Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-178-42-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ3P3 × ℙ5P5
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10
Bundle
E^(2w6) + E^(w5 + w6) + 2 copies of E^(w1 + w3)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + 2 copies of O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
203050.FwUw1w1
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;4;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 42
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 178
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -5

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 178
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 136
$\mathrm{c}_2^2$ = 108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 52
$\mathrm{c}_4$ = 22
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 5 0 x0 + 5 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 26 0 0 x1 + 1 25
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 42 0 0 0 0 42
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 37t + 102t^{2} + 37t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(353)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(429)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 13t - 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{3} \left( 8t^{2} - 4t + 1 \right) \left( 36t^{2} + 6t + 1 \right) \left( 8t^{3} + 52t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 7915498643544127634019605925888t^{28} + 24111166588135177308502175612928t^{27} + 36681799014477783381080523271680t^{26} + 37098083158708107864858359795712t^{25} + 28230477244722558127726363714176t^{24} + 17515017167845527522580606580736t^{23} + 9249754306471866351470939967648t^{22} + 4046033471743294339083526440480t^{21} + 1364623903134410777333768956800t^{20} + 333616113149723841639258387360t^{19} + 58065127576056336286061478312t^{18} + 7810704848108298311941921400t^{17} + 977805733640371326237029288t^{16} + 101523191147207298106885144t^{15} + 4549558250500290787655788t^{14} + 1031946550829101503281196t^{13} + 682665034466545113009524t^{12} + 164233469429173979895866t^{11} + 21150977828028168528797t^{10} + 1759509642820027854913t^{9} + 112783683877151239192t^{8} + 6409317045672944524t^{7} + 294019733871818738t^{6} + 8027267347464202t^{5} + 19185513746860t^{4} - 5826784314494t^{3} - 134072601571t^{2} - 1006653519t + 4807424 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 51210363320229681553137531125514633216t^{38} + 451026144348944293321596972927509594112t^{37} + 1255777318596095456913497944741211799552t^{36} + 1980549050262425830325682857095178747904t^{35} + 2149699616752225017230497524093676683264t^{34} + 1778053001446805113203816772116025049088t^{33} + 1200619389245178378207816251686370746368t^{32} + 689930488502219354781045517346704490496t^{31} + 336047808558279680315577208987022573568t^{30} + 133380548544914244710750795068556052480t^{29} + 41866133294436226637350104270682679808t^{28} + 10667322424510749068089207444337550336t^{27} + 2449924287531732647791336352922003456t^{26} + 549037128666979247639709760778787840t^{25} + 107911230317702311193285851596347296t^{24} + 15589111823891073135906138293123808t^{23} + 1731820903679570801411545303698432t^{22} + 289376783397087617432606111238816t^{21} + 69533745099414795246101106505688t^{20} + 12534013524066031689039204222696t^{19} + 2233408943514264260372798185632t^{18} + 601698142727484300522502856368t^{17} + 150243449175464254477076133428t^{16} + 25547533882720187024200472660t^{15} + 2931393261221569471508716586t^{14} + 267378205848531478434738934t^{13} + 28821669285780564492425459t^{12} + 3691188081707124956835819t^{11} + 378073531779594254176351t^{10} + 27280227665615812546499t^{9} + 1521363958581139726822t^{8} + 76485743410096744390t^{7} + 3245382683808147580t^{6} + 84841888451974880t^{5} + 303885942344443t^{4} - 48902474303885t^{3} - 1041801410597t^{2} - 7190797353t + 28844544 \right)D^{7} + \left( 3t + 1 \right) \left( 2330071531070450510667757666210915811328t^{39} + 19007725747205145677155575294304827998208t^{38} + 54352585689857433389510430376640603553792t^{37} + 90044245296446378996191772640516806836224t^{36} + 103502753814616761345826729291911690264576t^{35} + 90876228135007434211072845016711606628352t^{34} + 65015515865706432204839445654923601174528t^{33} + 39452941900552711177078267468916827984896t^{32} + 20351589253211739579642960221548561618944t^{31} + 8646013931205068644771454398279570222848t^{30} + 2911890112626240602905208578788198280320t^{29} + 762280329347947198189831299928922913408t^{28} + 157505904948141271687100360080441551936t^{27} + 27123549321457810667516873660627889024t^{26} + 4016196729233876018139155834152680576t^{25} + 456831294250192759181508915952885696t^{24} + 33783928406677924046918179320369776t^{23} + 4795084049802466695908562871304752t^{22} + 1701153484835634785819649957616216t^{21} + 329015840125603906257305501016824t^{20} + 50669877107464035229382917957248t^{19} + 15896615786495570736434399050928t^{18} + 4739064697924931098379961847188t^{17} + 876212241783566563562720781396t^{16} + 107632661563217446870700084806t^{15} + 10081175948946507221683406016t^{14} + 663458202759028331773949847t^{13} - 15548260564269006334697808t^{12} - 11688238168944371792902068t^{11} - 1579270994776820586039972t^{10} - 124131106737608334041595t^{9} - 7218109118423953793628t^{8} - 360694574013973483370t^{7} - 14351700216082291880t^{6} - 348448475170320167t^{5} - 1781949803655456t^{4} + 139665916659176t^{3} + 2759852866924t^{2} + 17114642527t - 62496512 \right)D^{6} + \left( 58072552005140458881257960296333594066944t^{40} + 445225065740120758884805202397280346308608t^{39} + 1303935912365355578922683430967830673293312t^{38} + 2258160704532558861224164382900599947952128t^{37} + 2733666296118547626845020697654238526660608t^{36} + 2534656813507457835521791776025875000422400t^{35} + 1914656266121986173443494375908802306510848t^{34} + 1226053042443515505942473689584548598758400t^{33} + 670882630108459129152244301245891874982912t^{32} + 306754046442144615778975431603374287815936t^{31} + 113415632884885138552946281909198926989952t^{30} + 33103217019092605189546284967511414158848t^{29} + 7596743116432995877145362789927344581952t^{28} + 1405039795554017003063561313199268015040t^{27} + 220455277192001449361827104219110148864t^{26} + 30590454306807441292799477272496895168t^{25} + 3990444851346544846890535993795719088t^{24} + 699019149730770878202689617292426688t^{23} + 197253042713718455948696564316256344t^{22} + 53889673269295457995784656923652848t^{21} + 11567834354805789592832335185107168t^{20} + 2045757261999435506312730227898528t^{19} + 318642440274328061587284194519604t^{18} + 43680085773425558966838621114736t^{17} + 5028074786181337058986902563030t^{16} + 466465583964090511021240512632t^{15} + 35885911153933617264371608793t^{14} + 3095193811236085126064658469t^{13} + 402447778270911496977545564t^{12} + 51249223651231853442673074t^{11} + 4650938578163357476979839t^{10} + 296402273452253331718439t^{9} + 14838233002574730456598t^{8} + 660450292085738194996t^{7} + 24034731142692471343t^{6} + 551340930002650643t^{5} + 3506538981048808t^{4} - 159093297197438t^{3} - 3006420568979t^{2} - 16687774335t + 57689088 \right)D^{5} + \left( 287405361543959030296596109059169500266496t^{40} + 2007253815841373840778862521069332500316160t^{39} + 5626358698681763753297954436758097967251456t^{38} + 9478820060961443632284541364881834575888384t^{37} + 11257151335692567927419062118185413772419072t^{36} + 10304974175809865127346332980196058083741696t^{35} + 7731806693508440841639933452273865027305472t^{34} + 4938690438838256818596887675342742638552064t^{33} + 2694190946640012612517061377723020217583616t^{32} + 1221954751632716035099038428060926616281344t^{31} + 445498068181083366088177484094790202102400t^{30} + 127834233106626082924275402686880240907392t^{29} + 28951462508300763962970124225132318991808t^{28} + 5366091911607642696544234970600435557152t^{27} + 864722890612069703955755483630264424000t^{26} + 124561198122223286682044903504406117792t^{25} + 16202774448309957840094359626623283248t^{24} + 2563770872956726500589211998759671032t^{23} + 670361408369643247666517261379258232t^{22} + 178309645790791200911828087522216368t^{21} + 36049937103025314442159611731377832t^{20} + 5580546961724201973305618765865108t^{19} + 705617010954014196928263327501548t^{18} + 75066430658085063964448868973344t^{17} + 6616329552575125342443838987932t^{16} + 508653800844773719743565438135t^{15} + 42319034121164705927449780683t^{14} + 3651852548720695290982299960t^{13} + 168926424680325341470603506t^{12} - 11137613611672111892735559t^{11} - 2519523159252199781580039t^{10} - 211247661675084433411878t^{9} - 11673530814236313915096t^{8} - 504053169586202519759t^{7} - 16684700986979824523t^{6} - 364445359250247548t^{5} - 3332762941982670t^{4} + 50884340519987t^{3} + 1120499538979t^{2} + 5800002298t - 19229696 \right)D^{4} + 2 t \left( 430704760704791736702663205531140822663168t^{39} + 2768571686412377440999011747410022538149888t^{38} + 7449633243175507874016678218821023180029952t^{37} + 12227681043412361020022482969206587613757440t^{36} + 14257701209190511971150142789072261426581504t^{35} + 12889958767851787633177896668326932421306368t^{34} + 9603712340197077268052929603339593768585216t^{33} + 6112323782288396394166262817563623734680064t^{32} + 3318440112148096632501819944976304276756992t^{31} + 1490538452855865363939702498347294520863616t^{30} + 535621208565936869176260217894708634391744t^{29} + 151440111573128421367327228327247268235776t^{28} + 34110215919911091411975125126061367493472t^{27} + 6436056160095534986254468688618619991968t^{26} + 1085040002847349309264191988840824239856t^{25} + 164845870567081156639458855727330339344t^{24} + 22754862578706527716793486399675180216t^{23} + 3944280873542226979067752019047292640t^{22} + 1077462887703601112501554997179686984t^{21} + 285037378339305311205766578560871324t^{20} + 56501947021163929979654227142997388t^{19} + 8331977180079007401156113420639316t^{18} + 956616236444339832569780413146396t^{17} + 90335734531768109983723410928370t^{16} + 7494457805728906577211394743106t^{15} + 597388323288187822780134459217t^{14} + 48802283431439355222007688239t^{13} + 3824969845381649929709396192t^{12} + 245510892422287466117362828t^{11} + 10919282562056028553749639t^{10} + 237084990602797358196257t^{9} - 4930733451534254907134t^{8} - 526802574425738597182t^{7} - 14770795274863952761t^{6} - 115599777003946879t^{5} + 4425345861124192t^{4} + 170777030937452t^{3} + 1866420169709t^{2} + 341029499t + 2673792 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 63012218300404280247737684652815526395904t^{38} + 377190723587269649443828396197562980237312t^{37} + 978139563182638008781363652765780709801984t^{36} + 1567454716304166252670267068700187577237504t^{35} + 1796782751294757691317129254715884532375552t^{34} + 1605507416518173179073826113907855651547136t^{33} + 1187947394216949491925169833667994755756032t^{32} + 752794308946589664999345226207608828275712t^{31} + 406246369007219599897879721779660953339648t^{30} + 180558725015931754788792975328671058989312t^{29} + 63967160034002802091397467089386704287552t^{28} + 17855173136042266855147539709859779363104t^{27} + 4017285888117555170546177094370225108304t^{26} + 775693673001062422613747719353772869344t^{25} + 136680943944273093132049063224342910624t^{24} + 21759824672032331148715373960893513616t^{23} + 3206562910220286598312989648372059012t^{22} + 609851395336328438045557013329536656t^{21} + 167415300057675317687278631208475204t^{20} + 42207993222448279555381658887938522t^{19} + 7941072548879719301244442523718938t^{18} + 1107667525969734910389399668385412t^{17} + 119427835507707204480535262264200t^{16} + 10569263891082730652793186063668t^{15} + 827214696506310849226437359652t^{14} + 61705511565831971909530979163t^{13} + 4542446661428154020424141833t^{12} + 314403385535623222717381628t^{11} + 18276801578207374268041718t^{10} + 781495130738786428288320t^{9} + 19384025290256715107798t^{8} + 8568164469145569968t^{7} - 11667579654363935792t^{6} + 71888305211195767t^{5} + 20248790670352781t^{4} + 697308774776782t^{3} + 12906950993168t^{2} + 106423481282t + 19229696 \right)D^{2} + 144 t ^{3} \left( 9742771621673696915484415296629158969344t^{37} + 55027711838581910243537848623442777079808t^{36} + 138241279186358421246202165754233990397952t^{35} + 216914668118586667008711230175088768770048t^{34} + 244921216370639015171742974457644561430528t^{33} + 216571882433489253846443239036307778438144t^{32} + 159222357875866346899320525018431902000128t^{31} + 100436554156477734676001088503944350481152t^{30} + 53853219806726586579070307460919806329856t^{29} + 23688865356039869602426309432990160518464t^{28} + 8283941776433662130947740322712717374944t^{27} + 2288334299792674305086701394095440508128t^{26} + 516071066886138577964881194251492849632t^{25} + 102169683120870302013738548257007893216t^{24} + 18742003466204160045727911797018719544t^{23} + 3111427339234626572227314525664950280t^{22} + 489699967643880642851163101020920856t^{21} + 100537875860331913603759067262514564t^{20} + 27337528364272231671870835165328164t^{19} + 6576471833579532189676526851607424t^{18} + 1184403394223760078995389513927124t^{17} + 159205527950404945892283870758164t^{16} + 16645999823893356996896443366380t^{15} + 1437977664958431362485322808521t^{14} + 109593109017660652819186094413t^{13} + 7706297178583983251137615616t^{12} + 505680005286903399002913818t^{11} + 30474843061941549983733237t^{10} + 1604144091678746368884725t^{9} + 67567153763848083445142t^{8} + 1975544311320113888456t^{7} + 34134694435118657779t^{6} + 957079066300203367t^{5} + 77436905561766680t^{4} + 3326296798657318t^{3} + 76878092495447t^{2} + 977766185819t + 5822547498 \right)D + 1728 t ^{3} \left( 298727119368006475726635598232168693760t^{37} + 1615396321826266062961589657178624491520t^{36} + 3958200845289773065929896791729260871680t^{35} + 6106455012492649906232567683646720286720t^{34} + 6810532937310216622486413901213782558720t^{33} + 5970744258748131061240365331840504089600t^{32} + 4365986942180746067403004938975087959040t^{31} + 2742526262674474212459452453083940394240t^{30} + 1461847634205771370701406685856000975360t^{29} + 637226159439805528571490278743624235712t^{28} + 220426263595676491379276616007465791648t^{27} + 60413738571011644179302242341943079904t^{26} + 13682404792331861263727894700979521984t^{25} + 2772767528225258860131524526170640288t^{24} + 525918435307219978850553893175770280t^{23} + 90360841060301406668412554498250936t^{22} + 15009507892908146317248672186828160t^{21} + 3243073095716608940367252566856972t^{20} + 870306174652984914326625889067148t^{19} + 201958535683468223220502302581620t^{18} + 35238853441131759783147867914864t^{17} + 4625636760071756893053597411312t^{16} + 476225309639031244126128465848t^{15} + 40749070162077144216094797435t^{14} + 3056279242338930019275725203t^{13} + 205125899490717237690471480t^{12} + 12261973813994110752294542t^{11} + 658923366924180381974672t^{10} + 32443629646860167078500t^{9} + 1414683566629541798992t^{8} + 49556025311318221716t^{7} + 1430477149605445187t^{6} + 54297925506554163t^{5} + 2541380861495188t^{4} + 83477560592074t^{3} + 1650904510590t^{2} + 16618014382t + 67604400 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ3P3 × ℙ5P5

|λ| = 13 λ ≈ 13; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.421453 - 6.262482i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.421453 + 6.262482i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3 - 5.196152i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3 + 5.196152i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 2 λ ≈ 2 - 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2 + 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.1570937; multiplicity 1; Jordan blocks 1 3
Sector dimension
12
Spectral radius
$13$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$13$11
$-3.421453 - 6.262482\mathrm{i}$11
$-3.421453 + 6.262482\mathrm{i}$11
$-3 - 5.196152\mathrm{i}$11
$-3 + 5.196152\mathrm{i}$11
$-3$31, 2
$2 - 2\mathrm{i}$11
$2 + 2\mathrm{i}$11
$-2$11
$-0.1570937$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right)^{3} \left(\lambda - 13\right) \left(\lambda^{2} + 6 \lambda + 36\right) \left(\lambda^{2} - 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 52 \lambda + 8\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda - 13\right) \left(\lambda^{2} + 6 \lambda + 36\right) \left(\lambda^{2} - 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 52 \lambda + 8\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 & 8 & 18 & 18 & 6 & 30 & 64 & 16 & 24 & 80 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 8 & 24 & 12 & 6 & 32 \\ 1 & 2 & -1 & 2 & -6 & 0 & -2 & 4 & 12 & 12 & 6 & 32 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 6 & 0 & 2 & 4 & 18 & 0 & 6 & 16 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & -12 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & -6 & 0 & -4 & -6 & 8 & 20 & 8 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 5 & 3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 2 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -6 & -6 & 2 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$