Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-142-35-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × Gr(2, 4)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(w4 + w6) + E^(w1 + 2w2)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(2)
ZL62 label
13031.wGx301
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 35
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 142
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -9

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 142
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 124
$\mathrm{c}_2^2$ = 114
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 44
$\mathrm{c}_4$ = 20
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 1 1 0
0 0 14 0 0
0 1 1 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 9 0 x0 + 9 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 25 0 0 x1 + 10 15
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 35 0 0 0 0 35
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 30t + 80t^{2} + 30t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(488)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(538)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( t - 1 \right) ^{2} \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 68t^{2} - 20t + 1 \right) \left( 68t^{2} + 12t + 1 \right) \left( 187t^{3} + 96t^{2} + 14t + 1 \right) \left( 2142352693431234025393142513664t^{29} - 5010634151924636714690253127680t^{28} - 2460287723710067786465843945472t^{27} + 15604634158315469450422491131904t^{26} + 26185303098084654030706538816512t^{25} + 21517444786844503806480045603840t^{24} + 11803042418950158091954018238464t^{23} + 4724260970672240513188034999936t^{22} + 1385986370232977386938761056000t^{21} + 314861245056889187599288841248t^{20} + 78614365507093786620492589936t^{19} + 28480444551222987346404838088t^{18} + 9769007751406211242281485304t^{17} + 2407232843573408926578173842t^{16} + 424028620898125466762665711t^{15} + 61534773270916331496388544t^{14} + 9225084415795847202484580t^{13} + 1428530067370809037983247t^{12} + 184006149444610055968181t^{11} + 17250127995213425068309t^{10} + 1123143722231512807598t^{9} + 49331309957271106072t^{8} + 1430952940669862607t^{7} + 31335201765286480t^{6} + 865053285763150t^{5} + 21799377098599t^{4} + 207857324505t^{3} + 988970851t^{2} - 25507716t + 308992 \right)D^{8} + \left( t - 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 400132799807976047581015452592700915712t^{39} - 852123518078566414830826441886027218944t^{38} - 874567610647610316436677350930856542208t^{37} + 3295337887789001973536208478551772102656t^{36} + 6572615642005345236601853798607900573696t^{35} + 5006385885649812624401846957884795486208t^{34} + 1404379029223675938200677070867853524992t^{33} - 776399008538316242179250453997255274496t^{32} - 1133411676530976288426016490224481146880t^{31} - 713254815363340717713138588958349992960t^{30} - 294297376152128609870077447494635726336t^{29} - 86907651503966415639720986104797221888t^{28} - 21457808297368645871566149223596931328t^{27} - 6432855434931487302137097919580381696t^{26} - 2460842602778446158425286878308452864t^{25} - 819958689963810045672030959527497008t^{24} - 198814184710341249394018311198727832t^{23} - 34632944517772086992801297920984900t^{22} - 4750895987508212624587912808679114t^{21} - 645081119449255594620535708838896t^{20} - 93121452892523168873873730158701t^{19} - 9183265194674977120329643206881t^{18} + 326477120527982964972705777403t^{17} + 302565219492821482188025994758t^{16} + 58134571079424407582476881007t^{15} + 7124962318463540939348182795t^{14} + 698966032687657705878260943t^{13} + 63453205842935307658455092t^{12} + 5389406691544570595760299t^{11} + 385352588670478090456191t^{10} + 20882550049182332733153t^{9} + 798611172852087301980t^{8} + 20752589090721989045t^{7} + 417077819905367999t^{6} + 10169452919556971t^{5} + 221080530166850t^{4} + 1879198892038t^{3} + 8142476964t^{2} - 182570908t + 1853952 \right)D^{7} + \left( 18206042391262910164936203092967891664896t^{41} - 51214164686079055831628798964173797588992t^{40} - 17085994066891204305475376680035117170688t^{39} + 187789100743493993530139934567038581997568t^{38} + 227799955587115447853501749631512896995328t^{37} + 38054262439224920698079229731978730799104t^{36} - 116445970479608683637723971954744027365376t^{35} - 121445305161097784278610106206957401993216t^{34} - 59746154833110104374219960246183878633472t^{33} - 12001799156472079321127161581277314747392t^{32} + 5103646973896988491904902925154195272192t^{31} + 5291717093603650977456261298526751556608t^{30} + 2174157843149955130070416784315563732992t^{29} + 543943544650981736041553260046384193920t^{28} + 129229786624512099997540860048319554944t^{27} + 56812291022160338413900485350051643408t^{26} + 27017176220088143851013951975796907304t^{25} + 9136723894616009919433475747414598380t^{24} + 2189174150620287683077317133293465698t^{23} + 407109083268409738664287840694767270t^{22} + 68288519584696306997354870922892151t^{21} + 11632290639197097293486694694914703t^{20} + 1897716878479572120029870701275662t^{19} + 258840317709934637598428822581383t^{18} + 27379704694631003476795818868676t^{17} + 2230339547829836743952391091893t^{16} + 152448315926637941519926750890t^{15} + 12086433685247418652288511047t^{14} + 1501896142252426542266460244t^{13} + 205207944890628385172943203t^{12} + 22101369807535854176937872t^{11} + 1712671876930256048856863t^{10} + 93072209141002348019520t^{9} + 3457244064366702840767t^{8} + 85501254194172539900t^{7} + 1574084502132342359t^{6} + 36122559829413965t^{5} + 789971863334222t^{4} + 6281936519882t^{3} + 26462079078t^{2} - 414429876t + 4016896 \right)D^{6} + \left( 151250198327414945985623841080040946139136t^{41} - 427597132407787502094099757976460925599744t^{40} - 127043999408423994494367163056944252977152t^{39} + 1561440776602144780869683240611779357966336t^{38} + 2026008316301848958910286515340450557591552t^{37} + 721358326963090333330629410787763939442688t^{36} - 489271160917748856665122686609045969387520t^{35} - 732392010368657811283982977137325046394880t^{34} - 451540528093199001204181168169358075189248t^{33} - 159574309501214412032516647083034448610304t^{32} - 20906715050956974397251764175717020613120t^{31} + 8421936947808498122729206838020197306880t^{30} + 4316960337803133315653760616747323351552t^{29} + 519856172517764128903164889800174875776t^{28} + 20672969584094089872228693404023343488t^{27} + 135933264088362330661425526391193674960t^{26} + 102511679442059225788421297421225266600t^{25} + 38242929813292925000112902517766715820t^{24} + 9342217366211430559570732993883554222t^{23} + 1763362492765202419541032842185950676t^{22} + 307923967085927244952248292613874661t^{21} + 54873872927314295017671790177171845t^{20} + 9119798540374848978087072837411876t^{19} + 1237096909537052107821592356042643t^{18} + 126842349067597537334318290861806t^{17} + 9338589709890305307558270573643t^{16} + 448946549392026619698152578008t^{15} + 6803390054264648172891317741t^{14} - 1651008008885143290976924302t^{13} - 322189170306682897090615483t^{12} - 38981618952615307430909042t^{11} - 3240433210750899866630531t^{10} - 183009433958280170382338t^{9} - 6868651331942810440351t^{8} - 165966916334444078918t^{7} - 2728688113538098573t^{6} - 54087581447817215t^{5} - 1207968593414306t^{4} - 9660069101314t^{3} - 30127136788t^{2} + 379034788t - 3707904 \right)D^{5} + \left( 748548435240771191012184657937795238068224t^{41} - 2124923011482481479091206240579336340242432t^{40} - 585924430207423660254458217918666574921728t^{39} + 7779686345034762456981558129914344326168576t^{38} + 10652110508175292935578678622715219141066752t^{37} + 5185564136932782939875678627715499589369856t^{36} - 545633982103829997458681639607560839856128t^{35} - 2411797874663212432568931659214636270444544t^{34} - 1810905694458622822375190812717052240812032t^{33} - 782398619766718174537593676119607880567808t^{32} - 193344515192099350549519023131739859403264t^{31} - 20564862021723506696585424945388207881472t^{30} - 3536301906829649533859674610681290870272t^{29} - 4534399232403762668173713564934358148480t^{28} - 1875268365286886988438450075579210832320t^{27} - 83567600832017918824804374197208641664t^{26} + 200271215731536147278462515242201807216t^{25} + 91548434425110062916831993158107445864t^{24} + 23080572272736045152173401765093453182t^{23} + 4390534726352318214033176283145643609t^{22} + 797886597696970627737938509212524413t^{21} + 151670171350334714309073464423465779t^{20} + 26647452050521079973491659371165060t^{19} + 3819916905531854323079540956658839t^{18} + 426644340160759142212969912240085t^{17} + 36782416358100863779227492946324t^{16} + 2440194498843189034525676540175t^{15} + 124928587880217003968136532900t^{14} + 5417204609794904381398652693t^{13} + 299713326965323418683283764t^{12} + 25702543105368494294456879t^{11} + 2070340313301331317129930t^{10} + 119853324375134494689271t^{9} + 4655189805049014047900t^{8} + 116000234767840558227t^{7} + 1866039421550156011t^{6} + 32800376398350906t^{5} + 725184398128369t^{4} + 6128910501485t^{3} + 13553740359t^{2} - 121232904t + 1235968 \right)D^{4} + 4 t \left( 560886152130830424696688410671818508599296t^{40} - 1597519349277680546563766585925255197884416t^{39} - 421759197176101645566857859613472633192448t^{38} + 5885461947769635305886818979977448015495168t^{37} + 8397984334117376496427822146117221339480064t^{36} + 4843144784590568032689903280504490329497600t^{35} + 682041745344535415199540975329120228065280t^{34} - 1062416168122405035860102752825774453448704t^{33} - 1032608658354791084363924575007822695641088t^{32} - 506217014338654449038883379377972046779392t^{31} - 147827670625012378706164328959441196664064t^{30} - 27803735078569322234922062966535733309824t^{29} - 8376410915374126802827434069448860882240t^{28} - 5048623114632263007391407850929813735712t^{27} - 1960967834222703111921945397304563436128t^{26} - 346180290413295194268130363463429387920t^{25} + 22321560183467729453378551584894349776t^{24} + 27396010721058561419309560443267819888t^{23} + 7560583298527552756721661237960502660t^{22} + 1445883668358755178618067865475524277t^{21} + 277831027014187978400480783236441794t^{20} + 58335559970344003145898733322110905t^{19} + 10959365604514916134674770658087439t^{18} + 1610052438693896773119801167585774t^{17} + 178481914719653970093259429250328t^{16} + 14827272351105786622196977966595t^{15} + 918774795930563801470529358357t^{14} + 42495354117786917134478311526t^{13} + 1510758813738984125031004696t^{12} + 43469367656213464401482335t^{11} + 805292050423621974676675t^{10} - 18143768898802687487836t^{9} - 2318072899758835226842t^{8} - 98398751283803746885t^{7} - 2472328629057327679t^{6} - 31807360904001005t^{5} - 242505211754128t^{4} - 9381541264926t^{3} - 130170787108t^{2} - 67324408t - 108800 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 984693475927445055092913944209587561824256t^{39} - 2812031377936934495080815206391226282278912t^{38} - 725894751959953279862279659936534976790528t^{37} + 10438718729954664985840738100317648519692288t^{36} + 15359647685912133765837304722363619816439808t^{35} + 9802305343016969305346175938367015294763008t^{34} + 2649253063943896578862540659166673163976704t^{33} - 847636221629469185712840461679685987917824t^{32} - 1326242604496701236789818859804295031367680t^{31} - 728206297986630492689630730117530826105856t^{30} - 228293797796224742201277670645740921430528t^{29} - 48509981013838568357444155497300778803456t^{28} - 16350050316641230817811949914102191042816t^{27} - 9455955539856073837568013357193638508032t^{26} - 3803898007430958161655408135174002433344t^{25} - 870328634888446805881862664535234900096t^{24} - 86738222087114142281100600446006787952t^{23} + 7890930075587823597620541220510535192t^{22} + 3972153480335614981128104619995335514t^{21} + 788646510151283816840192194824760951t^{20} + 177901187598069935858398173084611291t^{19} + 47237247983566772643366772980226455t^{18} + 10142543807956163651964361086861734t^{17} + 1577668888237558575795547786005467t^{16} + 178371712202777170284908798639881t^{15} + 14842962406982897305007687244349t^{14} + 915752601657741950438624845620t^{13} + 42502594062373746313562759871t^{12} + 1552083469562328054388883821t^{11} + 45889926200973353603746143t^{10} + 714069383365184498065008t^{9} - 34932986915084870409479t^{8} - 3225941433892316135943t^{7} - 121880019069631504317t^{6} - 2644356738027338524t^{5} - 32392884140752186t^{4} - 436143526787698t^{3} - 10577273676382t^{2} - 81529339184t - 12359680 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 76125265163467443052288189855761349214208t^{38} - 217832836131900666267590386492553881976832t^{37} - 55673001444703337487777709652613756420096t^{36} + 814531465377686995991349206696910795276288t^{35} + 1225297200180428623171292529328290247458816t^{34} + 832817381424425734823652545890052781367296t^{33} + 287157734425038528396163907017654058778624t^{32} - 7112593786101172008105815056464023916544t^{31} - 73307280941209347195645706983540784547840t^{30} - 45559124722762090165670064325310514132992t^{29} - 14800859974596531303511142468375245312768t^{28} - 3221952545213724357670070726502430192000t^{27} - 1182346577194357760675825078355429528128t^{26} - 720952657562980975824478979890690147360t^{25} - 304427994677192144810037607956294713632t^{24} - 78532525396959143691872200124842303456t^{23} - 12264729413081166441091344879369473704t^{22} - 1134592090908872399376690697055956964t^{21} - 89078501728564790020124922101170942t^{20} - 13495312015644488890679326021834787t^{19} + 264460027485904682976045574935089t^{18} + 1195797166866094516478812284494723t^{17} + 378069831567750357560090476551138t^{16} + 66932048646444850090454014347830t^{15} + 7964243335728018572912968132836t^{14} + 676488404657733506992985435450t^{13} + 42185280325608656812331342332t^{12} + 1994163841283964549059855292t^{11} + 75856499845671666176017368t^{10} + 2346702318807364460428028t^{9} + 35569489277148116070606t^{8} - 1944966407384477075354t^{7} - 168358363737225175084t^{6} - 5997467929034093498t^{5} - 119039178369591222t^{4} - 1444872368270373t^{3} - 24730217786601t^{2} - 467849328171t - 2369849928 \right)D + 288 t ^{3} \left( 4668215997759720555111846946914844016640t^{38} - 13377264002650826966547502903987297320960t^{37} - 3406492869471421464114287827049016852480t^{36} + 50314518967228665425111413638195305840640t^{35} + 76831059757938849137419357810739415515136t^{34} + 54288478597398819435537378174133378498560t^{33} + 21096062295563021469011577909234628214784t^{32} + 2050360039685866166598016494936331108352t^{31} - 3223454153334297555307007245700450914304t^{30} - 2303121192545879996749061745129211645952t^{29} - 762834622285211441204343297895169350144t^{28} - 163750180487715010918557060231922508032t^{27} - 65266370342603012093623225304076985472t^{26} - 42905757254334563142495292699614916416t^{25} - 18901978026513129646998118097493318464t^{24} - 5203938362228734276912014037641774464t^{23} - 945991365766072435004003219646112688t^{22} - 129392855551811260249519903257586712t^{21} - 18854973161951870567727951905364384t^{20} - 3352013434992374094944797909578612t^{19} - 450464750035716536173135267068296t^{18} - 12934298298550959222788597390578t^{17} + 8960778519641052399333472923080t^{16} + 2205154441369696584788015015321t^{15} + 291560685880007046910319980283t^{14} + 25941815123828010681527907293t^{13} + 1662945165088295586108326740t^{12} + 80958690240875827180315535t^{11} + 3200643489453539220364599t^{10} + 100586519328533760340869t^{9} + 1320478536530085015978t^{8} - 98022135338411684493t^{7} - 7483642738657708893t^{6} - 247614267174905661t^{5} - 4535406327239742t^{4} - 55702220683479t^{3} - 1072236475509t^{2} - 16684969515t - 58920912 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × Gr(2, 4)

|λ| = 15.65685 λ ≈ 15.65685; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6 - 5.656854i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6 + 5.656854i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.525473 - 5.734048i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.525473 + 5.734048i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.343146; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ -2.949054; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 1; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 2 2 2
Sector dimension
13
Spectral radius
$15.6568542$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$15.65685$11
$-6 - 5.656854\mathrm{i}$11
$-6 + 5.656854\mathrm{i}$11
$-5.525473 - 5.734048\mathrm{i}$11
$-5.525473 + 5.734048\mathrm{i}$11
$4.343146$11
$-3$22
$-2.949054$11
$-2$21, 1
$1$21, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda - 1\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 12 \lambda + 68\right) \left(\lambda^{2} - 20 \lambda + 68\right) \left(\lambda^{3} + 14 \lambda^{2} + 96 \lambda + 187\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda^{2} + 12 \lambda + 68\right) \left(\lambda^{2} - 20 \lambda + 68\right) \left(\lambda^{3} + 14 \lambda^{2} + 96 \lambda + 187\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 8 & 12 & 24 & 24 & 48 & 24 & 24 & 80 & 16 & 52 & 100 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 8 & 12 & 12 & 12 & 6 & 36 & 12 & 21 & 32 \\ 1 & 2 & -2 & 2 & -8 & 0 & 12 & 4 & 6 & 24 & 42 & 18 & 32 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 8 & 0 & 8 & 4 & 4 & 24 & -18 & 12 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -3 & 2 & 0 & -3 & 0 & 12 & 8 & 2 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 3 & 0 & 8 & 0 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 & 8 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & -2 & 1 & 0 & -8 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & 2 & -2 & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$