Family 4-156-38-b

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × Fl(1, 4, 7) · 1608.666B8w0 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 4, 7)
Bundle: $(E^{ω_{7}})^{\oplus 3} \oplus E^{2 ω_{2}} \oplus E^{2 ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ 3 copies of E^(w7) + E^(2w2) + E^(2w5) + E^(w1 + w2)
Bundle: $(⋀^{2} Q_{2, 1}^{\lor} \otimes ⋀^{3} U_{2, 2}^{\lor} \otimes U_{2, 3}^{\lor})^{\oplus 3} \oplus O_{2} (2, 0) \oplus O_{2} (0, 2) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1, 0)$ 3 copies of wedge^2 Q_2,1^v ot wedge^3 U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(2,0) + O_2(0,2) + O_1(1) box O_2(1,0)
ZL62 label: 1608.666B8w0

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4,6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3,5) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	38
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	156
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-9

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	156
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	132
$\mathrm{c}_2^2$	=	108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	48
$\mathrm{c}_4$	=	24

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		4		0
	0		0		0		0
0		0		14		0		0
	0		0		0		0
		0		4		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₂ + 9	0	x₀ + 9	x₂
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 17	0	0	x₁	17
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x₁ - x₂ + 31	0	0	x₁ - x₂ - 7	0	38
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 33t + 88t^{2} + 33t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(540)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(577)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 6t - 1 \right) \left( 6t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 15376t^{5} + 2976t^{4} - 848t^{3} - 188t^{2} - t + 1 \right) \left( 4863312456208740473702952960t^{28} + 23357417836529798070050764800t^{27} + 53573105077676195887885372416t^{26} + 77933863506288787660224603648t^{25} + 80919351511072832284833229056t^{24} + 64259833607185836533530384512t^{23} + 41015530228980503341375859520t^{22} + 21891904627913702865676707744t^{21} + 10068610124147750497148961024t^{20} + 4056189317048821861783513344t^{19} + 1431849202968433758635157616t^{18} + 437502384121763298996206504t^{17} + 113621244964364230494508632t^{16} + 24604222952174540422271606t^{15} + 4359272311771549717905638t^{14} + 619168487139726726261307t^{13} + 68713431240838512435788t^{12} + 5738885827562790692863t^{11} + 338730783617007950293t^{10} + 12466616568500526509t^{9} + 207082922899344637t^{8} + 1953458971333431t^{7} + 513725048049469t^{6} + 39910810784461t^{5} + 1343788856000t^{4} + 25645829842t^{3} + 349485320t^{2} + 1256852t - 9984 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 581476001132151655239953758247976960t^{37} + 3254800556344205702710095673463930880t^{36} + 8717734609623301756224028490497916928t^{35} + 14844267110638190287229303134042324992t^{34} + 18052405620814248208333956605953769472t^{33} + 16741246380450648438831456514698952704t^{32} + 12377608160834128821038933855862251520t^{31} + 7550664783171236004574322656341295104t^{30} + 3906578855236004385248224527767543808t^{29} + 1747907581317240651179288465968081920t^{28} + 681277580277835291362843297426292224t^{27} + 229326469887634141652329193556374016t^{26} + 64864190709602961444726608152603392t^{25} + 14583617346429374012489774746576192t^{24} + 2270638569249018261244376588364064t^{23} + 99996002406959791395376682934464t^{22} - 72688948033852837622684289487904t^{21} - 28797729632945526074748177497440t^{20} - 6466726280765185869332000105984t^{19} - 1026573039082254299809342955772t^{18} - 118484520950125554079705877898t^{17} - 9256306156997185495161577766t^{16} - 290005876059739827626033443t^{15} + 44753140716702944675382160t^{14} + 9761794748046743719538294t^{13} + 1125186726064834483575162t^{12} + 91343511166562207765450t^{11} + 5237370979614306871428t^{10} + 192452374673020081446t^{9} + 3665018313505117620t^{8} + 56060324163971342t^{7} + 6626919721663542t^{6} + 434904063734965t^{5} + 13100437481780t^{4} + 221338271366t^{3} + 2740370072t^{2} + 9177356t - 59904 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) \left( 52914316103025800626835792000565903360t^{39} + 329886529290612179549552872780616171520t^{38} + 988223618026491311407966141168387620864t^{37} + 1891874222877249803551496358088778711040t^{36} + 2601477736340394367498584932351273336832t^{35} + 2742946083122421221727527123470063042560t^{34} + 2316379000065615523409241444384066895872t^{33} + 1619032227126779896298144271688174018560t^{32} + 961652019138684617078960598070794952704t^{31} + 495527796638299528653688350443471499264t^{30} + 224519524819996188771011245622790749184t^{29} + 89849180063617064333563626464124963840t^{28} + 31601081202048660666215520550527906816t^{27} + 9640783615818276505709289814033714944t^{26} + 2499505536038869213426648918571639936t^{25} + 533991855746668129157546354686644256t^{24} + 88860360562607827071196575901119040t^{23} + 9881832797982399721186370323446848t^{22} + 171664165335078192263161775138272t^{21} - 224343613964410815712330118585688t^{20} - 62277854895107515944839292722480t^{19} - 10540265533635078305859562648410t^{18} - 1336988461410016317102402595266t^{17} - 138960815011418777727938360821t^{16} - 13018792745251211310766010177t^{15} - 1210940521862672345994680054t^{14} - 112835446830731112237580018t^{13} - 9553048751021533091690000t^{12} - 654866662473131003696574t^{11} - 32867032411853355379826t^{10} - 1055050004973216868362t^{9} - 15267434431346433888t^{8} + 6095621837429318t^{7} - 15231541404366239t^{6} - 1333476573013115t^{5} - 41215110690226t^{4} - 660357672062t^{3} - 7478142924t^{2} - 21655316t + 129792 \right)D^{6} + \left( 879191713711813302722810082470941163520t^{40} + 5775976197840132631013398542386787778560t^{39} + 18261051782337089765778012495540703985664t^{38} + 36966266141737512950502871228625227087872t^{37} + 53864224517155650969478772891610778042368t^{36} + 60310559611194648972769525387264378601472t^{35} + 54189771303196243642596363823887859875840t^{34} + 40360171912113350642688454745934259273728t^{33} + 25573479771292265829389891034392694153216t^{32} + 14074575827460366731208973024925566107648t^{31} + 6827578001055005425932854448449188669440t^{30} + 2940696063196863141972546180695485710336t^{29} + 1124092725407649154630096480129691841024t^{28} + 378754928464237680952607157225695277312t^{27} + 111245018609403628932156725391826753408t^{26} + 28084199584742266794929782512081947840t^{25} + 5988666521293524920391274359917436960t^{24} + 1052759042216917195166749265392641216t^{23} + 146345823237809062678772312857919360t^{22} + 14609160126178547535717383678515920t^{21} + 692062179963831358772060703439512t^{20} - 77382671873783333850947630882924t^{19} - 22326356366792303548041608577778t^{18} - 2738746689571225604586397028304t^{17} - 189253232907640210864873658461t^{16} - 2090170379983516279150429923t^{15} + 1351616121704112895144084944t^{14} + 212793064179097293379855242t^{13} + 20425614218228619638957506t^{12} + 1421208307797857619741742t^{11} + 70929235114966671646590t^{10} + 2267775778653100670194t^{9} + 31141292018513421254t^{8} - 355269167970425092t^{7} + 2298879479489151t^{6} + 1430604564900111t^{5} + 50311891394914t^{4} + 790527529010t^{3} + 8340723188t^{2} + 21089108t - 119808 \right)D^{5} + \left( 4351184916471890836160573972969611591680t^{40} + 27992135663047066619586609029084998533120t^{39} + 86752771537167401551929778710938135298048t^{38} + 172322588324582842356048545082027145691136t^{37} + 246680880648113590153001070467150218199040t^{36} + 271787159610786322262676421377595762311168t^{35} + 240832059467927081379897455201407816876032t^{34} + 177403148387020260112169995601636151631872t^{33} + 111553060264027944409876585661750876368896t^{32} + 61136987456113394578475895262238867785728t^{31} + 29617344543908409192379801993956510882816t^{30} + 12762015169017464885949206818663650814464t^{29} + 4884833783480570234812516464670196474880t^{28} + 1649413218790818493910329152303516182784t^{27} + 486406163286794686977401567572671342592t^{26} + 123846571411680560241779050039696391104t^{25} + 26885691968012496658944930169301980800t^{24} + 4902845690946731150029416253023090688t^{23} + 736030584136349443691842676329343552t^{22} + 88059317152747897059012984264485504t^{21} + 7868317077444491091689615677491296t^{20} + 433266370015033166274255410306488t^{19} - 1580377593255008975069174730240t^{18} - 3186558925902685609778973839110t^{17} - 367981057078026500981529208690t^{16} - 26783237043705159626611845874t^{15} - 1849394526835503747643704814t^{14} - 173444464466119677972863993t^{13} - 17624163008783389820163351t^{12} - 1418149126371089474616096t^{11} - 81268756701545472000032t^{10} - 3105799822717515534996t^{9} - 68373160582777803528t^{8} - 445862182040709585t^{7} + 8405432062334995t^{6} - 223291028566362t^{5} - 17208073379856t^{4} - 309249303548t^{3} - 3265317512t^{2} - 7287992t + 39936 \right)D^{4} + 2 t \left( 6520671876695948661860841444992813629440t^{39} + 41224339337337802693738640319065806602240t^{38} + 125647338919377126625333158901794287910912t^{37} + 245612075866890787846373352170446772895744t^{36} + 346287017980585723209020568863512693899264t^{35} + 376211447129109081788852520310044105867264t^{34} + 329266452405980646498378917824356761026560t^{33} + 240100015510686270509084031606907135746048t^{32} + 149846332352157628393949991000157401280512t^{31} + 81717111284984636922493271692341634363392t^{30} + 39466089548910496114425121796925464779776t^{29} + 16968047528170580415022076533826376984576t^{28} + 6479618299585736472662065476380163902976t^{27} + 2181739348841297266085586188060316589824t^{26} + 641496926048109988679257133729769970304t^{25} + 163018667433744322168396150592825023936t^{24} + 35425701290343913279869585362926430304t^{23} + 6507312620287577766056031853757194192t^{22} + 996216722093268084369019209904340432t^{21} + 124672429926222545418328094442469136t^{20} + 12378824268776321319133749798471688t^{19} + 924444244862333940713527064863068t^{18} + 45939709037682876531272029440368t^{17} + 891229551859046309216791459986t^{16} - 55121843039134600467840090262t^{15} - 3804173948574272915941550951t^{14} + 35289592038116458495590287t^{13} + 7424625058220577492340013t^{12} - 686276443327896468221437t^{11} - 124165494773555560688146t^{10} - 8232785363194649095786t^{9} - 314931341169796758638t^{8} - 7572382192326478898t^{7} - 128854067825782380t^{6} - 2395166497980952t^{5} - 56088040150704t^{4} - 878142520600t^{3} - 6905482960t^{2} - 4570368t - 8192 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 2861927964905595088481845739136834600960t^{38} + 17840595111129852418657327601965871923200t^{37} + 53642193171398082408017570298910091771904t^{36} + 103484942767329598103714209037836150013952t^{35} + 144069992193976134424141591182091622326272t^{34} + 154683900455815558531017976833528672301056t^{33} + 133964055053706018411950166449229446572032t^{32} + 96830938686844992363589942181266835358720t^{31} + 60025336698588462119411077237805697965568t^{30} + 32576602226616314470652767615329831012096t^{29} + 15677594934628711341516199886009004575616t^{28} + 6718659327803470168136011499914264133184t^{27} + 2555903603774253831337081501589021109888t^{26} + 856446978130162169810053917045718377312t^{25} + 250375626391700784837795650081587773312t^{24} + 63235666150251255781140980571493743712t^{23} + 13664344643762635315215402993512962888t^{22} + 2500495711874441570860508070988268308t^{21} + 382909189312691403086117476584971464t^{20} + 48321961469850903537729061362324922t^{19} + 4919353345043362947420918612589126t^{18} + 391351417285423940000467966861360t^{17} + 23131570617473550935291376739130t^{16} + 937902900844968386669413499407t^{15} + 25167067264675078547919537729t^{14} + 1061002283055316046707255280t^{13} + 113048498285641361884918574t^{12} + 7599485649914375535344656t^{11} + 179795200631757456960868t^{10} - 9666524735871951423385t^{9} - 1004776086591460671655t^{8} - 43506506691877497044t^{7} - 1245047393493773182t^{6} - 28933970667772948t^{5} - 658888870780854t^{4} - 13099353915240t^{3} - 158141854556t^{2} - 1155960872t - 279552 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 1327509710584702228912814430080131399680t^{37} + 8185735524140526632976955024038765527040t^{36} + 24352794514516748694767678872878650228736t^{35} + 46495613901850266528178895894888090861568t^{34} + 64083777013265239780444398462649217114112t^{33} + 68157522356834821184022582526005949943808t^{32} + 58527367489175780630913344151850241832960t^{31} + 42001052174095162413639229293571207400448t^{30} + 25890010004294485030248941701622930913792t^{29} + 13991942627316587486817872691173382742272t^{28} + 6711200401281989634515696805373429883520t^{27} + 2866551626905731641500210592484012195264t^{26} + 1086070825035535712581990371463682606208t^{25} + 362039058936893369560952878375699001568t^{24} + 105168259304945295195258693312348579840t^{23} + 26369550560750632684178400983661787968t^{22} + 5654333064779686227351652683167510792t^{21} + 1026934665307693305047561285380837860t^{20} + 156242914648819639377429685945648144t^{19} + 19640434043145449617205791669652674t^{18} + 2002477440047847063145718306103598t^{17} + 161404779212526503776239825351298t^{16} + 9931623145090514820964139961272t^{15} + 450491590283188486242483130707t^{14} + 16126698327292586264663636291t^{13} + 768774586604609101614368447t^{12} + 61026094929571901611644617t^{11} + 4065258347445545869237798t^{10} + 168773795591834123830670t^{9} + 3499420508998226399456t^{8} - 26693377276763796724t^{7} - 5072298279139940366t^{6} - 247775270271251640t^{5} - 8158025216938178t^{4} - 193875724073488t^{3} - 3162796459184t^{2} - 29458898012t - 185836248 \right)D + 288 t ^{3} \left( 27135546719500410577864508718238924800t^{37} + 166020181197429860199178469961066086400t^{36} + 490138169924329216133094120001736540160t^{35} + 928738686475398866426180397436970926080t^{34} + 1270643400472911481441070318330334756864t^{33} + 1341983654068983303339000342978853478400t^{32} + 1145069434873131988597016283217345351680t^{31} + 817299007057649678519502355037811001344t^{30} + 501633938222974624263363591070470110208t^{29} + 270213161283962782066360979599405432320t^{28} + 129254041784634251488312371447550535424t^{27} + 55052204529130520912759524923563083392t^{26} + 20784752111248244040423410662816575744t^{25} + 6897194298542013935475011564463874432t^{24} + 1992351055264750496073717366233477184t^{23} + 496290131307177356703207358954680896t^{22} + 105644895248621411278536039217709680t^{21} + 19039164123159048353353992413994168t^{20} + 2874135406205319750154415842742160t^{19} + 358649624485524085493311272616528t^{18} + 36354454572203831164611190845788t^{17} + 2923972299003701335202082304378t^{16} + 181129231517769195411579870920t^{15} + 8459584401495637869446411905t^{14} + 327245577484554232560880821t^{13} + 16675604007018117767193072t^{12} + 1299427396956672236444312t^{11} + 89783787409255947631976t^{10} + 4396988755964791364156t^{9} + 148308202924126008184t^{8} + 3212371531289280572t^{7} + 13571863267994601t^{6} - 2582613905966593t^{5} - 122880845917280t^{4} - 2939021600452t^{3} - 40699167632t^{2} - 300945008t - 1460160 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 4, 7)

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $15.5462975$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$15.5463$	1	1
$-7.213071 - 1.585281\mathrm{i}$	1	1
$-7.213071 + 1.585281\mathrm{i}$	1	1
$-6$	1	1
$6$	1	1
$-4.318883$	1	1
$4.198728$	1	1
$-3$	2	2
$-2$	3	1, 2

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{3} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda + 6\right) \left(\lambda - 6\right) \left(\lambda^{5} - \lambda^{4} - 188 \lambda^{3} - 848 \lambda^{2} + 2976 \lambda + 15376\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda + 6\right) \left(\lambda - 6\right) \left(\lambda^{5} - \lambda^{4} - 188 \lambda^{3} - 848 \lambda^{2} + 2976 \lambda + 15376\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 16 & 8 & 24 & 12 & 36 & 0 & 64 & 0 & 32 & 80 \\ 1 & -1 & 2 & 0 & 12 & 8 & 8 & 0 & 24 & 0 & 0 & 32 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 4 & 0 & 8 & -4 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -2 & 4 & 4 & 16 & 12 & 24 & 12 & 36 & 64 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 8 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & -3 & 0 & 0 & 12 & 12 & 12 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 2 & 4 & 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -2 & 4 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & -3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta