Family 3-74-22-b

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3 · 12030.mx4101 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3
Bundle: $E^{ω_{2} + ω_{4}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + 2 ω_{4}}$ E^(w2 + w4) + E^(w1 + w2 + 2w4)
Bundle: $O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1) ⊠ O_{3} (2)$ O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(2)
ZL62 label: 12030.mx4101

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;3) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	22
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	74
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-36

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	74
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	104
$\mathrm{c}_2^2$	=	146
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	4
$\mathrm{c}_4$	=	64

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		4		48		4		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 36	0	x₀ + 36	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 5	0	0	x₁ + 3	2
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 32	0	0	10	0	22
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 17t + 38t^{2} + 17t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(661)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(668)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) ^{5} \left( 10129492t^{8} + 7474582t^{7} + 1872721t^{6} + 156737t^{5} - 13321t^{4} - 5048t^{3} - 500t^{2} - 9t + 1 \right) \left( 9973125774043355856448737412382720t^{30} + 24201144519865940185933126117621760t^{29} - 10081884147450888240450188408717312t^{28} - 124267801686905576191909961007104000t^{27} - 253004237683211066326407782042681344t^{26} - 299830446838071559003751969644445696t^{25} - 246152189899977656228002958947725312t^{24} - 149842163100433856136997282889445376t^{23} - 69890655068299838925400135704388608t^{22} - 25326961370328944384561159673723904t^{21} - 7112849565040942800329437363195904t^{20} - 1506794139385569167019364048409728t^{19} - 219481658123313200753731716935072t^{18} - 13310293572918835198872726432640t^{17} + 3230106413150982633566784271416t^{16} + 1246498740952444859890228792264t^{15} + 237997501817008190100271624712t^{14} + 31331582667863455581729576936t^{13} + 3014140844328748947126347576t^{12} + 209624928591952010629553236t^{11} + 9678773016299767456303469t^{10} + 193781183190437516331317t^{9} - 9284186449584337097019t^{8} - 966918388960755012443t^{7} - 40073756606395414393t^{6} - 918247373786296193t^{5} - 11014922407782567t^{4} - 17680432447647t^{3} + 1866817560534t^{2} + 12147405122t + 3286784 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) ^{4} \left( 14547268475015901235351291300151730697666560t^{39} + 46439170311360286521628806403013892468899840t^{38} + 12335022264435931588035348639411802359201792t^{37} - 201532621519886037667934366974873502823743488t^{36} - 553787023449317555076521320941775774553210880t^{35} - 829976748065537656735536616428356309117698048t^{34} - 858573565816094696007827058253243538436325376t^{33} - 665901162868174872340617803933936113450385408t^{32} - 403424521282220354558288896447603078930415616t^{31} - 195235074710162295992243041810291955852361728t^{30} - 76299108872716351979885797485790748931895296t^{29} - 24098884741572835716628208936049122399596544t^{28} - 6075744871057158663984718267361771765999104t^{27} - 1176002722104980497240918286878296481699584t^{26} - 154270663338229374113499401985252981255168t^{25} - 5459333506894850196337367529619041192896t^{24} + 3569876222348709312819675806276189187936t^{23} + 1182928220149671909164766253432291319520t^{22} + 224496210562297884476458796776998697176t^{21} + 30170825420400065037614222687235894568t^{20} + 2915513407187476503499966001471445968t^{19} + 181459071822222260411759134923574032t^{18} + 2733642124863365224655988295908620t^{17} - 871758326889649849546772419430626t^{16} - 119022720178936004055971592081749t^{15} - 8995952644644502407919067555769t^{14} - 483464158670514368280037204462t^{13} - 