Family 3-81-24-a

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case C-11 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁵P5 · 12050.JwDw0 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁵P5
Bundle: $E^{3 ω_{4}} \oplus E^{ω_{3} + ω_{4}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ E^(3w4) + E^(w3 + w4) + E^(w1 + w2)
Bundle: $O_{3} (3) \oplus Q_{2} ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1)$ O_3(3) + Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label: 12050.JwDw0

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;5) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	24
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	81
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-31

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	81
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	114
$\mathrm{c}_2^2$	=	123
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	12
$\mathrm{c}_4$	=	36

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		1		1		0
0		1		30		1		0
	0		1		1		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₂ + 31	0	x₀ + 31	x₂
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 9	0	0	x₁	9
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x₁ - x₂ + x₃ + 7	0	0	x₁ - x₂ - 17	x₃	24
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = x₃ - 6		0	0	x₃ - 6	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 19t + 41t^{2} + 19t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(704)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(701)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 6t + 1 \right) ^{2} \left( 7t + 1 \right) ^{2} \left( 53t^{2} + 14t + 1 \right) ^{2} \left( 121311t^{4} - 27621t^{3} + 2367t^{2} - 83t + 1 \right) \left( 7447512444670010953721501451059907742272t^{28} + 17685526555310412950662254705880893526752t^{27} + 19429340790258527664163099896218479764780t^{26} + 13037462935003087918766647062222051313884t^{25} + 5912429134154836417881403295464778446326t^{24} + 1873715986682817889015309357184513922108t^{23} + 402518538862533712327440013013461592232t^{22} + 46718674535870264999745902652240415662t^{21} - 3269028905120328517068139492582738113t^{20} - 2988930499534868071056083991872527362t^{19} - 790313829252187610504956500768885610t^{18} - 137305072728321960029817476991443593t^{17} - 17627041707052030228758716573052991t^{16} - 1731304267995332420523880439853752t^{15} - 131157217443727007715958428256867t^{14} - 7621074958621946818967032965165t^{13} - 333969228676520204403624636660t^{12} - 10627329629975107536792763439t^{11} - 215570783056236075133998604t^{10} - 531900795480698696850051t^{9} + 157266704747732325503406t^{8} + 5526457058199492780923t^{7} + 15342439842046982858t^{6} - 3563048641304058552t^{5} - 73713365608832400t^{4} - 437623279425362t^{3} - 7144844146053t^{2} + 8492956587t - 41535936 \right)D^{8} + \left( 6t + 1 \right) \left( 7t + 1 \right) \left( 53t^{2} + 14t + 1 \right) \left( 72400085838804945367590464634866293321485382528512t^{36} + 191186938756937556329374927541324160699830966558016t^{35} + 234755268035934677220451860140459828646925830272592t^{34} + 177101332620197121374700533305062148878653608480272t^{33} + 91019230882477307013319335991234137502212261958404t^{32} + 33133400460313930662797808541017085797990825035544t^{31} + 8435447512295812173422400826786677858855176315832t^{30} + 1321005382691418610680151372186472332610037813588t^{29} + 24257731372995988133577167722121827862443413846t^{28} - 54694913175309625555221889556641724672423685288t^{27} - 18578941165973441732126465666051202977628781032t^{26} - 3718779601965991525411831151255195004374491374t^{25} - 520606787755637217738351007579135285434942441t^{24} - 51508855437849346017948097425515845620071646t^{23} - 3237867858139672397928298303623239444502473t^{22} - 55007561161473609812491218918668071482330t^{21} + 12896531520522681089590475144110379970009t^{20} + 1547196619604825402977552373216404190307t^{19} + 77971569062680561128486741731894676152t^{18} - 287902448057586202923403408155351053t^{17} - 375545706814733751698032907012538120t^{16} - 33574900704267272501501382656891275t^{15} - 1715140382790506923450888159123820t^{14} - 48887482948022446397088140728914t^{13} - 19114591999769199020183503675t^{12} + 63852514296376958609697147184t^{11} + 2765952815635856972049654840t^{10} + 53635339215606159731704096t^{9} - 153596913261108505915525t^{8} - 50046451249190648392501t^{7} - 1198635519766664818639t^{6} + 13400012470202599240t^{5} + 655773878696379910t^{4} + 2007299114195811t^{3} + 59175006755052t^{2} - 65598014637t + 249215616 \right)D^{7} + \left( 2444299298003893760555221676537720928826667999545093632t^{40} + 7691484647670975423622875900601173429845144208394377984t^{39} + 11428954302302181545984844597658412859975911908580468448t^{38} + 10637553277940633796521206194227502724899344310002260848t^{37} + 6924716129069744394635814312163042211201721477265621008t^{36} + 3324224512753979062535134813753194359892126291748422948t^{35} + 1202248603325442364832796961410287071808809097507057712t^{34} + 324489512959032988881528522517459390285687143189137328t^{33} + 60744304548661050528276684035438783544944636319517812t^{32} + 5216272079758935011098954298910735729317863027454790t^{31} - 1211515722441086763083290627389968739906051799117824t^{30} - 668828370958679278204083682376320127929533117285960t^{29} - 176084226274620976957954953131383038446634869103222t^{28} - 32966738822668264851677726044991337554803457454741t^{27} - 4758874893043111410260690731711023249375241461603t^{26} - 540552945331727821559468263116336462790799543050t^{25} - 47832394956896571018777419658830395566470928768t^{24} - 3133743908160762744362616161184722218367752478t^{23} - 125601837293065681524972768446204027149426367t^{22} + 830067779070125906694079099878844988271126t^{21} + 624834209349727520712240653751179295951631t^{20} + 59686308547671528541535719682704072321612t^{19} + 3639606421183318147719885777793434645724t^{18} + 157865047036577354165942876541675864260t^{17} + 4242573777807216002602302630515826019t^{16} - 21730167427015974564619232276963982t^{15} - 10515474639029708765711125756073523t^{14} - 695209398086179519891989616538693t^{13} - 28328987830200323920984258952813t^{12} - 798356051335424685439542907915t^{11} - 15149103376901926106160162156t^{10} - 100555190462795197405958421t^{9} + 6096485583872762816732933t^{8} + 225274771039976600734682t^{7} + 34786612134508371734t^{6} - 148672871732849956481t^{5} - 2595714513238211096t^{4} - 12295194280567364t^{3} - 149833706957313t^{2} + 140535008307t - 539967168 \right)D^{6} + \left( 20306486475724655856920303158928758485636934150066931712t^{40} + 62746398709344841383092552554898180011067931856870854912t^{39} + 91483683094837486167826923279969845749693321560499461888t^{38} + 83469608879857714184961460917336567924089214321565590576t^{37} + 53192785815411298010822751978105235652955690336560932680t^{36} + 24941674831779882380064447118539980173953886587806528748t^{35} + 8772222350837119138896369741910668728135478047404965420t^{34} + 2278919443461551352329883391361912775270440047985722356t^{33} + 397050656567512608811926354690785756559234629883707244t^{32} + 23367428893718030613936563615517662872878334051339206t^{31} - 12238597166532211668690596816313365488125036615876270t^{30} - 5485095528076723645788903176946790967418773380904982t^{29} - 1371348455063990727564858125198499007104883802150658t^{28} - 251421691493562615411401396001676493335122846048609t^{27} - 36162540332234861758823890486425390877203441118059t^{26} - 4170618061650758741325205382470594076209769585542t^{25} - 386317573344193316296922566746934505562306824402t^{24} - 28294709280822487009289789454612423533145711786t^{23} - 1565312424024421562385276143488823018399756987t^{22} - 56478789825808716090488356848344561391863198t^{21} - 289023550097930411684047838389091622374243t^{20} + 134380036952985163130507588507534799830774t^{19} + 11963905599922229774619162777074600169520t^{18} + 671021354984227105259257697052197403766t^{17} + 30146308320264735788153576883286140049t^{16} + 1258503328455268355360940428638422618t^{15} + 55126770525042656639076173265907763t^{14} + 2471385539569027107073963061106321t^{13} + 96587277305300545338228165730941t^{12} + 2804181724755924597519944813101t^{11} + 50736984753776055392683858412t^{10} + 234632174271727848069604743t^{9} - 16459710298143023868490391t^{8} - 509986792415391809003162t^{7} - 2321202683418538861630t^{6} + 194405793590035745939t^{5} + 3408327404385965836t^{4} + 13579063335011958t^{3} + 156611804272023t^{2} - 142947835659t + 498431232 \right)D^{5} + \left( 100498305752544708847443537393031679727527234288988657408t^{40} + 305814024988867034263041545008184536010297791801003646592t^{39} + 438702395611291504015447826798017218560526277196621448912t^{38} + 393397414486680776116634389027527287682198028273267412736t^{37} + 246002557855974043123336646946654903522025989627514625268t^{36} + 112887602882678974074572046651198152526106362978526146060t^{35} + 38658235903983466850088726528192396419143983750183530082t^{34} + 9660017235201971684819512368960850028343959607762181230t^{33} + 1550534589633979995218312303576554512519503201610398652t^{32} + 39645752114590685042828141628385928396825887973887380t^{31} - 68492977452970185403678842123565928752505762021207169t^{30} - 26703454323562444665654253717231946584266357064599981t^{29} - 6379405261239072998292767403845559363425644695547146t^{28} - 1142242514178087819476930664222942728518283322679920t^{27} - 162292672853494246616842311644356926887408801800782t^{26} - 18686716582072365004673002350269228673467803918591t^{25} - 1753468105306654148235742513299317529537448383396t^{24} - 133446145327818991101869007776366261560756472225t^{23} - 8099264269319061203039095009190943330094211903t^{22} - 376518066429603726195013910122015327390445265t^{21} - 11950185244637836047914465564887752435967439t^{20} - 130085231151797532256725111576986667091492t^{19} + 11426518866377196701205942262153030794645t^{18} + 799087296807733776030449487521650752313t^{17} + 19172802464517002167052614704681213483t^{16} - 694052332463844446041114056986262467t^{15} - 88394394203459257905662298085225873t^{14} - 4425790066854656389715533765417580t^{13} - 142186254905486751766922914698485t^{12} - 3375625583913429561986785796813t^{11} - 68640339864079205809546167022t^{10} - 1204560483311061261068790062t^{9} - 11595831368245614015941967t^{8} + 61824048813791023834052t^{7} + 738851163839848190585t^{6} - 75512881476328635738t^{5} - 1536232152643604906t^{4} - 5202459369708911t^{3} - 55838780793123t^{2} + 51279924762t - 166143744 \right)D^{4} + 2 t \left( 150606441361624530938825581762054958768473928279663076864t^{39} + 452527262764143942831740074420948817714013706298247958080t^{38} + 640419257906542987182345269491798848799330450628981704656t^{37} + 565892734968588942731940256284859141702316429592336948144t^{36} + 348121011425730955371553026456078438068586655146406867752t^{35} + 156722538205272871917111069089301907552252517010733149000t^{34} + 52372378062360520199994523628179506764392529672756783484t^{33} + 12604351736873526464840881500450698725699090517402416908t^{32} + 1851188162789733685018186471653739360743911616283228320t^{31} - 24836868422010183326735804695264517508885614110372332t^{30} - 110561166381793775403448699589129386774299117552820638t^{29} - 39165339265437817742773735558262649316410581271278166t^{28} - 9007808313311685142203651697864420303388767885941354t^{27} - 1576251763746637889110744925387982034939702167832440t^{26} - 220507845704237845982315748136205054855949324240795t^{25} - 25150555009926527704307306448900897472538844038963t^{24} - 2354872467324210367591755205634136511220573010277t^{23} - 180820238351392226709959115303387398443860845979t^{22} - 11291332059055184227217294435267484777844345405t^{21} - 562155726838106149672036352692134170854807558t^{20} - 21285265633628829560847254612990709394451383t^{19} - 528926954753569215035011571834257989598629t^{18} - 2132423484176973981871565795835312355727t^{17} + 520261901330895781312083597162984272667t^{16} + 24842971386294250806070165654951797656t^{15} + 359013316144547102472598008910209009t^{14} - 15792463775781314596253148449453399t^{13} - 925747667658896355548779501221143t^{12} - 15849865307124884744498372470598t^{11} + 109450746873013618719464584249t^{10} + 7277358861932052590252447684t^{9} + 93855822951706204028533792t^{8} + 1398907114313160319364809t^{7} + 8729990856388729631370t^{6} - 672521417257644387382t^{5} - 8103290599801389609t^{4} - 43003419214282141t^{3} + 130978545014208t^{2} + 49759318914t + 152298432 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 132202568808338803375377749688343290749414528744626666752t^{38} + 393206691085820847532905653782806485120476018281240724224t^{37} + 550361385014837189278885136627777138293085612857337357328t^{36} + 480453570708221776254889495152067365789123755182744170528t^{35} + 291538459016373067507396787229495723845980151706849692508t^{34} + 129124144117696632139939791971600595489055901216693162652t^{33} + 42233146784660497579475272479933000018941975342169380850t^{32} + 9819109347248411959827855375391893855107845600754798166t^{31} + 1315929370259198622321684146871567791848302200050697604t^{30} - 75116135987339157224882295921227962183510849221215748t^{29} - 101404026485702346311243459349240278195618204422249065t^{28} - 33576322617205530850891258958844219164927062979113389t^{27} - 7488828922530341520091421947717508323885708612148616t^{26} - 1283929121778657063319200656904503687039578136242914t^{25} - 176835782990140595515767496009213625445145064678187t^{24} - 19928202157970682521353019756625314881663311463440t^{23} - 1850674305793606960936840874107812600879934434312t^{22} - 141698052974395498868183813673604805042474271591t^{21} - 8897447716153101302585142976430832205676386566t^{20} - 451990942342852593403465936341660395073534723t^{19} - 17992737280988551806191444366491806255576475t^{18} - 514066698539635240329896626647166938354549t^{17} - 7149243477802746826449863372522797319078t^{16} + 185440829026489928153404083201996680519t^{15} + 13422608558275737800166072421539525019t^{14} + 239159554615653707959161189364677641t^{13} - 6530744391530357746504048926098389t^{12} - 384703339415824167172856149359526t^{11} - 2912217412369682365453885833147t^{10} + 238011643563638440031628103855t^{9} + 7944185233721149379652617613t^{8} + 125037771847961708131926251t^{7} + 1734745386859363597290365t^{6} + 14779182711073103440202t^{5} - 112120086871901902926t^{4} - 1877268611170757538t^{3} - 9968712025866462t^{2} + 9374124651300t + 10965487104 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 10220394317477819515288591735413217729874144767328660736t^{37} + 30160503863288531616980403118945258013915292132856827936t^{36} + 41853515459906211559867390341272846477532115597218873864t^{35} + 36189886159240984093015632467796807857681906828708812488t^{34} + 21721112616473230286039960749814927531046322027129682820t^{33} + 9493842102358947829603645553702639063825465137045602996t^{32} + 3050313537426780408608766893674542868390397253444808884t^{31} + 688321706957722605243998315364964790116445876529056268t^{30} + 84425496742157747944217483888861817992744309550653340t^{29} - 8699661724242787952300447575606990178735330370001440t^{28} - 8040969800623578577949964085346765763667869720236382t^{27} - 2538563994901184403761938545956358375499512609839418t^{26} - 552829593821462316533287280913966864168380360384607t^{25} - 93185283747193394434986569671902445984090611582651t^{24} - 12658233346348636508123052332880994112914672824945t^{23} - 1409877364158465279011101351276828129705513050165t^{22} - 129675587422945790668533194005239497857226727159t^{21} - 9860175623591309749304391030194729833934625912t^{20} - 617315751044294644870350297036496804290377853t^{19} - 31460946749031300819528429095173383657174681t^{18} - 1269756991575794119398625190808824266828723t^{17} - 37691405220130717544291686743917556876495t^{16} - 620565721314525750172487601165008269004t^{15} + 