Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-208-48-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ4P4 × ℙ6P6
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11node 12: fundamental weight ω_12ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11ω12
Bundle
E^(2w7) + E^(w6 + w7) + E^(w1 + w3) + E^(w2 + w3)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) + Q_1 box O_2(1)
ZL62 label
2040600.Iw0jw0Bw01
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;5;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;4;6) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 48
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 208
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -5

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 208
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 148
$\mathrm{c}_2^2$ = 102
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 52
$\mathrm{c}_4$ = 22
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 5 0 x0 + 5 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 32 0 0 x1 - 5 37
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 48 0 0 0 0 48
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 43t + 120t^{2} + 43t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(335)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(418)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 79t^{3} + 51t^{2} + 10t + 1 \right) \left( 9952t^{6} - 10352t^{5} + 2192t^{4} - 272t^{3} - 7t^{2} - 10t + 1 \right) \left( 13595139473299038205320764770368t^{30} + 1303148545107517756796233256844768t^{29} + 4909450344846181901309782521184448t^{28} + 9323360954683057306210268566256520t^{27} + 11752596503781350993264534036087556t^{26} + 10683909960515322428986241589476008t^{25} + 7278664662477585517712607567360644t^{24} + 3843026506709221679780622512021430t^{23} + 1633988508807552851101480236702341t^{22} + 578030261392439846643494899967970t^{21} + 170579485772968562490555908518629t^{20} + 40233625244942409079508599973808t^{19} + 6967239924544140338997999472534t^{18} + 760655875558399447928234218905t^{17} + 27716464184700789542343097762t^{16} - 5749628068506346697294452668t^{15} - 1369663665093992459975382754t^{14} - 220365742073257219816655587t^{13} - 27880320210897108024306432t^{12} - 1786443494506585209458766t^{11} + 50075757977923976095290t^{10} + 16913973617364677692276t^{9} + 1225024526075571234265t^{8} + 57461799728304364377t^{7} + 2927912752054077070t^{6} + 125673407650403148t^{5} + 1403276108590168t^{4} - 136536376443013t^{3} - 4265660455569t^{2} - 42868715304t + 63065600 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 2308739201645073889535026810973600661504t^{41} + 228100831052265957917560161738570924865536t^{40} + 944469214768295371823816724203229644820480t^{39} + 1896893337925992919924805044078734086352896t^{38} + 2402100619796754191216340447962204064173568t^{37} + 2028091801331428087528710221971699765306432t^{36} + 1052703565094695016609478749451388409597152t^{35} + 150831570046005706990010035610008632121456t^{34} - 278966981154922448922426179373469533840040t^{33} - 313388547473926410465974783710633043877744t^{32} - 201141520036905501120178985439030556408216t^{31} - 97007092822148500626460024032527999836444t^{30} - 37883149050275768313436171226007078700070t^{29} - 12108078187462173716566851507956678939872t^{28} - 3096040350221284487229804441009724473286t^{27} - 608477716464953541359673018409300042740t^{26} - 86312372948276175865501937664176706538t^{25} - 7349990788885114012771049483418277526t^{24} + 147836729717737002115895966049766849t^{23} + 201952501682995545993354348663187772t^{22} + 43719684836161727958711363109528450t^{21} + 4453516891643122314927514201596073t^{20} - 143250607406261110788200716166261t^{19} - 100195100691925855884034082056539t^{18} - 8879340638137261480403651913181t^{17} + 580027582893383288407237461101t^{16} + 188783166091729613989153069850t^{15} + 23488535491365216549030680889t^{14} + 3344198024667915245144130304t^{13} + 418177510452115370749267044t^{12} + 20187689204390470020569970t^{11} - 1816879748232480162577251t^{10} - 314906297360771872563637t^{9} - 19452453938021453433975t^{8} - 798921909845413338333t^{7} - 35005957199140076575t^{6} - 1325545345476813416t^{5} - 12405609994944805t^{4} + 1228630695146235t^{3} + 33808553319024t^{2} + 300837794328t - 378393600 \right)D^{7} + \left( 70031755783233907982562479932865886732288t^{42} + 7102583518022636682775060638025946009911296t^{41} + 32558070041443316650534759852930283500909824t^{40} + 73340536222835093588858771620302936450343808t^{39} + 106400371694006997662040820045058615259554944t^{38} + 108376393617207859605399820289419918680415072t^{37} + 78668680155398360233068508044497763906269040t^{36} + 38844166261696259677592097965865230853859664t^{35} + 10089473153029595339496894614968410907220000t^{34} - 2281999145889529558427354023924454891013136t^{33} - 4340046809320772432027124658693657264362548t^{32} - 2940578074781047613537392136293686352862948t^{31} - 1417095930049994591689030581146917471805648t^{30} - 537346764931908625613657996874147277573794t^{29} - 161770770318821286585984578505951761988728t^{28} - 37701280144453447137289624248575369925320t^{27} - 6457835973052232204768956308290579938070t^{26} - 712378302798376737388605958666769734616t^{25} - 17444559336999031189734024709390009168t^{24} + 12805663475918468270826814862418673781t^{23} + 3804461614244476256625037764693495346t^{22} + 751302512302903871090694211071848176t^{21} + 122768521030824400027010480236419205t^{20} + 17071076977370790788483432783248659t^{19} + 1876277650039432816952733147379783t^{18} + 116923900256978320091103759497255t^{17} - 6324781082245988622193018944325t^{16} - 2628437324533118752952287423680t^{15} - 374517431393359295598885839751t^{14} - 40966890934714902041883898076t^{13} - 3682224581802950066339861748t^{12} - 180865218582599064008200950t^{11} + 5205404903454722599315513t^{10} + 1354556138483089062874569t^{9} + 87115553551030173609949t^{8} + 3673311215575585089945t^{7} + 154020533628692112387t^{6} + 5280576226547508606t^{5} + 56365490226308915t^{4} - 3515095999024095t^{3} - 90638110665656t^{2} - 725550419848t + 819852800 \right)D^{6} + \left( 581802278814558620162826756365347366699008t^{42} + 60040449519093209149650970013960797846265856t^{41} + 273591700359734648465996102427199820185217280t^{40} + 618529636832538310879325593653388831862339968t^{39} + 911584592929859715130782889619074567576870400t^{38} + 958472986316885535624792916855202167139975264t^{37} + 740756734687466396553888915237035625103458480t^{36} + 421393860025806263213998386009446356511669760t^{35} + 170714935144957124583330729441652310249004992t^{34} + 41677958803562410048963483345203314460090464t^{33} - 1928888180618334610974070190200313291544956t^{32} - 8620514762676350478096220982174021994434016t^{31} - 5625260856543548569609814163405478082257232t^{30} - 2436937125413635647419904223099029558808606t^{29} - 782374581370286999460296575357050416839842t^{28} - 186981644722201707973601904180010375644910t^{27} - 32227476235760978398225884389007883737908t^{26} - 3688378132712855178381236505952129986644t^{25} - 200702507180442737771401300783060390542t^{24} + 15241142940981822911242640656383350885t^{23} + 4682520024264678101977784229437656348t^{22} + 367461090049321018266724955804017038t^{21} - 84691856823272736742192417026487755t^{20} - 38791312180221463782545350340015585t^{19} - 7931887549942904109613978184483471t^{18} - 1010035716924886972933133550610779t^{17} - 82174634949580700950268738104785t^{16} - 3737973018368350794293817938134t^{15} + 68756608148812176302076788195t^{14} + 43683117925938473001403153984t^{13} + 5939311267161160184589888378t^{12} + 325385334331469263185462618t^{11} - 11325123674799042270147497t^{10} - 2641629984363381317908753t^{9} - 157252757235784405196013t^{8} - 5838669510169833792341t^{7} - 216139235198071497653t^{6} - 7065177228587591560t^{5} - 84389513437617397t^{4} + 4095634086822891t^{3} + 100168067413650t^{2} + 720510447528t - 756787200 \right)D^{5} + \left( 2879382574318347985898434271085908958339072t^{42} + 301384641869253222741255055266315937175076864t^{41} + 1366696076396333093269745663804689574923008768t^{40} + 3095176547303611696085184169196371560306763904t^{39} + 4605514418541069579305483680586072743118752000t^{38} + 4933158101777299603854013362979021139402917600t^{37} + 3944404494385039824464502021798555712298318256t^{36} + 2396890090975099029610588576326470908662365744t^{35} + 1117083608736168051387743845754945527325008592t^{34} + 395099399712767992049968376762024695120325000t^{33} + 96206613724566219156085221864644053660215256t^{32} + 6181783115154414435815523760624772277729100t^{31} - 8851041673756361844243894537802096705524848t^{30} - 5793440109819425119003680111873471899971404t^{29} - 2137510213386958001109733711745518698208985t^{28} - 536529680592291847803745268158233763138148t^{27} - 92643982272392176294530578081036917150475t^{26} - 10149093948736097006206872478865952404417t^{25} - 390458822030726329169461865889099601708t^{24} + 110516997392932237759969343610753262082t^{23} + 36487622018671093888000387159803269047t^{22} + 7431879655203411169507939411691387119t^{21} + 1115005125125895940258541386268435137t^{20} + 116224104049010225412343371327541596t^{19} + 7144071043046345985888576722003746t^{18} - 3381150428564827270708047960208t^{17} - 58077297988528787150040794558962t^{16} - 7375335603132957294432954887334t^{15} - 571802117091486876537253013577t^{14} - 49188403550853376692650415914t^{13} - 5544865171428785423085293256t^{12} - 387730537307162145372349467t^{11} - 2096273932396799288573774t^{10} + 1649323984496398681542987t^{9} + 125331277084132138779550t^{8} + 5373466727602782019272t^{7} + 179055131751950495088t^{6} + 4621848818464072605t^{5} + 58309444516834880t^{4} - 1547910456895653t^{3} - 39052060385903t^{2} - 252557383504t + 252262400 \right)D^{4} + 2 t \left( 4315033567874643099540965109709659636350976t^{41} + 456829706952058752451995373314972027101878272t^{40} + 2063520204420946093563898850367831738492285312t^{39} + 4675954989830640026455948371681658331530923584t^{38} + 6997266843824474465176122613773089772375067264t^{37} + 7576945546006805080387679247490042268857658128t^{36} + 6175209256596706777688516830826328629626306152t^{35} + 3884294220914472615259424090728958913161137152t^{34} + 1928338011845330526850700793602208935840313520t^{33} + 767919299864902072793585708943684254547035476t^{32} + 242361847385732826218084837862864550216705694t^{31} + 54515283656456470836925733146682662618028448t^{30} + 4296043482023627242136566349395987216061564t^{29} - 2909111112773455853606624837188864711482278t^{28} - 1623049739104656187016295553274875699199505t^{27} - 458539147577947254208712192350296603837458t^{26} - 82534752688181541578736347429365265936410t^{25} - 9323388420910225289741650135782190848991t^{24} - 448831439409088267109471192027498167863t^{23} + 76482046350440820769128108387952179385t^{22} + 29324074535159648381196436851960851318t^{21} + 5767888433602659578093749436562461877t^{20} + 651019127741275056542853996632704638t^{19} + 12048850681918132399201130486852156t^{18} - 9096796587648626005558636297774684t^{17} - 1697765248374633196914098617203207t^{16} - 170987714828559919374124960298220t^{15} - 12050945885106090643237844099615t^{14} - 729104233966049141956985403674t^{13} - 46479358379442658300576685866t^{12} - 2901341013752402437870440117t^{11} - 130883040525606600083326809t^{10} - 2066674847237667431486251t^{9} + 208024328098324304618524t^{8} + 18881443416101061718119t^{7} + 731274521218567898120t^{6} + 15404073529723501082t^{5} + 168114796262672689t^{4} - 1094092713786242t^{3} - 34625967895347t^{2} + 18992822223t - 28197600 \right)D^{3} + 12 t ^{2} \left( 1262581062292234759849238458423359280275456t^{40} + 134872422753263412883964727258115159256215552t^{39} + 607354509222614525618253518149981458673177088t^{38} + 1376161256024620348743936654409017735224397056t^{37} + 2066066848706792193211663105112739848645645728t^{36} + 2251351712802434209261577215874800893002447728t^{35} + 1854927116053977947269859495712569993517503000t^{34} + 1189218830501512198272584462951426565079797280t^{33} + 609949583896981789755015118745863351422360184t^{32} + 256293260947459322180351950495650754216121740t^{31} + 88541681811218246635123692313977988855543582t^{30} + 24054642909231859506298158297084141771624972t^{29} + 4388447953487180089204277839040171014063520t^{28} + 170388566583782702618613900292625850851862t^{27} - 199269852743530470100786895609716178358370t^{26} - 75431579028504913214384162752049606864390t^{25} - 15002448307875675093375054747742340378903t^{24} - 1863113994685638705549385718040964251660t^{23} - 131433275181163203074213289204315954507t^{22} + 4701680620355544336200547133745006751t^{21} + 4151657561957204230854923535012134245t^{20} + 858841467013584113315606380906454386t^{19} + 67364780220594709815426579564236796t^{18} - 8861085512680679040357759372214188t^{17} - 3197141748404528592085666108114287t^{16} - 449686043670824918536229942097750t^{15} - 40354435167063760786746111201185t^{14} - 2773189149410435757402744420709t^{13} - 176453893568959120768746405029t^{12} - 11157253251326925972431146816t^{11} - 581031677639330655230875086t^{10} - 17844015046174037495815840t^{9} + 101731893981726378703166t^{8} + 47364321938549088368040t^{7} + 2894497639557924190156t^{6} + 86960089441820899594t^{5} + 1333590854553350978t^{4} + 7187000966253040t^{3} - 224079552927532t^{2} - 3932822809504t - 504524800 \right)D^{2} + 144 t ^{3} \left( 97608362913994512774230855730606116855808t^{39} + 10497949778520194960444692389028589196051456t^{38} + 47164011664698211396609012206814687594447680t^{37} + 106826525603803579062347964357916271629327328t^{36} + 160672090051151019463725320072778713515370640t^{35} + 175710170860168010052437049332907125660395376t^{34} + 145669149253147674216136034752234621855137400t^{33} + 94400914365399281821059572742304225113178488t^{32} + 49294076191531682331997732651853143554016796t^{31} + 21296101796882375279593940193653792071001100t^{30} + 7672287887613093567336702137427977960203846t^{29} + 2238940902558125978644274418293384116383696t^{28} + 484980504206398247179637838934409655422246t^{27} + 60244310582937562085822700975702399189108t^{26} - 2906342478986510596111466454246862809157t^{25} - 3237872139987964989254382640620092487724t^{24} - 775437650860559576755005588577181552850t^{23} - 112601651078525427616925538382921374273t^{22} - 11666663575543303296120891659720309726t^{21} - 720061539970161869212939199488667537t^{20} + 62996662006973923891829739289080797t^{19} + 19113780439408707301397186709176596t^{18} - 1355458772676114624715186330870725t^{17} - 1257970932596610621425327574553696t^{16} - 260948790844646200400332637603991t^{15} - 31414933399384183952700298866491t^{14} - 2648143141047517127265420324202t^{13} - 182801876933980575314710951272t^{12} - 11929841046266141135680225347t^{11} - 717111351511939491087992643t^{10} - 31587250795453713487535613t^{9} - 608547337978344873211292t^{8} + 25919663389979887111171t^{7} + 2778844578663442611880t^{6} + 128084441692057353766t^{5} + 3067501232583836755t^{4} + 29507605911517712t^{3} - 233865798721439t^{2} - 9551550015779t - 93910314576 \right)D + 864 t ^{3} \left( 5985620152413154528424143584005631344640t^{39} + 646868551566222682151043877171127692564480t^{38} + 2901389752516628507230429647305091847740800t^{37} + 6569001535580528589812468866323948718322240t^{36} + 9889710089259279503141222305002568278840608t^{35} + 10837014424476764628181071189675334050130560t^{34} + 9015505295020187344908033859195496733277120t^{33} + 5878149570462873957374661847487396962507632t^{32} + 3100485827435147373916220866802947644734824t^{31} + 1359920159658009057172557727669636919283552t^{30} + 500649659520524133603085862713910656740264t^{29} + 151095650296804938591358231733829851863008t^{28} + 35009143922842387762342129323112672376384t^{27} + 5380112980543109716671315646181614802156t^{26} + 262952458575576286010328906558834879860t^{25} - 109127877017481881519792203134912061420t^{24} - 34893740543140885169306454077015114282t^{23} - 6029074438896824277857497462342316020t^{22} - 814466879472694193020286108388427664t^{21} - 91011166436028565411579759178576782t^{20} - 6877265068995272388625399815310347t^{19} - 743359364747116281404048527123640t^{18} - 334014918894823029105434591444133t^{17} - 96431197168407683135685076494313t^{16} - 16088629998449438989980122809539t^{15} - 1766978025453595759551824376500t^{14} - 143737068076396851693289207812t^{13} - 9996700514438509062895868454t^{12} - 655496070564555227708643869t^{11} - 37231026679476078091529714t^{10} - 1421998976650980664096395t^{9} - 14642120619262358448333t^{8} + 1824879755102796832989t^{7} + 131169671152085522842t^{6} + 4910460732454278906t^{5} + 96369152283277340t^{4} + 406969230055562t^{3} - 23533862404594t^{2} - 379884329796t - 1745340480 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ4P4 × ℙ6P6

|λ| = 11.71961 λ ≈ 11.71961; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.083416 - 5.179683i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.083416 + 5.179683i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.790706 - 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.790706 + 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.609519 - 3.013907i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.609519 + 3.013907i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.418588; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ 1.22818; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$11.7196129$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$11.71961$11
$-4.083416 - 5.179683\mathrm{i}$11
$-4.083416 + 5.179683\mathrm{i}$11
$-3.790706 - 4.277176\mathrm{i}$11
$-3.790706 + 4.277176\mathrm{i}$11
$2.609519 - 3.013907\mathrm{i}$11
$2.609519 + 3.013907\mathrm{i}$11
$-3$11
$-2.418588$11
$-2$22
$1.22818$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{3} + 10 \lambda^{2} + 51 \lambda + 79\right) \left(\lambda^{6} - 10 \lambda^{5} - 7 \lambda^{4} - 272 \lambda^{3} + 2192 \lambda^{2} - 10352 \lambda + 9952\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{3} + 10 \lambda^{2} + 51 \lambda + 79\right) \left(\lambda^{6} - 10 \lambda^{5} - 7 \lambda^{4} - 272 \lambda^{3} + 2192 \lambda^{2} - 10352 \lambda + 9952\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 & 8 & 12 & 12 & 6 & 24 & 32 & 0 & 16 & 40 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 8 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 & -4 & 0 & -2 & 4 & 12 & 18 & 6 & 32 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 2 & 4 & 12 & -6 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 2 & 1 & 4 & 4 & -8 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & -2 & 0 & -2 & -4 & 8 & 16 & 8 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 2 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -4 & -2 & 2 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$