21942375433180775337280760403t^{12} - 1003659160261207140093322540t^{11} - 38331730546064056134055310t^{10} + 20446212869908009734181t^{9} + 140155419344505337295520t^{8} + 10606015483804171959768t^{7} + 410856779378471074673t^{6} + 8917125901089948517t^{5} + 102016623915954077t^{4} + 271380060479011t^{3} - 14011890423254t^{2} - 84795187406t - 19720704 \right)D^{7} + \left( 4t + 1 \right) ^{3} \left( 882534287484298008277978338875871662325104640t^{40} + 2871980401409374184841601302659426249238118400t^{39} + 763178738979749023980292802985778429657350144t^{38} - 13080711861748179110264011375804872003973808128t^{37} - 36760097525773869141077079728807967205180309504t^{36} - 56482374311201663794370011483705532456101478400t^{35} - 60021252113402144615836050240661083489358446592t^{34} - 47926338766143230282357095842224026766727315456t^{33} - 29971161475694550684712001124601522475234459648t^{32} - 15021147971994071199665774969138720804507615232t^{31} - 6105973423717872664619325147016372152765161472t^{30} - 2018388786493551536700817904884215599568707584t^{29} - 537828648590550606799283452854076210788016128t^{28} - 112119520723857192872676360291986856145550848t^{27} - 16701616510641257479941351614807756187164160t^{26} - 1121893297791121536354257494982551771699072t^{25} + 253231670516967603041423250192608370224704t^{24} + 113573583734602049660236148364209229987072t^{23} + 25330106237140703248062906535435768153072t^{22} + 4043874362636620631602431756477191962232t^{21} + 496469437092907672492555682754727367472t^{20} + 47448667499834818146466044012924828952t^{19} + 3458042898075946202860277594792340324t^{18} + 180004293246842736165825331145965720t^{17} + 5575898160466813063970685689855328t^{16} + 55445828205084747043977274955175t^{15} + 8035157555169764915285793290371t^{14} + 2322376422611183720203328796892t^{13} + 272489186486919610055254882523t^{12} + 19399205511401722904968136502t^{11} + 894217876226853292140979518t^{10} + 22651635047221276959179781t^{9} - 130047912877830418954384t^{8} - 37687650691906817519034t^{7} - 1588169302351998050359t^{6} - 33744247758602757709t^{5} - 365746618690379283t^{4} - 1122899372898561t^{3} + 37696887016210t^{2} + 206817010050t + 42728192 \right)D^{6} + \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 29327293245632056890468203261105889086495784960t^{41} + 98146193442900295700937096704294191037394452480t^{40} + 29541399448937209547849056426850870282218897408t^{39} - 458914745697422959211289939040277290660891983872t^{38} - 1333907251186882084751128531956472500347790688256t^{37} - 2113334047277656216385064193441155729923635675136t^{36} - 2317343758275354486071927923960841586222904115200t^{35} - 1912585805032078159733742428667887045545057976320t^{34} - 1239069709520802952247261383151593599941471305728t^{33} - 645197298873862836226067481432117053883355660288t^{32} - 273503043572091602252198250811706990393636995072t^{31} - 94765490062807575020340149907678227940673822720t^{30} - 26674337462196520245832222638743400011036856320t^{29} - 5956912053968198001810962205590938632611381248t^{28} - 984729796123935966531973109240026507540976128t^{27} - 90328888432268073213391192914814082275078400t^{26} + 8594633225284052274797589335870688540853760t^{25} + 5935126905687608101227996798938833755707584t^{24} + 1521423996786345085153505700359748677411232t^{23} + 272410303779706759444653207098460807279424t^{22} + 37735978929243648863989312232513381483944t^{21} + 4160158164205190867259451849191131258624t^{20} + 364998390964160172321625840955520025408t^{19} + 24873307980583569439167963462038696100t^{18} + 1222211595594252502910202374947664152t^{17} + 31541422870786811170894762588364446t^{16} - 1108349087936320370783673878312811t^{15} - 204931240422848326304071772964293t^{14} - 16517808025646678778055742711480t^{13} - 1048055270412425690101136166715t^{12} - 56804509514749209501363943552t^{11} - 2473697545275719301251127600t^{10} - 74285010949957413162295049t^{9} - 928017587490758770379476t^{8} + 32224055000376690420428t^{7} + 1908899864897962991691t^{6} + 41760029077491448617t^{5} + 438826573349972813t^{4} + 1439349297910453t^{3} - 41284977053046t^{2} - 207761061026t - 39441408 \right)D^{5} + \left( 4t + 1 \right) \left( 580571786658901274368713134928188804323407298560t^{42} + 2012260907807345521830101634200712889834353459200t^{41} + 738039345327578284748166243761901804663083106304t^{40} - 9476078390779152960260291906557767012103510556672t^{39} - 28769852615968102503004814194693194859945402564608t^{38} - 47223596361976464506242289639866521373296238264320t^{37} - 53629901586103634173814582165194062071653503598592t^{36} - 45899912408912554882144411656453432653038441594880t^{35} - 30899120641781643929532691314421924354660763172864t^{34} - 16763967696018371078002714680572816462691595485184t^{33} - 7430473121405058770981774528481723735483265384448t^{32} - 2705052484830880023546554289394801458139173707776t^{31} - 805831985650545294759671846294677249798881443840t^{30} - 192911418587635243003789872181401724883894073344t^{29} - 35228273076507746800193305407407271729934754816t^{28} - 4077542905635353027744903117395236726400950272t^{27} + 62050727815402648242182721609839623850850176t^{26} + 175454582017784200256224312360051401902305984t^{25} + 53062171306712977764453831443817844495642496t^{24} + 10609961455416582132735152579415376065651952t^{23} + 1627097479706235941227357890461425643504264t^{22} + 199414916439361782556610638997286685235736t^{21} + 19697664536239510343450152330333510894808t^{20} + 1549095210486019000148158626871326026912t^{19} + 93082597686552576376012633632440294768t^{18} + 3776516468218728543767018912647532026t^{17} + 46723169833792411560468179361791209t^{16} - 6714969221609787787920292943063979t^{15} - 614428309134067380641570346092278t^{14} - 27178080125583640549753470429751t^{13} - 512891951649020006746757370316t^{12} + 17575832015367368696460412380t^{11} + 1803214559642844914973357503t^{10} + 71306809503971540303806360t^{9} + 1399258424374405716373546t^{8} - 2342169722031941578851t^{7} - 855719668510384799133t^{6} - 19371535419357236371t^{5} - 179928928050383741t^{4} - 577884200764570t^{3} + 16007996353962t^{2} + 73636426924t + 13147136 \right)D^{4} + 2 t \left( 3480172131815004084335560120317898838264166481920t^{42} + 12562143618218734075097727006776766216752909516800t^{41} + 5759034774852197196189324455350445318426155024384t^{40} - 58548603796334420609927578371833209000186590789632t^{39} - 187374475044066500163924424029631286101964228657152t^{38} - 319941706637272508698367412862519398371365281071104t^{37} - 377443385132251548038306408106171753957051110260736t^{36} - 335870652677603853555596551202125403842725024366592t^{35} - 235517539827002843585241456084864893551574809313280t^{34} - 133440940875230315539423708684234351758849565130752t^{33} - 61979301110786045211041653639835748502934730964992t^{32} - 23754809700084334354046540600702075380897125466112t^{31} - 7501949290187526335409894840969191992073152970752t^{30} - 1926555345936714033919127346541812454756975202304t^{29} - 387255515510268791299960467545457980629613621248t^{28} - 54033995899421427234881027726161027239205033984t^{27} - 2237519443360794571398665928781008370819792896t^{26} + 1419215340668353795125867865729138074294133248t^{25} + 544245268734870253093088019323047567820087552t^{24} + 123189497571688806090937257655013283718748416t^{23} + 20953223431526774757665183323919301618045888t^{22} + 2844113288356776830406094589488920668302096t^{21} + 313547841232442919617259288596660674528608t^{20} + 28002600569804697058535664852902676944972t^{19} + 1981419616048059776027328265823850386008t^{18} + 104472849017512389391999518170068804422t^{17} + 3313535351987314731330572887261797846t^{16} - 30550425393575605930288037445377138t^{15} - 12020315913009498063596438656583736t^{14} - 883000328179451128063109577448829t^{13} - 40729011736762545900187187989945t^{12} - 1326247284029097706985126242413t^{11} - 31191246057016670563717536666t^{10} - 540701887500797452722590581t^{9} - 8307271073417893493784250t^{8} - 189341585834245187592774t^{7} - 5392762338614788306646t^{6} - 100538011027481276582t^{5} - 883760001162715319t^{4} - 3859692969730693t^{3} + 8746424245864t^{2} - 62472303482t - 7506304 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 3054900517942717008932686104069552065655403970560t^{41} + 10768772950388333252338156258897708385882886635520t^{40} + 3901684519938665285115041036714014425443903471616t^{39} - 53288403997457690266687439957447294881828144414720t^{38} - 164772861485187539093289283959004703424179215532032t^{37} - 276265872448819049809610440923329633990240519585792t^{36} - 320946789171414088788461613749708405806902768828416t^{35} - 281362617534686902900458258400888384357934369079296t^{34} - 194281088522140687362810914406363900727381160755200t^{33} - 108284909143660363671638970783924689911180311265280t^{32} - 49398260010309437103818421171619304386407950221312t^{31} - 18550890167896291383523626525365581587544751472640t^{30} - 5718177061104795223231464377012046219801954934784t^{29} - 1423129188595023095115853650006118622774819569664t^{28} - 272726360476560668025601706794859992169825249280t^{27} - 34216409424403337551490214309404380559797693440t^{26} - 129336832818232873396121081614650205695015424t^{25} + 1342885605444474576452626476767640341870392960t^{24} + 442859860290518057507976183387187580532414144t^{23} + 94356964823348788768556131108652389413628608t^{22} + 15393872212283906492761303333125162961546640t^{21} + 2015394843693682766689626666504916675921896t^{20} + 214418525314408278488597078430774318003752t^{19} + 18421206382418113999375083519514350812340t^{18} + 1242782780770114187801665018838480182880t^{17} + 60924220297431181044142876218151990334t^{16} + 1583745108731956881022189038069410504t^{15} - 50003953690638633132768717153625687t^{14} - 8739377496026656144569356975620203t^{13} - 574529516378315081285930765453017t^{12} - 24886638840326998704372168786118t^{11} - 772149638698995375097790642923t^{10} - 17413201625423539214957414738t^{9} - 286198589841739614642282824t^{8} - 3739436204070874268166440t^{7} - 59220075953043952188588t^{6} - 1338089384351143278107t^{5} - 23104602212240708095t^{4} - 229992188698966230t^{3} - 1519385506629286t^{2} + 4174077538184t - 420708352 \right)D^{2} + 96 t ^{3} \left( 118085027301195742294424881913764981983192023040t^{40} + 408625877468437898725506376154995362762892247040t^{39} + 117138738648427610349705440505759189370732019712t^{38} - 2113759702419400503629975189516599138602987814912t^{37} - 6373561409478996215392000125798337189178870071296t^{36} - 10538996736498332831661909088378783702968393793536t^{35} - 12098764569918990462435134287221008200187666497536t^{34} - 10483399569865946300567173242711273211207723646976t^{33} - 7151410525456815791911454526306016404454518226944t^{32} - 3934223867181259598479085558719479377651041665024t^{31} - 1769011451620969262339700543493139686777107333120t^{30} - 653430395398937649534187284017066023739098251264t^{29} - 197430596435789381849617522632968467184189046784t^{28} - 47851796029688100403589829520529688790353345536t^{27} - 8790569051965545697137561593147007548369766400t^{26} - 990804477762006388609339485094065213488196608t^{25} + 37560873363391932636884149174661557238566656t^{24} + 53061443008548065583572184155516822409018816t^{23} + 15946094422148970576338314019589760329847328t^{22} + 3251061311663558360742229622921745616553856t^{21} + 513369976481077479321964441989483265180856t^{20} + 65256403139312090910609126208793596757704t^{19} + 6737037764938347900625341158630383459468t^{18} + 559548149212120090147059125421908864740t^{17} + 36149828823909182416271830640855530442t^{16} + 1650215165893535721648833038921342162t^{15} + 33346539346974512140687587318101796t^{14} - 2213360540342216184873183209632509t^{13} - 281029498706333265477803453755265t^{12} - 16957149476610585698792546696141t^{11} - 691279277566525316470918462418t^{10} - 20183258518660983734816747491t^{9} - 420464757007650761874721740t^{8} - 5985392860272904580459568t^{7} - 54198342123263535056228t^{6} - 410863574113887241758t^{5} - 7824543371676570197t^{4} - 145410199833929863t^{3} - 2250699138548558t^{2} - 24750307182158t + 1438238544 \right)D + 2304 t ^{3} \left( 1810326743557534375954827361796659820154060800t^{40} + 6181253975690971369215762348236338560289996800t^{39} + 1431411241932589117828988267660852323197911040t^{38} - 32979163067532633931644374305875882842458685440t^{37} - 97728302873967049808287117943283992374745759744t^{36} - 160013062989111980299963739646744379249372168192t^{35} - 182128215334602335530902388236231293445854068736t^{34} - 156476829879199065332394165014479867279902900224t^{33} - 105796804730030094621774960204019046717491478528t^{32} - 57643276705774941523201000736347834702819770368t^{31} - 25641415007947002778735459158498142362561175552t^{30} - 9353919520300722508527760698012136518869946368t^{29} - 2783362661033718609307059599849451161239078912t^{28} - 660770981386378375926037226989846445225620480t^{27} - 117261036428462015087501260622643427352093696t^{26} - 11965450513705259074741980358894995111210368t^{25} + 963212424619961524790544507847455070897216t^{24} + 815171696132006570925827633473100955598784t^{23} + 230904866274997713803933658374379077604624t^{22} + 45628961781097951806839133504135549370456t^{21} + 7032000306411780724528557113230931363744t^{20} + 873759200736282244561818704106169096742t^{19} + 88085716913630779916051922464883538104t^{18} + 7117573940273055176880119549939788223t^{17} + 443336866767134751467028319070467051t^{16} + 18969849969201228433196114127847002t^{15} + 279582010487650702588772855664323t^{14} - 34635880678877194618506491180826t^{13} - 3698295599588555221367809624382t^{12} - 209591041951925606413478526357t^{11} - 8144304527527144900015289722t^{10} - 226296513657927742139135818t^{9} - 4410262171835423261837609t^{8} - 54992042526870446909529t^{7} - 303630066171149579081t^{6} + 1486418747237037091t^{5} + 20093183602249920t^{4} - 153710526571482t^{3} - 13221138480536t^{2} - 178074295576t - 377158464 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $30.7788087$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$30.77881$	1	1
$-8.143942 - 2.598174\mathrm{i}$	1	1
$-8.143942 + 2.598174\mathrm{i}$	1	1
$7.355727$	1	1
$-2.888061 - 6.374004\mathrm{i}$	1	1
$-2.888061 + 6.374004\mathrm{i}$	1	1
$-4$	5	1, 1, 3
$-3.535265 - 0.07238971\mathrm{i}$	1	1
$-3.535265 + 0.07238971\mathrm{i}$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{5} \left(\lambda^{8} - 9 \lambda^{7} - 500 \lambda^{6} - 5048 \lambda^{5} - 13321 \lambda^{4} + 156737 \lambda^{3} + 1872721 \lambda^{2} + 7474582 \lambda + 10129492\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{3} \left(\lambda^{8} - 9 \lambda^{7} - 500 \lambda^{6} - 5048 \lambda^{5} - 13321 \lambda^{4} + 156737 \lambda^{3} + 1872721 \lambda^{2} + 7474582 \lambda + 10129492\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 10 & 22 & 32 & 90 & 120 & 264 & 114 & 216 & 1208 & 496 & 1488 & 5460 \\ 1 & -1 & 1 & 3 & 20 & 28 & 34 & 16 & 28 & 237 & 102 & 237 & 1008 \\ 1 & 1 & -1 & 5 & 8 & 20 & 34 & 12 & 32 & 129 & 54 & 177 & 696 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 6 & 10 & 38 & 18 & 30 & 162 & 72 & 216 & 744 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 5 & 3 & 0 & 5 & 30 & 12 & 24 & 126 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 1 & 1 & 36 & 16 & 32 & 144 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 & 3 & 8 & 0 & 16 & 54 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 5 & -1 & 4 & 20 & 8 & 26 & 72 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 3 & 2 & -2 & 6 & 4 & 14 & 54 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{11}{6} & \frac{13}{6} & \frac{7}{3} & \frac{5}{2} & 28 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{4} & \frac{2}{3} & \frac{5}{3} & -\frac{29}{12} & \frac{5}{12} & -\frac{25}{6} & \frac{13}{4} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & \frac{8}{3} & \frac{4}{3} & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{2}{3} & \frac{5}{3} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta