Family 4-140-35-a

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-56 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3 · 112030.wFx5100 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3
Bundle: $E^{ω_{4} + ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{3} + ω_{5}}$ E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2 + w3 + w5)
Bundle: $Q_{3} ⊠ O_{4} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1) ⊠ O_{4} (1)$ Q_3 box O_4(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1) box O_4(1)
ZL62 label: 112030.wFx5100

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;2;3) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	35
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	140
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-17

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	140
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	128
$\mathrm{c}_2^2$	=	116
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	36
$\mathrm{c}_4$	=	36

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		4		0
	0		0		0		0
0		1		24		1		0
	0		0		0		0
		0		4		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 17	0	x₀ + 17	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 18	0	0	x₁ + 3	15
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 36	0	0	1	0	35
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 30t + 78t^{2} + 30t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(486)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(535)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) ^{4} \left( 67t^{3} + 2t^{2} - 7t - 1 \right) \left( 53831t^{6} + 23300t^{5} + 4126t^{4} + 882t^{3} + 27t^{2} + 10t - 1 \right) \left( 19906317801215991725300992437406t^{28} + 133654958657480656185079475544728t^{27} + 431842482677799896145454145815062t^{26} + 844124184263713153706282319410156t^{25} + 1102645242155054888425763126261169t^{24} + 1023626459968772360362075928083296t^{23} + 704642676701461131174768433171995t^{22} + 371230983111775807702588090905971t^{21} + 153643841990876202689233438929579t^{20} + 51210130234903325545294380852890t^{19} + 14108626876556987565497104222250t^{18} + 3298131517286583628877407225287t^{17} + 666856248157281932041344714351t^{16} + 116862323918620190792630873241t^{15} + 17417622111122240978409017712t^{14} + 2134552290725483097448234280t^{13} + 206396698772287272467666128t^{12} + 14968260498349594392518052t^{11} + 750148034529687406614264t^{10} + 20904327313915909502728t^{9} - 77495521219940368800t^{8} - 35435914640371479968t^{7} - 1909050356485805000t^{6} - 57072550600189296t^{5} - 247000196591424t^{4} + 25127154003852t^{3} + 469026032976t^{2} + 2442154680t + 1128960 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) ^{3} \left( 7753931125380319253886008010125945265096t^{38} + 57933194226133463885718735802522926543736t^{37} + 208810474271805214788645311888689371563868t^{36} + 462288735542122426078760153198898176520756t^{35} + 695178809009319803891945515282451562339844t^{34} + 753082206549363738706345893766958317392948t^{33} + 610416276087561607002479703194374587017886t^{32} + 379336964640899882597800163748896040514959t^{31} + 183181221072472562390747963097318135306147t^{30} + 68842048455623764584827494717976197038873t^{29} + 19756638427801420953992292471562176334820t^{28} + 4006295245456258086474758074753269920469t^{27} + 369477275255012923210940280111603880890t^{26} - 113956794037495563855223331329967458912t^{25} - 74247241644560383508361441401863079664t^{24} - 25265019156670615351520450930474642553t^{23} - 6555715041490624159864840495265967285t^{22} - 1403861597034616508006910433622580363t^{21} - 253445503202501723655547062878697948t^{20} - 38645607419428033184131637124538504t^{19} - 4955298301658164595272003618199961t^{18} - 533703681130987307473167674796045t^{17} - 49209395851513615480039408400680t^{16} - 4168844701037676231505499396613t^{15} - 366625756201527531948567666540t^{14} - 34668735724612533876582251292t^{13} - 3073517190018991653899005116t^{12} - 216449608515872417813715408t^{11} - 10566796713328835581225768t^{10} - 282936393561775309593192t^{9} + 928835503509579007620t^{8} + 411551943312997709288t^{7} + 20759567408648251404t^{6} + 601334543597280408t^{5} + 2933419040353728t^{4} - 213634685245788t^{3} - 3679776795888t^{2} - 17061213960t - 6773760 \right)D^{7} + \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 352803866204804526051813364460730509561868t^{39} + 2741991603643383358261786698324917834331024t^{38} + 10301598321149388543072586366915262975128840t^{37} + 23884349040050028156463044791350613106463428t^{36} + 37843384804510523687839785809452616549744854t^{35} + 43518302534362781133436376653752020377746980t^{34} + 37804998155930366600116332712835902603671734t^{33} + 25513683842922180144300278494771599991680525t^{32} + 13647280307968766396260638778314622195760298t^{31} + 5870212624965438353151323521852283553686778t^{30} + 2051048432345313698136658043363576324107683t^{29} + 585166562327825311752947840447692241107277t^{28} + 135768802522795703119319924034026924866473t^{27} + 24854749098103932161143928653897905872924t^{26} + 3146181391632346707002028256600661222716t^{25} + 60950726575497493267789870048560644455t^{24} - 111153275940338713334256887041858326636t^{23} - 41000509942729804972358995853885484354t^{22} - 9556144568151362959538992833056462097t^{21} - 1674415514579589251892471359999840028t^{20} - 226883416009679873029702571769713389t^{19} - 23133194933030599454543624123064186t^{18} - 1548111549846225542268065471360047t^{17} - 12807752040929925488276626923893t^{16} + 14333059922363943527297106875407t^{15} + 2562856416451580670497911782786t^{14} + 290142734868021440414809625604t^{13} + 24426278842924151395550817036t^{12} + 1535685590767665403473715836t^{11} + 67653703301863350321866360t^{10} + 1725060672165986942880960t^{9} + 2141324388643330059704t^{8} - 1651240324160138489684t^{7} - 78985667425843947332t^{6} - 2150223825264136488t^{5} - 10074756766966164t^{4} + 633889901513628t^{3} + 9816495332040t^{2} + 41529108600t + 14676480 \right)D^{6} + \left( 3t + 1 \right) \left( 8792957896181282033906733083482821930618864t^{40} + 71028096794147001980518668574161677993326320t^{39} + 277817831325640235863240952875681942764315204t^{38} + 673500816717198092371715083989472436274384292t^{37} + 1121687033986428625334229369951597643056916140t^{36} + 1363774980974751905504778336075009994511333904t^{35} + 1260865787299142374469111528971616996629722736t^{34} + 912689131053535054325956830327450830002642299t^{33} + 528712666822025705809672207919718966262841745t^{32} + 249404803663271022554171937923945938750374780t^{31} + 97223581531733245729393852250056016777371113t^{30} + 31736342260071334809850205469684453275645004t^{29} + 8776505396876406134449579067156995594495388t^{28} + 2072357158713402477874434467937402154386243t^{27} + 416967263844596554539539050227400541058330t^{26} + 69759594382915427437086433470258133694891t^{25} + 8954995497531953122226101703762368847811t^{24} + 631257211846675153172192284218865757976t^{23} - 63870015211011426748208697389194634469t^{22} - 32340009738913709608650561335332204221t^{21} - 6694171155645762570189733929080709579t^{20} - 969876760541286738467243964101997151t^{19} - 109361396833684922103238353425622117t^{18} - 10290607089014762420996746281575760t^{17} - 898606436173131656309116137072694t^{16} - 83091091232548759632804120417063t^{15} - 8276850331058915392164842583246t^{14} - 780077532525251388857264518968t^{13} - 61117080819016670372258646984t^{12} - 3674517270138751642060501932t^{11} - 158361744403016245632315208t^{10} - 4359532997789843636315256t^{9} - 51833727424795644595428t^{8} + 1020578298094776834704t^{7} + 79515555779584084116t^{6} + 2561980996668672468t^{5} + 11791974098991888t^{4} - 756452197744092t^{3} - 10571771542608t^{2} - 41638516920t - 13547520 \right)D^{5} + \left( 130550999875247090197865245364488008942105078t^{41} + 1095113967240913864495389796024745888536981836t^{40} + 4454331891679266410063475543988284336145597068t^{39} + 11275146701945634063752240405082626521211640498t^{38} + 19701322284768474559486710903160379489224413907t^{37} + 25255590687145144896866020451789665319186799096t^{36} + 24745845175315887842448753448577557046553844636t^{35} + 19087215716522692160860350132946112887463633891t^{34} + 11852336620910633557378877372661679104109341284t^{33} + 6032611462433032757313464217079805907771220965t^{32} + 2556086829468507262717254480581183667862989876t^{31} + 914526136891048058974626051128421166806004983t^{30} + 280018290989020652324132072424842533123643898t^{29} + 74237260791728891485687324912417264174956701t^{28} + 17167436460920055175293867883783191700916706t^{27} + 3459528187582323112178092446684981831757175t^{26} + 599140150385001866508266066576967388284769t^{25} + 86288995863061844738838042002075703104035t^{24} + 9636265478396497721249544495112767869640t^{23} + 679133971431715639116791727105904621206t^{22} - 7138378794624414466871871794146023471t^{21} - 10359985459786930039105777135508502708t^{20} - 1697419537402170526486159772985962584t^{19} - 165500753473595411264057356356462201t^{18} - 9709066750117644799178747401424671t^{17} - 91197893050800169472836227446675t^{16} + 55564917035726253790910526825712t^{15} + 8215812513482974888538235035850t^{14} + 777541372665516710010701125464t^{13} + 56013920653588307198174040648t^{12} + 3068669408162409681292307352t^{11} + 120717524150757173626972796t^{10} + 3052713622920324597607092t^{9} + 37723740945689080731548t^{8} - 166174958070076741160t^{7} - 25892785458776126000t^{6} - 1037258885072435256t^{5} - 5113459913943240t^{4} + 313079246452728t^{3} + 3987898649568t^{2} + 14733951120t + 4515840 \right)D^{4} + 2 t \left( 195643313190033525254424811107492787956269724t^{40} + 1637505301216374990968529597950554934256436608t^{39} + 6648371914284467689848808670310204314028005184t^{38} + 16773581008731892467633539793520500603708602976t^{37} + 29164874668736336345779604901621211377710722166t^{36} + 37156338737678888414689726323050474192804447286t^{35} + 36153329178963229142318349799985221156852418673t^{34} + 27685488784910358305322801323188699843696591652t^{33} + 17074338790657067351858197105783630833433422465t^{32} + 8641415933876690802621160212871091745504692703t^{31} + 3648675675994086173239790795662214669379822588t^{30} + 1305224448530938531167441633824510814472719108t^{29} + 401400542093410123015568305007992519748529585t^{28} + 107480552303481685867293096897526834667913850t^{27} + 25263606012348681065570359085960667048039048t^{26} + 5215022720462980890144249667493789542225659t^{25} + 936322360004538871583674549401536495343823t^{24} + 143234858049576400582993272835417785127701t^{23} + 18046700181649909760598229361980875738861t^{22} + 1763998057616053589517795058966226849190t^{21} + 115188024899851550819566633838038130646t^{20} + 1620180142372090898457964731880821105t^{19} - 715387014649666165910207566484759717t^{18} - 106958190816337204419540375455454621t^{17} - 8964305489327644814879892184189701t^{16} - 516276809281282399296354041603792t^{15} - 22096020262701522668791134576903t^{14} - 799707304583550749670910963623t^{13} - 30729057182360659203294089580t^{12} - 1616221078907952186439381752t^{11} - 124578200338355057765132568t^{10} - 9418487194775612880334730t^{9} - 499449833265767617211778t^{8} - 16841827741271596191138t^{7} - 360190250245002322724t^{6} - 4775501738000429856t^{5} - 19901542668394716t^{4} + 198682544342340t^{3} - 39243574008t^{2} - 5121614664t - 1048320 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 171736005047704655914880776910271967217662482t^{39} + 1434872468725126381258201409623423657970923764t^{38} + 5817196214883401026226215293739358104645763892t^{37} + 14636745314874599731192634769887405940206594346t^{36} + 25344422014410513735823768600922515716870081749t^{35} + 32118731380934382179258318575937392388291259134t^{34} + 31062050055490321406542161542578136260936524583t^{33} + 23632536403570582642416806412468330477860102997t^{32} + 14480784646220142021874899327427548740807138007t^{31} + 7285810212456684261282846950806580320421762334t^{30} + 3062146584379611105105857268917475769383629223t^{29} + 1092604373036950738744189623234733805065080171t^{28} + 336075839388551283293437907517932200247662980t^{27} + 90289021423807299104175355761379274014903324t^{26} + 21359707446032096512837718394220215193346800t^{25} + 4450994844775033283197662826769241724624088t^{24} + 809831485746927652762901487771894668154444t^{23} + 126448652546126768009125137600122510744010t^{22} + 16525071165061233474389119647111952685844t^{21} + 1743480695740540773647357726065821881244t^{20} + 139416152351237366514659070196894834650t^{19} + 7148244515426517274112314731503597952t^{18} + 36643733922599952568708267625705206t^{17} - 34427025111056447340971376240218510t^{16} - 3882144530505599515458671503875949t^{15} - 265033065777439441254020587566498t^{14} - 14163332972457424574157228219351t^{13} - 706266350664672750152386591779t^{12} - 36688838404266243736645657860t^{11} - 2064898995847362587167386510t^{10} - 121937779954197923984106354t^{9} - 6377502574759545660798776t^{8} - 249293792596838934596234t^{7} - 6823398545986208067490t^{6} - 130452931496427969948t^{5} - 1586391361653300696t^{4} - 7078503344134284t^{3} + 51707084666220t^{2} + 309445960320t - 45158400 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 13276668569432451642466317215338149780160626t^{38} + 110778298014476256100314440828953355332257672t^{37} + 448610628346530956534834919219921161388226596t^{36} + 1126348668311118335190228880312381321354974570t^{35} + 1943928519655183739552475665688229417216182871t^{34} + 2453044742357462142873475499091741912127098592t^{33} + 2360562279214532155655125657305914738325847739t^{32} + 1786246287227023572607969550681747836270405283t^{31} + 1088464781914949015863112192626504250027297144t^{30} + 544767163497090880354206365344675824476371600t^{29} + 227932107635275032826820880615091744050855105t^{28} + 81070644436642571280953728955433639099524016t^{27} + 24901940005221783926611914078855336003229095t^{26} + 6693684480466177082000153522549275860142597t^{25} + 1587002145240502607730585045756402312133702t^{24} + 331813423210042607961719989243172504399132t^{23} + 60636764548515786174067377989977307756849t^{22} + 9528805000642772433288344549490691747772t^{21} + 1259587080940671833990717043916774895068t^{20} + 136055959481681317170382926004463277459t^{19} + 11490752540431092546648935094985346514t^{18} + 692767454319039229585483251623639307t^{17} + 21167900667775510209090933943137858t^{16} - 919323788550950564007867149652855t^{15} - 178229699734339606465059136576494t^{14} - 14186484439706071965874357397333t^{13} - 834328848058052910050569960805t^{12} - 43052126331874073248951015981t^{11} - 2179428321372401624013250376t^{10} - 120821749473630352826480984t^{9} - 6978658640061581398838344t^{8} - 332673736512358152911626t^{7} - 11163802062152001564826t^{6} - 257409477312063034634t^{5} - 4270248631725909708t^{4} - 46614036477933984t^{3} - 261881191693092t^{2} - 348593391060t + 2535316560 \right)D + 288 t ^{3} \left( 814162768164933521658030841063224252835080t^{38} + 6786707039184808183445123125004270013326760t^{37} + 27461694064427547127332809289151982099953680t^{36} + 68842720495472557838334365273873337791597400t^{35} + 118527500071864419909145621355319644600835232t^{34} + 149100499346216855830145845664388281548574500t^{33} + 142948133254755861424454159625908653893089624t^{32} + 107727836887061154518491156092426817803147502t^{31} + 65366163734935043529268999372648515693320557t^{30} + 32579982223936228831955282639040572254689842t^{29} + 13581516124546587308416909389598219811679941t^{28} + 4817019366339709370685540644375662298593271t^{27} + 1477141281754665786565591895403244844406838t^{26} + 396873868167514345503118166663186616581088t^{25} + 94135756347747156557201630279743514636916t^{24} + 19698163826672545051580881692740877857178t^{23} + 3602736319132320127606773498875835550743t^{22} + 566765029453143858465035764360145071734t^{21} + 75102252030518773454779005331215354123t^{20} + 8164706021797348317089150262883513751t^{19} + 701183693326020450166419790649913143t^{18} + 44295470622181687105101618491532502t^{17} + 1654735615178158450160104464100099t^{16} - 17358890843068289037490983381281t^{15} - 8044157974647305731209546370876t^{14} - 717263219300607734967480780870t^{13} - 44449311670457025589057299498t^{12} - 2282891722335366960160645428t^{11} - 109166647416194005233343866t^{10} - 5761460635449918987226170t^{9} - 323111628087944344658700t^{8} - 14574659253093963297456t^{7} - 446434344636248193420t^{6} - 9081897433889054196t^{5} - 129874392113256000t^{4} - 1282878843760872t^{3} - 9166486976136t^{2} - 59753607480t - 140978880 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3

Show multiplicities

Sector dimension: 17
Spectral radius: $16.3031897$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$16.30319$	1	1
$0.4754566 - 6.565835\mathrm{i}$	1	1
$0.4754566 + 6.565835\mathrm{i}$	1	1
$-2.204488 - 4.681881\mathrm{i}$	1	1
$-2.204488 + 4.681881\mathrm{i}$	1	1
$-4.864516 - 0.9419768\mathrm{i}$	2	1, 1
$-4.864516 + 0.9419768\mathrm{i}$	2	1, 1
$-3$	5	1, 1, 1, 2
$-2.845127$	1	1
$2.729032$	2	1, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right)^{5} \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 2 \lambda - 67\right)^{2} \left(\lambda^{6} - 10 \lambda^{5} - 27 \lambda^{4} - 882 \lambda^{3} - 4126 \lambda^{2} - 23300 \lambda - 53831\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 2 \lambda - 67\right) \left(\lambda^{6} - 10 \lambda^{5} - 27 \lambda^{4} - 882 \lambda^{3} - 4126 \lambda^{2} - 23300 \lambda - 53831\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 4 & 4 & 8 & 6 & 12 & 18 & 12 & 18 & 30 & 21 & 48 & 48 & 80 & 80 & 200 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 4 & 6 & 0 & 2 & 6 & 4 & 12 & 12 & 24 & 18 & 56 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 6 & 4 & 12 & 12 & 18 & 24 & 56 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 4 & 4 & -4 & 0 & 12 & 6 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 6 & 6 & 0 & 12 & 12 & 48 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 6 & 6 & 18 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 2 & 1 & -1 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 4 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 4 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{4} & 1 & -\frac{3}{4} & 1 & -1 & -2 & -\frac{1}{2} & -3 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 2 & 0 & 0 & 2 & 1 & \frac{3}{2} & 2 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 2 & 2 & 1 & \frac{3}{2} & 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 2 & 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta