Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-282-62-d

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × Fl(1, 4, 5)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8 (marked)ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(w4 + w8) + E^(w1 + w2)
Bundle
Q_2 box O_3(1,0) + Q_2 box O_3(0,1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
13048.wLwIw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;4,4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;3,3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 62
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 282
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 3

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 282
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 168
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 18
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 8 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 3 0 x0 - 3 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 42 0 0 x1 - 23 65
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 62 0 0 0 0 62
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 57t + 166t^{2} + 57t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(95)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(141)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 9t - 1 \right) \left( 8t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 152t^{3} - 44t^{2} + 5t - 1 \right) \left( 171t^{4} + 112t^{3} + 38t^{2} + 9t + 1 \right) \left( 283298422422070223631899557056t^{29} + 1190170316503416783825340105536t^{28} + 2245847545822743909485054794296t^{27} + 3105018022129171708661046972152t^{26} + 3908745585656942944590774401800t^{25} + 4205535551615646447909134029208t^{24} + 3441075601475088991832783385108t^{23} + 2043479746465447766419748764180t^{22} + 868893071257306180718055234148t^{21} + 256584116822320783376687001074t^{20} + 44557955762805595334777435767t^{19} - 1790944178268602036723220201t^{18} - 4774694113540389379616824375t^{17} - 2149237231342311574320451920t^{16} - 644999492399509507942915386t^{15} - 146244350333807043802436677t^{14} - 25881836361073964622319904t^{13} - 3616575264849389588684268t^{12} - 399220526100179938318424t^{11} - 34267696031698178352087t^{10} - 2176551988458137753189t^{9} - 87598367766837002417t^{8} - 498791808798482375t^{7} + 219912183987923497t^{6} + 18065546449757052t^{5} + 805358070413771t^{4} + 19489782716502t^{3} + 111981250044t^{2} - 4793518620t - 61627716 \right)D^{8} + \left( 114517036846684874777062463279417032704t^{41} + 645980975837865397873671181259905548288t^{40} + 1697903386058459522582584383535085242368t^{39} + 3021978496170319112435605248532787555328t^{38} + 4389061698620964112646725857515321796096t^{37} + 5527888702979234276176008647880418995456t^{36} + 5881354363642356165684538053035711128800t^{35} + 5085152882088272752718937631845969265936t^{34} + 3502429003769307378541327912216105657464t^{33} + 1907094471976774394963136129863478687992t^{32} + 813307698758670854868624166471053601472t^{31} + 263425301681922009163127722849703842592t^{30} + 57740985455121800048182376118414884732t^{29} + 3331605864806504777792246892865863216t^{28} - 4032183091208224446572764736634882894t^{27} - 2386555164896518649546726775515893016t^{26} - 847383913296515310292539547076252947t^{25} - 223928653434541561731439270139597655t^{24} - 45233979054646315717170876218322813t^{23} - 6517195648865822003997304002012296t^{22} - 433503895757413138099050795086355t^{21} + 89560720900313068187072561815519t^{20} + 40783089447017723390289559931345t^{19} + 9457212790858850757292803053531t^{18} + 1692350032456318887052072059647t^{17} + 267413120395775374006922992519t^{16} + 40268169731635988877182500112t^{15} + 5837558846285905528843442438t^{14} + 777455413927520218849636470t^{13} + 89772768297671546732743617t^{12} + 8584991213593981689363776t^{11} + 651287469310245144975138t^{10} + 36602797074424919678605t^{9} + 1260374249309374121845t^{8} - 1608986127148212666t^{7} - 3344889615508920999t^{6} - 233265179761559824t^{5} - 9158001578068993t^{4} - 195870894533484t^{3} - 966401715636t^{2} + 38594659824t + 431394012 \right)D^{7} + \left( 1736841725508053934118780693071158329344t^{41} + 9579986534369907987719055146454181699584t^{40} + 24542527239428237695410322723335497836800t^{39} + 42995029782944994374860958374469004791808t^{38} + 62433151882277660922090278880919921997088t^{37} + 78966616585291956408732350713463592178560t^{36} + 83603320327198545232911969834717787860336t^{35} + 71039252190374069280163120015821364517152t^{34} + 47590459906567872778448874357267604060360t^{33} + 25002005661634283169655403252118082836112t^{32} + 10207999841028765662815963934659537154456t^{31} + 3123452895660392404205622169042176374656t^{30} + 614495643543126251965346799994861577508t^{29} + 157217019832123503571213560573343432t^{28} - 62961125228199749489206377881764710102t^{27} - 33306725904360185175544949238102291680t^{26} - 11603659586145468187824537466726692871t^{25} - 3126262784863973575938297807306640255t^{24} - 676196799076562480378972501823135421t^{23} - 117271594064982512685092832587982934t^{22} - 15788433714917646508403635087711419t^{21} - 1492309802867101294994856328624531t^{20} - 60754298269493783765897445083055t^{19} + 7614906070596436459733139177385t^{18} + 1191998802688646051733161989023t^{17} - 182873761082157521696449385163t^{16} - 107680120191181031952413309906t^{15} - 25610724603806999430749901060t^{14} - 4179572352245059221424336410t^{13} - 516625799254846398522328109t^{12} - 49712819681729594556215806t^{11} - 3704523917823299708360924t^{10} - 204943449002644496685021t^{9} - 7355200960268829107557t^{8} - 67328569828481884830t^{7} + 10545819030776831513t^{6} + 778098445233157238t^{5} + 29663947167960891t^{4} + 607403345901360t^{3} + 3039660231156t^{2} - 101354820048t - 1047671172 \right)D^{6} + \left( 14429146642682294221909870373206546120704t^{41} + 78073440350049540873417759270935661674496t^{40} + 195646196352070619768065382106443768984832t^{39} + 338482345059067325393592782742659797232640t^{38} + 492259290831738917502393085485280723751328t^{37} + 624832318696071362547800336557334161746816t^{36} + 657361131421629249373746750678947203554288t^{35} + 548584551583601037362663185804263641989504t^{34} + 357403708225480774039661389828756352657976t^{33} + 180977181638895315790389984616184391065360t^{32} + 70386258500807297448059629961268591394448t^{31} + 19965655755327146995553061103236939593960t^{30} + 3201365582278558346937520679984250879276t^{29} - 447220762116836763196564914903575238184t^{28} - 589019226235104197871592827986649032294t^{27} - 275255398567753435095658543998865379382t^{26} - 91783699730193372301051424058875254075t^{25} - 24317362556569336565111441715031307641t^{24} - 5290098046296699172029727893148860729t^{23} - 955337088577452015858700611526855072t^{22} - 143330631563567880339367319007411363t^{21} - 17692754492266557719097031158547615t^{20} - 1735036544038267549335543128400577t^{19} - 117153863775959222207763972782481t^{18} - 114345968099267361311057440701t^{17} + 1820688674092779998174963732945t^{16} + 443597164266089862433951904474t^{15} + 76650644232753966279234925044t^{14} + 10629981661341112701095712938t^{13} + 1197082910755572992123738707t^{12} + 108630019301625174747559610t^{11} + 7797608913658075443232896t^{10} + 425443394739040916674439t^{9} + 16039657332323084055007t^{8} + 287186914481519850520t^{7} - 8572340062948495121t^{6} - 868395701983769642t^{5} - 34576092675699551t^{4} - 707964835086564t^{3} - 3626942205708t^{2} + 107651354904t + 1047671172 \right)D^{5} + \left( 71410915560311909829729867726656471310336t^{41} + 380184599560128436971672624590601654743040t^{40} + 935050499184608977813830797009320331631360t^{39} + 1601959810385706627142373481681176717895168t^{38} + 2335406542609763627976783420218108530557792t^{37} + 2972460239002160518716605827784594590449984t^{36} + 3105448190155655237105484961232794734865344t^{35} + 2546289724633398510466097111990538901576744t^{34} + 1615108662299542786776980930632228595635480t^{33} + 788854087204344448232052077634985446184984t^{32} + 291651796057812513570848389098093294970280t^{31} + 75580374295906604451388090337368787840572t^{30} + 8473452033986844874541874023959122101796t^{29} - 3973054545814939417545431560157238834720t^{28} - 3183719907647377368849172595640206023006t^{27} - 1357156079413021771608935481177174836285t^{26} - 433285570790079713388640495114841986935t^{25} - 111632606246389803409358352446534221796t^{24} - 23812911516918971715716506223122453229t^{23} - 4248275480834766547958743083444805251t^{22} - 635774951782276681631380160823958190t^{21} - 79638545616289367514225516547044944t^{20} - 8285544856552788370262254620889569t^{19} - 708051531123685440859904907549554t^{18} - 50195126089613140300269210323485t^{17} - 3468253600008545444710964178321t^{16} - 365027093383109231464886638305t^{15} - 56685191503939439403952918244t^{14} - 8225974140747445250470208411t^{13} - 953038789309218674479413875t^{12} - 86739327984533992385806538t^{11} - 6182358294687017857685782t^{10} - 338092157375173576022293t^{9} - 13435107073488741242074t^{8} - 333957358679258400771t^{7} - 1668895014097882232t^{6} + 255182407015856426t^{5} + 12801951355741306t^{4} + 276679084806690t^{3} + 1461425090616t^{2} - 39923719812t - 369766296 \right)D^{4} + 2 t \left( 107016170933227015479164871934615217061888t^{40} + 562167189351466473579635599289726267252736t^{39} + 1361282532711710839321252044206803137710976t^{38} + 2314643402339112626264675262702658156932096t^{37} + 3383664935089003541323752889832814161185392t^{36} + 4315087185364366970249640256793485593013440t^{35} + 4476610534861659023993658598893736697799384t^{34} + 3610910898996769221697850456071143102888632t^{33} + 2234561372787966338036922311709300050669064t^{32} + 1054922169370908796835511359081291481320332t^{31} + 370797099074568036422426120800507278747496t^{30} + 86652152171219350201198274933510672337772t^{29} + 4427587637006325243931856327506381562820t^{28} - 7874740484230336979790566938031925443980t^{27} - 5039800234018738543204490833941265414022t^{26} - 2012704890624135814194639714341028432681t^{25} - 619695387173902700771108529371820849621t^{24} - 155501508852563508386927498829772783856t^{23} - 32474613382632858858863329683515812851t^{22} - 5696764787184757118026355007058311718t^{21} - 842257334571228140609703293750940493t^{20} - 104742456658796811372394194356345750t^{19} - 10854353595010480482004699052604006t^{18} - 917161706824258684485318928932161t^{17} - 60184230626050387210808197890975t^{16} - 2667735180983684057201307081000t^{15} - 26336084469607246425100717983t^{14} + 8123355884167132510668744137t^{13} + 906137655439271050633865594t^{12} + 60186156206849429505375620t^{11} + 3036843769254196181908889t^{10} + 140441948867777083954437t^{9} + 7627939828318337564598t^{8} + 467341357296559852634t^{7} + 23927521531190064257t^{6} + 851179923976248894t^{5} + 18827813050520829t^{4} + 204351737122536t^{3} + 527865308088t^{2} - 2708011728t + 36277308 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 46969480765547931070019883376450894344192t^{39} + 244092355908872522738633870060130513242112t^{38} + 583671510098442944254165390772704196348160t^{37} + 986763591716716256027488902446849691623424t^{36} + 1446353105386854264673527716051733645720384t^{35} + 1846930731520738920312276685996468761368832t^{34} + 1903624910076336569253026623646285279213852t^{33} + 1513436235785053389238881551965255150800868t^{32} + 916389429488393520880779364627943098718616t^{31} + 419542582083763383419503600401425270273966t^{30} + 140516207646850388152960381992261559352712t^{29} + 29290782045891572900810585401613633413482t^{28} - 707153269206221581529758597753441916536t^{27} - 4048033343895522644457539584364023004423t^{26} - 2283870233979581561642521161993271585761t^{25} - 870469428448364939310749126565252560008t^{24} - 260305932373314940068097534715511581185t^{23} - 63814568960242308278615650636267256121t^{22} - 13052794290795005357061396603486537682t^{21} - 2245795662420374954217941372673171404t^{20} - 325890579148845874241314334732651027t^{19} - 39762730435089705480979211254333716t^{18} - 4033239614315570214610711555381915t^{17} - 331334034960934659682656649846817t^{16} - 20725747411389529577279228029845t^{15} - 802637536185239187636087313406t^{14} + 8044977891223321222674985747t^{13} + 4570947820593123758732360224t^{12} + 469340417908306351557893201t^{11} + 33227573470894199522981580t^{10} + 1916348372120546369979100t^{9} + 98002108877071420280139t^{8} + 4645704551889794298003t^{7} + 199214783260784389288t^{6} + 7115713659751550093t^{5} + 194281158016795868t^{4} + 3711978225029481t^{3} + 38683133779104t^{2} + 102216124674t - 1109298888 \right)D^{2} + 16 t ^{2} \left( 21786866260081797426336133638909090471936t^{39} + 112285218039076242529376640223296560984064t^{38} + 265883917603468128531183763217623519576128t^{37} + 447608469709753733442249403090441056587520t^{36} + 657607476084024731483180895216681592352232t^{35} + 840451358141490162464214462139672181401920t^{34} + 861438779559674079731572435187032213134672t^{33} + 676691911711811787887050095015324977991924t^{32} + 402367345856571495084567242974539897295104t^{31} + 179451547585334304448020233799257141375748t^{30} + 57546735963987122264090875651195475767140t^{29} + 10639396556508616099926265216136943657954t^{28} - 1201577928956827314885162131274361793420t^{27} - 2065213870301711409076055263632663943353t^{26} - 1078587626060367885594393330897196004421t^{25} - 397629551607231469720844588204175766600t^{24} - 116258911703089123485729272060581048189t^{23} - 27964082674871083049331785616495452140t^{22} - 5619302383491165611630049685965033519t^{21} - 950244744596040249493136326411866958t^{20} - 135487042247882172306350775103606198t^{19} - 16218374361408159797166674785710131t^{18} - 1607583980038229588021911745044537t^{17} - 127807600539081190207236674016382t^{16} - 7521860007582180366288092792909t^{15} - 236921112461445973503647285907t^{14} + 10300189245776750614603190426t^{13} + 2306775938007546996172482078t^{12} + 214492415374828316586726897t^{11} + 14600680947370487282218531t^{10} + 827960186709243418175890t^{9} + 41835860120721850335606t^{8} + 1900836639741444182793t^{7} + 73078283907977959020t^{6} + 2179291315753958401t^{5} + 47457695629031354t^{4} + 756858465501822t^{3} + 7262767341864t^{2} + 20048156352t - 123255432 \right)D + 96 t ^{3} \left( 1336032096544656872399062071593198714880t^{38} + 6844744175291450629637661788071306936320t^{37} + 16094134296938112760284862867362879085440t^{36} + 27014297626208534129312764637336987404800t^{35} + 39759390351540706167397148432122424691504t^{34} + 50840815771198493514070062787042459595136t^{33} + 51888092743660768307792270118432082776816t^{32} + 40391546263307696856284412509161430813064t^{31} + 23687317926054944554018099634012303163288t^{30} + 10350992166059945874531522602270504226224t^{29} + 3203387270950932065585669968755475110600t^{28} + 528384443658301366586263451844477972816t^{27} - 109826762672606027711916785438705770216t^{26} - 134160887290209880071866986067393502422t^{25} - 66792115014819232970303657991970259726t^{24} - 24069389211816746272468093008222588010t^{23} - 6923793373848461549735586456123405294t^{22} - 1641803229215264999450166846152885781t^{21} - 325433908451119260434188565716766133t^{20} - 54284621502234293672767223538140244t^{19} - 7630396813142590344444581020401129t^{18} - 898969358266536973211838704107797t^{17} - 87353825181203408474454789355250t^{16} - 6741613306048660112887347568639t^{15} - 373367769534064621047096537044t^{14} - 8890306900892665032463390205t^{13} + 899692468889368774110112205t^{12} + 148010589391676686653901699t^{11} + 12815075207475724682942937t^{10} + 835675891649899479382201t^{9} + 45819840458757167136427t^{8} + 2253685621092607334362t^{7} + 99338695846003954784t^{6} + 3613695896735307660t^{5} + 97254783604945993t^{4} + 1777764646714088t^{3} + 23654057051694t^{2} + 212875877664t + 629068680 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × Fl(1, 4, 5)

|λ| = 9 λ ≈ 9; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.5785468 - 6.262482i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.5785468 + 6.262482i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.842906; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.706542 - 0.6481502i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -3.706542 + 0.6481502i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -0.793458 - 3.383479i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -0.793458 + 3.383479i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2 - 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2 + 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2 2 2 2
Sector dimension
16
Spectral radius
$9$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$9$11
$0.5785468 - 6.262482\mathrm{i}$11
$0.5785468 + 6.262482\mathrm{i}$11
$3.842906$11
$-3.706542 - 0.6481502\mathrm{i}$21, 1
$-3.706542 + 0.6481502\mathrm{i}$21, 1
$-0.793458 - 3.383479\mathrm{i}$21, 1
$-0.793458 + 3.383479\mathrm{i}$21, 1
$-3$11
$-2 - 2\mathrm{i}$11
$-2 + 2\mathrm{i}$11
$-2$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 9\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} + 44 \lambda - 152\right) \left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} + 38 \lambda^{2} + 112 \lambda + 171\right)^{2}\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 9\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} + 44 \lambda - 152\right) \left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} + 38 \lambda^{2} + 112 \lambda + 171\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 8 & 8 & 8 & 24 & 20 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 6 & 16 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -3 & -3 & -6 & -6 & -8 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 3 & 3 & 6 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 3 & 0 & 3 & 6 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & -1 & 0 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -1 & 2 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 3 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$