Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-464-96-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
13040.wIw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 96
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 464
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 16

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 464
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 212
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + 61 0 x0 - 16 77
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = 146 0 0 0 146
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 96 0 0 0 0 96
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 91t + 280t^{2} + 91t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(37)
Coates et al. (2020) Obro(4,109)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(54)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3741929t^{12} + 3425036t^{11} + 1782600t^{10} - 141304t^{9} - 193644t^{8} - 56369t^{7} - 18259t^{6} - 6235t^{5} - 424t^{4} - 16t^{3} - 10t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 2645471656132658614105635919920t^{30} + 2619774512125495640716914407280t^{29} - 1749436547141895127965537294558t^{28} - 7066953711221188180741017985824t^{27} - 9049925264934153883882866316274t^{26} - 6102915006801423022846338696234t^{25} - 2425965210972179980225385154112t^{24} - 461726370683254752727831113014t^{23} - 1119632476370000045395967304t^{22} + 6460301333305551403024802191t^{21} - 25803940887583719227558611841t^{20} - 16170108597926203385407231866t^{19} - 4901141106206858978537340747t^{18} - 913278900054016779490855644t^{17} - 158342078834528645748945935t^{16} - 23397375805426982142045578t^{15} - 1677809829835628136617516t^{14} - 16882907936919076018776t^{13} - 1728630070077809284880t^{12} - 3091172434046042226860t^{11} - 517116564458169766688t^{10} - 45156721083607483900t^{9} - 2160553059925319398t^{8} - 50197768079460436t^{7} - 110023082861964t^{6} - 47937140303648t^{5} - 3428031280852t^{4} - 208322463848t^{3} - 2898824816t^{2} - 116662656t - 386048 \right)D^{8} + \left( 356370015915389632147980772038851724480t^{42} + 634536447931199315633428828869970709040t^{41} + 142578949797025154815234095332469281964t^{40} - 1113036215182319734981107714162977858400t^{39} - 2247581000227817234095604873109578652592t^{38} - 2332858065226526521857259566946351333402t^{37} - 1539889500710420374219268145999635666952t^{36} - 639409884376456471852311872141341175762t^{35} - 136814922472376954647983474957066032020t^{34} + 9202284962241848996930158544412889135t^{33} + 10751376462699788828337324354014982564t^{32} - 2237905083959061290101621343219267324t^{31} - 4202367992122554046827783752287116360t^{30} - 1767159230089884489413609759933695866t^{29} - 313310755551792353432302447839636361t^{28} + 25026438010598161038147681093941897t^{27} + 32585989580354302968114559996422313t^{26} + 12458777945316511846635542783216758t^{25} + 3433854234305348737909822778273718t^{24} + 711181296239169961139842111128594t^{23} + 110522182560240381472999173195948t^{22} + 15859938896699766304730508198301t^{21} + 3175186955345098683239110553332t^{20} + 805806963822916358817200553742t^{19} + 174967761425583115372329900288t^{18} + 31271795090794135755729083324t^{17} + 5279889907963291990689752290t^{16} + 659495038077140600357799014t^{15} + 41307850030743774620080108t^{14} + 675205615617585611865340t^{13} + 163249484249311431783564t^{12} + 72294284634079994751884t^{11} + 9868588532248496063832t^{10} + 746797989822847971636t^{9} + 31707990135616153884t^{8} + 657914818659413188t^{7} + 2414185962076064t^{6} + 589769202366928t^{5} + 36919614313128t^{4} + 1904000027176t^{3} + 23680412032t^{2} + 816638592t + 2316288 \right)D^{7} + \left( 5404945241383409420911041709255917821280t^{42} + 9051923745690425056181926706800242222240t^{41} + 787185402335159466782452689809157663732t^{40} - 18123989425943693741366955540746018924328t^{39} - 34314068652141825624307183441139129089276t^{38} - 34383496781600569010415285780105022151490t^{37} - 22081277410318394998696417159298108794596t^{36} - 9095538033374108925258685306922521250560t^{35} - 2126737536090045296408225221256379215470t^{34} - 95427317867063047185944446110563591263t^{33} + 5950172551922679866495326283210373276t^{32} - 94015772841622424534004650007108180702t^{31} - 77705839432456671336947729319418598050t^{30} - 29410007310823109950271030402105773752t^{29} - 5987084070394351972212860894901854385t^{28} - 411712276681823021412897470315867899t^{27} + 123175641842013672622182273498719773t^{26} + 56683529886473341089053359433758761t^{25} + 15338238830522570937596686960011605t^{24} + 2993480539649443541029922715585091t^{23} + 432760317168156879046104561714087t^{22} + 31323596636989756640155002554655t^{21} - 10465294474327732859981627054172t^{20} - 5357308937427631406665785292602t^{19} - 1268908671387394540108237107304t^{18} - 202667010755772704313968804700t^{17} - 29951330145743162220626184000t^{16} - 3599679497949634920693136600t^{15} - 203068658446143219463218514t^{14} + 429818363602080711261288t^{13} - 281118279539748249670452t^{12} - 329842425237545949253360t^{11} - 46796709489093301919488t^{10} - 3494946747683215956804t^{9} - 144260607310940351648t^{8} - 2913709482086220820t^{7} - 12768807353252128t^{6} - 2421715404806272t^{5} - 120662379027040t^{4} - 5576114592072t^{3} - 62485543360t^{2} - 2005381376t - 5018624 \right)D^{6} + \left( 44902622005339093650645577276895317284480t^{42} + 71217439707267073152047217054139520857440t^{41} - 2496389718814077853722643379134054791144t^{40} - 158843910224799168741284261807540210079672t^{39} - 286646588247649968847340971508364972105736t^{38} - 278082491630038591796902808083826994485902t^{37} - 173079803015328807629281673698501426211036t^{36} - 69337823462392968554334238279892746726650t^{35} - 16274905587566933666991592800800278534358t^{34} - 1356757533902216300073994757612803648859t^{33} - 573313998903595555315964354034717672630t^{32} - 1040576559371479591527139985346608381676t^{31} - 699118063612427130690273381014628376772t^{30} - 253950219630960989786224853872681814126t^{29} - 56883873675321612425528708797057369907t^{28} - 7829652118416450879615417404616524903t^{27} - 575215556761146044835939734840287153t^{26} + 81666633752383861570896879816765746t^{25} + 50667236897581089253656292983176355t^{24} + 10307363668870716657168966599170310t^{23} + 892708002019057900756386995667291t^{22} + 5357066032776071303663787941803t^{21} + 30809681184436751593231019361334t^{20} + 18368717691365890019109604482202t^{19} + 4699139346912443393018986689454t^{18} + 746492248794532470718656032228t^{17} + 104459958524718690617503698570t^{16} + 12219778054080361370109570862t^{15} + 701353059425086111866340950t^{14} - 5451586334288826369991652t^{13} - 1915346547689086376933620t^{12} + 492037911769762818463028t^{11} + 87706490872688066402960t^{10} + 6756919335825680592084t^{9} + 276110274509915893492t^{8} + 5370548469054099772t^{7} + 32679779270906616t^{6} + 4822357920517232t^{5} + 191505738479320t^{4} + 6706152250488t^{3} + 69222823584t^{2} + 2033704320t + 4632576 \right)D^{5} + \left( 222226402424571718113611676430560621190320t^{42} + 336132948830886572480593303263709584611760t^{41} - 47590535657731077088871969639658587960238t^{40} - 818388911264331033450647640155483808858096t^{39} - 1424429857392015951131449064688777954908602t^{38} - 1343074057023390409370847207895846853015196t^{37} - 810169341170027649811006533489442544963796t^{36} - 312384677012292747187803628002128509530700t^{35} - 70540905424204027297264898211255057541916t^{34} - 6758676131690144549719950420874127922372t^{33} - 4750055550814521082181175870136345818607t^{32} - 6163482352493878460129187307925736238324t^{31} - 3704467684769045508987560621281888502679t^{30} - 1303875344864591663470702934938920277786t^{29} - 308098947933595011478674479536993315049t^{28} - 53500148394394054405387124405026449319t^{27} - 7727426429038233454329461873123355779t^{26} - 691668315816194059419698734651461845t^{25} + 53021237950415548765687884540683080t^{24} + 21060272107737767475101789589770639t^{23} + 673410598075622920871513354042632t^{22} - 564083352777467084720350360773921t^{21} - 139109644527506139471598148674129t^{20} - 21522678533193388498316593445628t^{19} - 3248163429848348061624508454199t^{18} - 427973643150600857434847014368t^{17} - 68660873466334776200172271253t^{16} - 9294932627156049031968775516t^{15} - 470357168468089908678965692t^{14} + 28290825194601163970006518t^{13} + 4744792564321210314796948t^{12} - 144961033407737652364220t^{11} - 54511300774580147972728t^{10} - 4507668670906040613212t^{9} - 183356473159192279066t^{8} - 3384531373394723096t^{7} - 28056042291661740t^{6} - 3663076473530544t^{5} - 128223091990668t^{4} - 2920887090224t^{3} - 26924376528t^{2} - 726784640t - 1544192 \right)D^{4} + t \left( 666055559745863222484576062940613873053120t^{41} + 967594802881810505474758096571055543155760t^{40} - 225155693777402559378377994872857135199124t^{39} - 2527802330628165099271500345087452470149960t^{38} - 4281341108913270024307586101521751011920488t^{37} - 3940699913299623410452410403814579994963544t^{36} - 2310022512138913073118911647534215717899900t^{35} - 854234737246444584489732439242746001385320t^{34} - 181384352737777045026950437315317647617246t^{33} - 17697614600364767792357231544543411738084t^{32} - 18640579327795590589038758815936440816926t^{31} - 21195665569657086488979100259557447836452t^{30} - 11803344705172242911298844256057994134268t^{29} - 4020501948623290531958322427715482161820t^{28} - 969487917554944213498766903267388862716t^{27} - 184414218438226712651431314978831118754t^{26} - 29895897186804807197563841122925620984t^{25} - 3233817688810863025356435469804822286t^{24} - 1424231789205929655511574118643073t^{23} + 41020628689492943460963491474287726t^{22} - 299810196154021848702279929736883t^{21} - 1602830445978714577089866604012920t^{20} - 248871538109008756601708375277202t^{19} - 7232220263047108421708953967204t^{18} + 2476822996031716597536402469146t^{17} + 363672184344009635696969624180t^{16} + 18811780344830222556492006020t^{15} - 112148382393931754824642592t^{14} - 66183680616777208914174714t^{13} - 1097466169709196096117984t^{12} + 340814065823400561656152t^{11} + 50384327276189065258392t^{10} + 4251421253616559723016t^{9} + 231181499548932019568t^{8} + 9795500184097518864t^{7} + 267913637675266016t^{6} + 6734949162948680t^{5} + 100112092193200t^{4} + 1904322817536t^{3} - 1366044928t^{2} + 85258208t + 29952 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 292332303888815867415611671641092507656080t^{40} + 410771174408903452520563912221865496780640t^{39} - 126665765786638219161250564966254079296078t^{38} - 1134448153061544294076982434479665623102728t^{37} - 1882590180791151063622673651721292729790166t^{36} - 1699172589111415208603459409336001246981484t^{35} - 972032456264879137612022087218815231540526t^{34} - 345248981629039760591838549642208949449368t^{33} - 68214914981389352838774660563222066130200t^{32} - 6471816624065775385932962600028907001514t^{31} - 9798678456631154811409439363206485293578t^{30} - 10355284580760599958137515812304017696962t^{29} - 5447592064867569219771935030948896345607t^{28} - 1795146560704708706947700000140543660446t^{27} - 434266395816511456059209436312619350165t^{26} - 86377828126949811645321888092985032550t^{25} - 14570696503273368683645645602544270528t^{24} - 1656851297679267780027190948200558034t^{23} - 40998256219726000649712992074320449t^{22} + 11180586157526185201371032585277912t^{21} - 666179612271379332052289558188823t^{20} - 649172348076673439341348119558942t^{19} - 94698247835738974132676759776471t^{18} - 3773448705682816306695603861938t^{17} + 673809186132544183767113620457t^{16} + 98996920080627973509397320224t^{15} + 2177805536420180266267398820t^{14} - 630745184116939081699746612t^{13} - 79260805572772124782774926t^{12} - 3709636776027120498570000t^{11} + 2666920992882914454692t^{10} + 15031845218027657689136t^{9} + 1351521121485508946366t^{8} + 67401855655215731320t^{7} + 2521201122096033100t^{6} + 63083378627380040t^{5} + 2096416094108396t^{4} + 39232581365248t^{3} + 413574467040t^{2} + 129801472t + 3088384 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 135598791055805755032306683760783081164640t^{39} + 185604927757840508506380313897797242710920t^{38} - 68382853485661616423682314052425904931062t^{37} - 534758167431305489921282323121212758868476t^{36} - 874283669849992234443128993787250651795068t^{35} - 777207094420454362768590875467913809806048t^{34} - 436040044979977902855362751314068877908450t^{33} - 149513048878184642782104376276927002094580t^{32} - 27478445098797458858377683704892933413740t^{31} - 2491972211274932474992547426741097961180t^{30} - 5163885066225978790127905783929031588112t^{29} - 5207304789455933526733385087110215321448t^{28} - 2625741686098268415738072563075733921977t^{27} - 839638798246072871599584896562492330834t^{26} - 202224033953016042769695055227532397373t^{25} - 41198359285396717385284120414206101564t^{24} - 7046499469160586168871650858309933490t^{23} - 809004134827346841986471475678304658t^{22} - 28044776377125011629938136776197828t^{21} + 3264285066832023372573142254415914t^{20} - 459293968457606413032184787954422t^{19} - 290154018365020836437340916226796t^{18} - 41735896693834628642932333539626t^{17} - 2146773968025504119643799965876t^{16} + 204851162111931059641328300134t^{15} + 35610507457991068657977107352t^{14} + 351629416509795514867498344t^{13} - 352637217525111451693375652t^{12} - 42569847187816194971293436t^{11} - 2045361977966913272943400t^{10} - 12543981528238219183284t^{9} + 5553677874995842114072t^{8} + 470807569691300578468t^{7} + 21274234143878294624t^{6} + 739753936562823232t^{5} + 18393880866352672t^{4} + 725489941981240t^{3} + 13164188512096t^{2} + 108645021088t + 399091968 \right)D + 48 t ^{3} \left( 8315300371359091416786218014239873571200t^{39} + 11166620146701300440711332930517321343600t^{38} - 4606522112545926529406055208550871387660t^{37} - 33156061746963951405833892119252623283880t^{36} - 53652873291536160875932866659611998499296t^{35} - 47178276423705880157188582349402811607704t^{34} - 26094523944665374913818367356307886414466t^{33} - 8704624703831864630621503658440712867132t^{32} - 1501945233838214970277712944130449110952t^{31} - 130015971707528773126898116421576364200t^{30} - 345336241420701602450023032047784784786t^{29} - 337879841432519006991831389756962572176t^{28} - 165411836607579172674319776036787012284t^{27} - 51652963070108578080032867355165510368t^{26} - 12362868916601554631885292054588249262t^{25} - 2553209616733977592872895607699735860t^{24} - 438690266463418677348513315693799741t^{23} - 50255872770974243479881057337765052t^{22} - 1982137190434007990204383642369293t^{21} + 127306903656522628503792466218214t^{20} - 34877072019200230846933610380814t^{19} - 17907146094882233988207747558136t^{18} - 2602630034499374345388487961886t^{17} - 158710073726245052044978961892t^{16} + 8389315570621587399964379438t^{15} + 1942183927324739112280238456t^{14} + 22665481138504456277268482t^{13} - 21025495131294473637082260t^{12} - 2573962511743326160941648t^{11} - 119680160626403001188112t^{10} - 324864948928674650412t^{9} + 324933524384792548536t^{8} + 24055086973560760596t^{7} + 962824909288696368t^{6} + 31417433355925800t^{5} + 831310330256016t^{4} + 35407604802408t^{3} + 568748048064t^{2} + 4035455424t + 26058240 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4

|λ| = 6.366244 λ ≈ 6.366244; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.126181 - 1.783817i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.126181 + 1.783817i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.576958 - 4.427936i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.576958 + 4.427936i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7586924 - 4.002437i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7586924 + 4.002437i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.759386 - 1.710421i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.759386 + 1.710421i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.479308; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.8728599 - 1.149169i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.8728599 + 1.149169i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$6.3662441$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$6.366244$11
$-5.126181 - 1.783817\mathrm{i}$11
$-5.126181 + 1.783817\mathrm{i}$11
$1.576958 - 4.427936\mathrm{i}$11
$1.576958 + 4.427936\mathrm{i}$11
$0.7586924 - 4.002437\mathrm{i}$11
$0.7586924 + 4.002437\mathrm{i}$11
$-2.759386 - 1.710421\mathrm{i}$11
$-2.759386 + 1.710421\mathrm{i}$11
$2.479308$11
$-0.8728599 - 1.149169\mathrm{i}$11
$-0.8728599 + 1.149169\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 4 \lambda^{11} - 10 \lambda^{10} - 16 \lambda^{9} - 424 \lambda^{8} - 6235 \lambda^{7} - 18259 \lambda^{6} - 56369 \lambda^{5} - 193644 \lambda^{4} - 141304 \lambda^{3} + 1782600 \lambda^{2} + 3425036 \lambda + 3741929\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 4 \lambda^{11} - 10 \lambda^{10} - 16 \lambda^{9} - 424 \lambda^{8} - 6235 \lambda^{7} - 18259 \lambda^{6} - 56369 \lambda^{5} - 193644 \lambda^{4} - 141304 \lambda^{3} + 1782600 \lambda^{2} + 3425036 \lambda + 3741929\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 5 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$