Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-286-63-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ3P3 × ℙ5P5
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10
Bundle
E^(2w6) + E^(w5 + w6) + E^(w2 + w3)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + Q_1 box O_2(1)
ZL62 label
203050.FwUw9
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;4;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;5) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 63
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 286
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 4

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 286
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 172
$\mathrm{c}_2^2$ = 90
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 64
$\mathrm{c}_4$ = 16
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 4 0 x0 - 4 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 44 0 0 x1 - 20 64
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 63 0 0 0 0 63
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 58t + 168t^{2} + 58t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(276)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(354)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 6t + 1 \right) \left( 8t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 9t^{2} + 3t + 1 \right) \left( 19072t^{6} - 3264t^{5} + 1328t^{4} - 192t^{3} - 16t^{2} + 12t - 1 \right) \left( 4068338165097551166480763060224t^{30} + 17577120762252247389764101079040t^{29} + 39328677170073790021157787795456t^{28} + 49491429858206460277496569921536t^{27} + 41365751804658994791996029140992t^{26} + 28857196303561551486189548077056t^{25} + 18208251850919849548982263480320t^{24} + 9905575071827489098743157358592t^{23} + 4399790999747835540131557539840t^{22} + 1557307656621043003615020908544t^{21} + 443224443069740307259750318080t^{20} + 108375846831616139592037564416t^{19} + 24390233894932597253603426304t^{18} + 4901856716341520941252669440t^{17} + 798237432327004554079113216t^{16} + 99201288268863327488545792t^{15} + 9567742718301991171557888t^{14} + 768879185160439891705856t^{13} + 56712141093673114016960t^{12} + 4341995726893835668768t^{11} + 376272844958842873664t^{10} + 29238331601098005824t^{9} + 1345994581434911992t^{8} + 8590735903015300t^{7} - 2305908766225774t^{6} - 45338001449978t^{5} - 1443150163912t^{4} - 142446060858t^{3} - 176159561t^{2} + 31510113t + 66352 \right)D^{8} + \left( 2413401209957368382828855101383153549312t^{42} + 13389218109441452164276064212233863823360t^{41} + 37933075774756477618008808605666206810112t^{40} + 65975657599919297016449555593521065361408t^{39} + 79436927914046616169332175299508319551488t^{38} + 74026102485528058695400511369642822860800t^{37} + 57936045883227444363398593979742469226496t^{36} + 39669819212796509332221888674117424513024t^{35} + 23908361284916191108099379451782643056640t^{34} + 12554439300022524018004937649491105808384t^{33} + 5686388240957600158575109445534726750208t^{32} + 2216451658398957235658366185058007515136t^{31} + 748257267447370003838109796176161144832t^{30} + 221599583475536354662107329015240982528t^{29} + 58395760512419746884873598483071762432t^{28} + 13801727872164208090179773958614679552t^{27} + 2910052227735207573380911489741750272t^{26} + 536442621938936452611885415409909760t^{25} + 83868126988546390095673556085768192t^{24} + 10755972191324968747727348965244928t^{23} + 1095657477108281914702960747479040t^{22} + 84245082239692275079981660045312t^{21} + 4565530946245071151052323233792t^{20} + 627902333050851917274891941888t^{19} + 311690386568320934431304708096t^{18} + 94253856819441620541239872000t^{17} + 17382361642868619879130436608t^{16} + 2175146664762352695116280704t^{15} + 203014224493173684697870592t^{14} + 15612592854013436957582688t^{13} + 1099529960631150814643232t^{12} + 81074335226082608777424t^{11} + 6627003523598717183680t^{10} + 464930941063951538764t^{9} + 18896722781768779052t^{8} + 61959518054385618t^{7} - 29001030955880086t^{6} - 545020062329492t^{5} - 15636726623994t^{4} - 1272232161489t^{3} - 1288072645t^{2} + 220570791t + 398112 \right)D^{7} + \left( 36603251684353420472904302370977828831232t^{42} + 199927281100413191796934123367896115576832t^{41} + 558799493060623021882069363225126823264256t^{40} + 949093521027613985704935007082506981736448t^{39} + 1108914930023762202733476399017362515296256t^{38} + 1007630834941624691356276335677018361298944t^{37} + 777135718411526209628154522367649327874048t^{36} + 527580557581732424147525307631790091927552t^{35} + 314312325575959853083316171280629725396992t^{34} + 161748310684031534206178245972970881155072t^{33} + 71147524276942727630913576425696815742976t^{32} + 26780837071677120068050214007983346548736t^{31} + 8734016637444422197715725918921342058496t^{30} + 2515088389202847585447753303172734517248t^{29} + 650461335160357094348059028834787262464t^{28} + 151910351618670686771270310065541218304t^{27} + 31730960432118188244370340938439196672t^{26} + 5816201622404910851338934247928627200t^{25} + 916136651129086696546407011656794112t^{24} + 121079083764039444667420453941870592t^{23} + 12779809151265837677016471476297728t^{22} + 899243913402156130411840158932992t^{21} - 11799173846530209657191037413376t^{20} - 20337890499727705827636402952192t^{19} - 5406704962920704251069941152256t^{18} - 1048705149033290069833898776576t^{17} - 155407759481765138583433366912t^{16} - 17380157080150177172608619904t^{15} - 1509331424985740720756815104t^{14} - 109000825256108920778035840t^{13} - 7188547500757623821425984t^{12} - 483286477492491030113912t^{11} - 35076063354334963937448t^{10} - 2263098442000276298236t^{9} - 89998000239885733044t^{8} - 646355917472930506t^{7} + 112095546667834366t^{6} + 2164605715601268t^{5} + 46263748642410t^{4} + 4003047984803t^{3} + 5477602743t^{2} - 541565649t - 862576 \right)D^{6} + \left( 304088552454628416236435742774277347213312t^{42} + 1639046525608949891545104191926436150378496t^{41} + 4529383876645026416020682206371337023258624t^{40} + 7534855888038463033850005870331675497463808t^{39} + 8578748184605542019182073586432325189632000t^{38} + 7643335098447852329902188253428039555219456t^{37} + 5840730983324149120475094224399100587016192t^{36} + 3944285837753686696320718755592424436793344t^{35} + 2326006410777804514574234714571020703891456t^{34} + 1174320480912139574755673682010141800529920t^{33} + 502655947381311215325829965207288321933312t^{32} + 183380490243989815275744541200263612989440t^{31} + 58085867170022507173881130536776874590208t^{30} + 16359919775441290565256969153457994858496t^{29} + 4163746308394423535344319996763181154304t^{28} + 955770573188846722353904643866806976512t^{27} + 194468541333528639447836370083450191872t^{26} + 34386354874198959542260194514288115712t^{25} + 5236557662306738550286110585384665088t^{24} + 695348927937090221699840940265144320t^{23} + 84364511267462271667232881232650240t^{22} + 10206321151279653154826296415924224t^{21} + 1340235454004819675427929448984576t^{20} + 193954101762551189200362946027520t^{19} + 29502297795677750125718371415552t^{18} + 4315441058135624261803081940224t^{17} + 543712489027388464059889153024t^{16} + 54503132853438633536940408704t^{15} + 4285961727183768597774327488t^{14} + 275864274930284157463701216t^{13} + 15975130416735752178566352t^{12} + 970300768021390309359240t^{11} + 67951627838386132179520t^{10} + 4335195904635038709124t^{9} + 177181372186698253184t^{8} + 1972982044646353806t^{7} - 172023770632373518t^{6} - 3676253465243264t^{5} - 54087978496680t^{4} - 5033337416817t^{3} - 8508207721t^{2} + 548298753t + 796224 \right)D^{5} + \left( 1504956771175915634059026893637511500791808t^{42} + 8022041936168716649835409017318014195859456t^{41} + 21960254108735475096715602795672112075898880t^{40} + 35885092367924863489204083057032283153235968t^{39} + 39970289946204959625339555371568329260007424t^{38} + 35082246352054973469331528341109718151856128t^{37} + 26663799193136930072497282307889588074446848t^{36} + 17944279055582250821166812050907206602719232t^{35} + 10484024442388885413590506400503338733928448t^{34} + 5200780049146999015738690423012429689520128t^{33} + 2172597675586750972529998641266398618189824t^{32} + 771794686731894656519291622082868586479616t^{31} + 238984566350815960159424260781081710559232t^{30} + 66294941463441637354021941059264358383616t^{29} + 16675683607764077102199981955750843908096t^{28} + 3760726089886668096394463283418105380864t^{27} + 742087824188392578703210628269185171456t^{26} + 125381737211223623650258811986937511936t^{25} + 17948248677844435590479285544290222080t^{24} + 2179028684411493890663864841593257984t^{23} + 226164555110012777274958319683379200t^{22} + 20150964233082770944031517678751744t^{21} + 1490271008520120053707370766206976t^{20} + 66878196798397704903934127501312t^{19} - 6610906692833293819803436776960t^{18} - 2597271590493673227579535583488t^{17} - 445906679862744503960183230336t^{16} - 50614046289920208978615064320t^{15} - 4130425876628202745798739904t^{14} - 256633994193424857959224192t^{13} - 13134655519374196100157664t^{12} - 663711046956279658495160t^{11} - 41466094277233299957288t^{10} - 2579667372376140073768t^{9} - 113561726553812555622t^{8} - 2012782088315149126t^{7} + 74478555241790962t^{6} + 2100660044148432t^{5} + 21441215981967t^{4} + 2109096553253t^{3} + 3702144843t^{2} - 195637878t - 265408 \right)D^{4} + 2 t \left( 2255323430705160753753565092242556991832064t^{41} + 11912287371014623533094983271144662100869120t^{40} + 32359733189627389439534030414458396096856064t^{39} + 52088881925093953594664335776694048753975296t^{38} + 56971051536938425103236069128849989132353536t^{37} + 49448000010042430407641222736543375622668288t^{36} + 37473182767193685567971608765860155473526784t^{35} + 25156378980353477690345671856924954317553664t^{34} + 14574517491800338605191117989115013504172032t^{33} + 7118039286879373151080209064716079667871744t^{32} + 2911771971132638548190443820862163604471808t^{31} + 1012039777433961048172496675741127961214976t^{30} + 308158858075107136385601093662010953957376t^{29} + 84650934048704022097388897641487108407296t^{28} + 21104976522924449272857071907168427966464t^{27} + 4680090261115533962178822830328682119168t^{26} + 897709648353878854550885739971226501120t^{25} + 146275448616404701668450835165400727552t^{24} + 20207916479772176005186208195743285248t^{23} + 2403241280709441606583522073734889472t^{22} + 254083626832311343595122520459030528t^{21} + 25013548894725509684176179758077952t^{20} + 2398554870064531736649669891987456t^{19} + 226373585285235133621466003829760t^{18} + 20148000156047673610328341543168t^{17} + 1557737206002188082873317358464t^{16} + 92217668431823861962560921344t^{15} + 3113668369652249405737492480t^{14} - 55270000560896285664560288t^{13} - 14544810037022478820729728t^{12} - 903077158258622966919960t^{11} - 35799885066781227890892t^{10} - 2129851325740253251720t^{9} - 148976862181161224944t^{8} - 5797871014265588318t^{7} - 34658008531615584t^{6} + 2645201899524742t^{5} + 68392957700918t^{4} + 1391855382777t^{3} + 1765885617t^{2} + 39897595t + 21576 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 329954403385421507932032037032156979003392t^{40} + 1730034088433331191452960739135618801467392t^{39} + 4670904253227439848320041591734218665230336t^{38} + 7426648842760798318314432710958246839451648t^{37} + 8003871573715719132648563132214941231087616t^{36} + 6890447612837506479034125940769822708072448t^{35} + 5214544354007871191648885360836123734048768t^{34} + 3493878152258774868329901216467753814196224t^{33} + 2009364781166283868517449537602067938410496t^{32} + 968406215983228476055891446817764472258560t^{31} + 389296470722511126414392165462354927026176t^{30} + 132986025934562921882361924976491890737152t^{29} + 40012867623513316903834979699015141031936t^{28} + 10924210973645050278332880966240447234048t^{27} + 2703514636436113600896244999643388968960t^{26} + 589843044674612154654640340473778536448t^{25} + 110193876848483491722720777845766815744t^{24} + 17389573933389688888011580527236694016t^{23} + 2330645487699396240922583004676653056t^{22} + 271630404671132594849534528836546560t^{21} + 28654641275844084899673785247637504t^{20} + 2877390700828165749708677411608064t^{19} + 286082625150552208458835764857344t^{18} + 27904360834594736993791326507520t^{17} + 2490337176190042705670695258496t^{16} + 182601420498090334299674270368t^{15} + 9294600561696613260986600064t^{14} + 163021046691947288668675168t^{13} - 20651598388257594024949296t^{12} - 2330644314315956838924788t^{11} - 135771616369060886559456t^{10} - 6408483713145134076232t^{9} - 319925637014598640946t^{8} - 14256318478360484564t^{7} - 322024168622928930t^{6} + 2073212713284722t^{5} + 189451940839565t^{4} + 2683382181667t^{3} + 79934314729t^{2} + 145435416t + 265408 \right)D^{2} + 288 t ^{3} \left( 25508310010799407490732760168785831264256t^{39} + 132993683116715029594929053798858225614848t^{38} + 357384143652447973557966886615274710106112t^{37} + 562780877317392138829973772454881398882304t^{36} + 599615589499691774198619921394437067898880t^{35} + 513212629946498177139154211564066533539840t^{34} + 388176315815565273852215905487085140705280t^{33} + 259692128903915988477152053467113972563968t^{32} + 148446191783528999766310619370487547953152t^{31} + 70779353678389340551069361847945806217216t^{30} + 28061664896890734041732814990801993990144t^{29} + 9460433163809813035628237081768810250240t^{28} + 2823276826328059079605903827916776013824t^{27} + 767901039858244637597313375290429276160t^{26} + 188863353747189760204453602273338064896t^{25} + 40615651855433045847543105451052367872t^{24} + 7420066867506823760006020609835139072t^{23} + 1141531012516301175405694796020129792t^{22} + 149715658161362109564158032768245760t^{21} + 17267677633330876521107173663045632t^{20} + 1835202009053139498740729169372160t^{19} + 189550046449285404964874846602496t^{18} + 19633801005999279915958213421312t^{17} + 1978536075411375637207542059264t^{16} + 176846971398030539328981288064t^{15} + 12363735961660550495754725904t^{14} + 547324486215686904032594208t^{13} + 1512738989136776600578824t^{12} - 1969111929754956289770432t^{11} - 180037927943381919910290t^{10} - 10415822147265372876694t^{9} - 531649392787973355850t^{8} - 23846769942657677508t^{7} - 751409828125046777t^{6} - 6364691380645521t^{5} + 302720032916852t^{4} + 8219189683720t^{3} + 89206947292t^{2} + 2496076453t + 11097801 \right)D + 3456 t ^{3} \left( 782120762486184198138980819892688650240t^{39} + 4061349872384538426190854728414731960320t^{38} + 10877190618535544008705856460457016033280t^{37} + 17009196226063565223781593040812150620160t^{36} + 17973098395562283189547207695773120593920t^{35} + 15322813755848903743539160366502243205120t^{34} + 11587947013297113577609545102382589804544t^{33} + 7743580737942105127595091918344196980736t^{32} + 4406125255882182166224071226434361753600t^{31} + 2084115861825737625525593783940651417600t^{30} + 817878127628801442435875648078541225984t^{29} + 273136873974754191123458189827870556160t^{28} + 81076292318753799831102263922799411200t^{27} + 22001702813118878851285087923701022720t^{26} + 5384904492594351345849314996572913664t^{25} + 1144760782655299796211939217099456512t^{24} + 205551895260887123002589831376142336t^{23} + 31033895313887986800516511402598400t^{22} + 4011058785256444118022994560819200t^{21} + 460494876070090468588630564362240t^{20} + 49452123288977205337040277605376t^{19} + 5244801025805184474744136429824t^{18} + 561704639394462727940071474432t^{17} + 57906788074825273920123104256t^{16} + 5173424885270096433912899584t^{15} + 350915135889071634105175504t^{14} + 14287696205535611642813088t^{13} - 74298225106810397476152t^{12} - 60452866677076877941584t^{11} - 5152407476440720163978t^{10} - 299510160101954315026t^{9} - 15703296143825853458t^{8} - 657909432260828194t^{7} - 16214280072383737t^{6} + 47341399104687t^{5} + 9934986367956t^{4} + 172728434579t^{3} + 2355186168t^{2} + 43111400t + 298584 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ3P3 × ℙ5P5

|λ| = 9.600756 λ ≈ 9.600756; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.600756; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.230995 - 3.444284i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.230995 + 3.444284i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.2309953 - 3.444284i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.2309953 + 3.444284i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 - 2.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 + 2.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2 - 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2 + 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$9.6007564$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$9.600756$11
$-6$11
$-5.600756$11
$4.230995 - 3.444284\mathrm{i}$11
$4.230995 + 3.444284\mathrm{i}$11
$-0.2309953 - 3.444284\mathrm{i}$11
$-0.2309953 + 3.444284\mathrm{i}$11
$-1.5 - 2.598076\mathrm{i}$11
$-1.5 + 2.598076\mathrm{i}$11
$-2 - 2\mathrm{i}$11
$-2 + 2\mathrm{i}$11
$-2$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 6\right) \left(\lambda^{2} + 3 \lambda + 9\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} + 16 \lambda^{4} + 192 \lambda^{3} - 1328 \lambda^{2} + 3264 \lambda - 19072\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 6\right) \left(\lambda^{2} + 3 \lambda + 9\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} + 16 \lambda^{4} + 192 \lambda^{3} - 1328 \lambda^{2} + 3264 \lambda - 19072\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 0 & 0 & 12 & 8 & 8 & 8 & 20 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 8 & -2 & 4 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 4 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 3 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 & 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$