830843292631404170t^{16} - 243000928075388923032214028481t^{15} - 9935619531296981185147446495t^{14} - 6158395850526749612805528t^{13} - 49796466430888214358240780t^{12} - 19213764042517371883503756t^{11} - 2402709990694155343361169t^{10} - 186613784208816529981104t^{9} - 10330980291772681584366t^{8} - 260955601180708477716t^{7} - 4883931383609951019t^{6} + 102798829703208735t^{5} - 2083434897275901t^{4} - 53718625092537t^{3} - 5226791518917t^{2} + 9530958150t - 185068800 \right)D^{4} + 2 t \left( 603189297157252746297065800754829469532922t^{41} + 10632595460465548729934034693646248754040826t^{40} + 41385459456676414852718084540959452641159994t^{39} + 86811836435797902234303941959981029062456094t^{38} + 120850187222028626768005445522493593291234068t^{37} + 116759317346412125989308597520331336584005428t^{36} + 73583429841936110705302286022944962633430277t^{35} + 23421005279013209314604987574123378391944021t^{34} - 3432909103236585781396423151809942447180224t^{33} - 7390728602742636460134571449250843305209535t^{32} - 3863056060746509814258293049789280747352491t^{31} - 1283750012087976331197668022335664318410584t^{30} - 350896369134798902355824151754123054841573t^{29} - 93262931574306050240835399046671227925036t^{28} - 23636707379898993145599557980173839171884t^{27} - 5086155346954503226831943123730144419676t^{26} - 880251519654746811710567122441411086097t^{25} - 124140813505785782534440506696193691384t^{24} - 15520944345506544220156889950053586177t^{23} - 2022599217760755493440636999618824296t^{22} - 292379733955363240829787768653813397t^{21} - 42543165965096455125275286286482771t^{20} - 5728990786541284359732739338146610t^{19} - 632692074030018079787578511946465t^{18} - 46724145650404620268628755066191t^{17} - 1074594353443276957187943285366t^{16} + 266934509454676343340610870896t^{15} + 45355685369203823718307976493t^{14} + 3326888227876330228570353771t^{13} + 160175240051576170838893773t^{12} + 6268401083075693800587264t^{11} + 315782675048011665145491t^{10} + 37631025094217650766289t^{9} + 5299801395008668936335t^{8} + 370895388045355999647t^{7} + 17723820945450565440t^{6} + 352975966633654038t^{5} + 2298888193374918t^{4} + 65527115874336t^{3} + 1044959170986t^{2} - 561330t + 2721600 \right)D^{3} + 4 t ^{3} \left( 529480504558314929281809944774117741655571t^{39} + 9401384082688540720019053041116651969269985t^{38} + 36680079704364107682748997234667863113748145t^{37} + 77099236866351555581323437349038848022481250t^{36} + 107502277603154342286121980936837320541383633t^{35} + 103769788981489856596940989519591783004191811t^{34} + 64765358949064364038475067316475780910333871t^{33} + 19583609726088979734524451934573000062157799t^{32} - 4134465992933699218758004611760683905817028t^{31} - 7059555260631748366707352872729452512405594t^{30} - 3534508181335810199617896457631304906115031t^{29} - 1141490194375540697739295335318056412319034t^{28} - 310384154583894038566765130245853223752054t^{27} - 84174419264004249386973078864068805078347t^{26} - 21585010202407011827727211038451235959121t^{25} - 4584909524509690819958650146510619252652t^{24} - 773817153007009447106559915235384308080t^{23} - 107082253460211094416620262363291225488t^{22} - 13440386958467907727779185031886470293t^{21} - 1784615117743399323570774845372578955t^{20} - 257109773069602226913154398195649248t^{19} - 37284947274431324251403575120201031t^{18} - 5118500109154272794586518736241867t^{17} - 588682856115987008094734487330784t^{16} - 52169038030341975192098316391315t^{15} - 3570485720184833435824847587932t^{14} - 171341181976365684030814541808t^{13} - 2839842239820421161748660536t^{12} + 122973551224895143553975358t^{11} + 58578500794639177802573757t^{10} + 7307301632237632667927601t^{9} + 556376304972805906519935t^{8} + 46754994202230533409576t^{7} + 4126689296796692672829t^{6} + 236690295781252000257t^{5} + 9655013968159848129t^{4} + 134017435203882327t^{3} + 923399697734730t^{2} + 40557333402666t + 323392360680 \right)D^{2} + 72 t ^{3} \left( 27288927836434774385117833325867976120002t^{39} + 487220949101506990201831042401521406812938t^{38} + 1904459770089825041354814292269120367103754t^{37} + 4009753690763929532458598762699822058879724t^{36} + 5598758746995338250533941453153902110264982t^{35} + 5401695101104328544357213890038266300715208t^{34} + 3346718131459527930153400150191363163358816t^{33} + 970350816044805603824446107862238716439746t^{32} - 258765354116696604359691596284360386020372t^{31} - 387156955338273153439173360334430927768296t^{30} - 187980520829972166973900194537284535156443t^{29} - 59494443818280707320198484567925213062567t^{28} - 16186401147493692309495917447456765157254t^{27} - 4481688597815703814606061453660243424543t^{26} - 1161871623362973888980233580724810164470t^{25} - 244538235250229732928112616867649210635t^{24} - 40477302923249502631071501074844098338t^{23} - 5473954248467485266100237595760319118t^{22} - 670639307328143513761836021298286539t^{21} - 88206636340203764130484048019604007t^{20} - 12907615965172727225722690700246308t^{19} - 1921869592586818383995262391709971t^{18} - 266229216737846345900342384392086t^{17} - 30511484498809864837025568252729t^{16} - 2866067656804898044336251485553t^{15} - 241873419741916642461566988285t^{14} - 18325940375746787622486128091t^{13} - 1099934658323047673495718399t^{12} - 45087488389330159262579739t^{11} + 2214417659874803923721499t^{10} + 421879548518304392241018t^{9} + 32271763740307498208529t^{8} + 2421177172552603885590t^{7} + 175161228250987167057t^{6} + 9048539447899555176t^{5} + 319878717024944034t^{4} + 3101356768238154t^{3} + 36422273426139t^{2} + 1378274061717t + 7203803040 \right)D + 576 t ^{3} \left( 1255075524671770175399637537983415458870t^{39} + 22496105899912634039180512344514304632180t^{38} + 88051351155226221203513342980789594259940t^{37} + 185617681645874952955751517307637635698640t^{36} + 259452385231348132759209526792310274725590t^{35} + 250254913595799726231275278604450950455172t^{34} + 154251869787465654678828674692143795165520t^{33} + 43340151210502120523015696337448983739922t^{32} - 13430797083598417436777292977566674695735t^{31} - 18586992671493865791621148485745082104087t^{30} - 8839623148653529997976323077962315612618t^{29} - 2760255148018886834087036693651239572297t^{28} - 753239757424983988648694332410748428003t^{27} - 212260206571679481330240993142794011618t^{26} - 55514431870106328709721124213293713602t^{25} - 11613066179989820142255225697010864363t^{24} - 1895565309616604728873686909547565665t^{23} - 251259329220795592930999277200256014t^{22} - 29937131733221777064181148318989000t^{21} - 3888560772936858843132392918343069t^{20} - 582708160620715472743755526121064t^{19} - 89272388719218079662701984657019t^{18} - 12348952014300114625333959639945t^{17} - 1388381412434122227471356949075t^{16} - 132726515725624663466951924520t^{15} - 12186091685386418458972745250t^{14} - 1042044808979952137281787460t^{13} - 70030974957754789340269407t^{12} - 2885474120979589171385040t^{11} + 103808171884582147217382t^{10} + 20162346100816452386418t^{9} + 1512082571845351801374t^{8} + 106238529964461772926t^{7} + 6812739779689080243t^{6} + 327886797358362456t^{5} + 10109870541543465t^{4} + 69596068444821t^{3} + 1599910905285t^{2} + 43444926315t + 156151800 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4

|λ| = 6.218745 λ ≈ 6.218745; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4076965 - 5.379846i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4076965 + 5.379846i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.83829 - 2.785077i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.83829 + 2.785077i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.610621 - 3.292756i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.610621 + 3.292756i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.592052; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.314608 - 1.13336i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.314608 + 1.13336i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.450424 - 2.375696i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.450424 + 2.375696i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$6.2187447$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$6.218745$11
$0.4076965 - 5.379846\mathrm{i}$11
$0.4076965 + 5.379846\mathrm{i}$11
$-3.83829 - 2.785077\mathrm{i}$11
$-3.83829 + 2.785077\mathrm{i}$11
$-2.610621 - 3.292756\mathrm{i}$11
$-2.610621 + 3.292756\mathrm{i}$11
$2.592052$11
$-2.314608 - 1.13336\mathrm{i}$11
$-2.314608 + 1.13336\mathrm{i}$11
$0.450424 - 2.375696\mathrm{i}$11
$0.450424 + 2.375696\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 7 \lambda^{11} + 29 \lambda^{10} - 33 \lambda^{9} - 1084 \lambda^{8} - 9913 \lambda^{7} - 41700 \lambda^{6} - 97932 \lambda^{5} - 13567 \lambda^{4} + 347407 \lambda^{3} + 1416666 \lambda^{2} + 4380037 \lambda + 7235849\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 7 \lambda^{11} + 29 \lambda^{10} - 33 \lambda^{9} - 1084 \lambda^{8} - 9913 \lambda^{7} - 41700 \lambda^{6} - 97932 \lambda^{5} - 13567 \lambda^{4} + 347407 \lambda^{3} + 1416666 \lambda^{2} + 4380037 \lambda + 7235849\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 5 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$