7370549238304063297009729271198568533t^{14} + 767647434724595143431895647843797539t^{13} + 15216522230846905137351389455274447t^{12} - 284490306910795772732104428282724t^{11} - 16684050061624765589409251251981t^{10} + 49127970123803733175134778074t^{9} + 18946183700124335367536561968t^{8} + 551638558342060183491141837t^{7} + 8790219801107436102713456t^{6} + 111810092424995126500892t^{5} + 847589637877934070221t^{4} + 984130808722354923t^{3} - 7822521424252140t^{2} - 29545745125032t + 52539763050 \right)D + 864 t ^{3} \left( 208914469914862714577369374063053070839886153807272960t^{37} + 613051070349723548366676845178202577102145655175396160t^{36} + 845460480996157773771551914086993940735125503668061040t^{35} + 725980184419521139091115608677611744984187982063540880t^{34} + 432234750971466765719109884255670491839232123710149408t^{33} + 187060899233286875605047339455300018519982991231960032t^{32} + 59290887359830149424459318609247449885305195488128884t^{31} + 13068053513050249897515719481072458032517925238030596t^{30} + 1483498586256261070776215329436842179191110945263660t^{29} - 217328790576959648299227538167774797632384025042076t^{28} - 166743042948740291635805369041509786218080877093028t^{27} - 50964252905752548033145369700231194100650138028124t^{26} - 10907532790563028659354680533362967952958546066354t^{25} - 1815032909352056596241197982469157943502055473150t^{24} - 243871714743739404856101810886930694486453285829t^{23} - 26899275619066913617931694321619690548168382659t^{22} - 2452805629979617504320736426179345851028786756t^{21} - 185149997439791536460130557568792444548495314t^{20} - 11529081431630650475294492294912165891697621t^{19} - 585901327353319096068466820467563359991968t^{18} - 23661812220940673813383629659116296936854t^{17} - 706818460690867871117822933145199236131t^{16} - 11965838382584264731430537960452410060t^{15} + 117517848693459762482766340889886133t^{14} + 13893207090780644032315476065838363t^{13} + 311875670681060533046290274425583t^{12} - 2047972651569041429126985060816t^{11} - 159373188608120746948723002337t^{10} + 4553629771178339943312050297t^{9} + 389557375266170543249846529t^{8} + 10261858694327577577428173t^{7} + 161562900867515012624186t^{6} + 1898398649244159829151t^{5} + 11292452875555189103t^{4} + 32077892101323693t^{3} + 328327383293685t^{2} + 2639391772329t - 1252960488 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁵P5

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $35.7259732$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$35.72597$	1	1
$26.55263$	1	1
$10.3607 - 4.531849\mathrm{i}$	1	1
$10.3607 + 4.531849\mathrm{i}$	1	1
$-7 - 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-7 + 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-7$	2	2
$-6$	2	2

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 6\right)^{2} \left(\lambda + 7\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 14 \lambda + 53\right)^{2} \left(\lambda^{4} - 83 \lambda^{3} + 2367 \lambda^{2} - 27621 \lambda + 121311\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 6\right)^{2} \left(\lambda + 7\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 14 \lambda + 53\right) \left(\lambda^{4} - 83 \lambda^{3} + 2367 \lambda^{2} - 27621 \lambda + 121311\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 12 & 120 & 18 & 18 & 342 & 1152 & 432 & 504 & 3600 & 3960 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 12 & 120 & 12 & 12 & 324 & 1134 & 378 & 3096 \\ 1 & 1 & -1 & 6 & -2 & 0 & 108 & 144 & 0 & 0 & 810 & 72 \\ 1 & 0 & 1 & 9 & 2 & 0 & 30 & 138 & 45 & 45 & 369 & 432 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 6 & 6 & 6 & 108 & 144 & 144 & 810 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 8 & 0 & 0 & 30 & 138 & 30 & 324 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 8 & 15 & -2 & 0 & 108 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 12 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 8 & 15 & 15 & 108 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta