Family 4-320-69-c

No geometric description is recorded for this family (yet).

Fl(1, 2, 4) × ℙ⁴P4 · 3240.A2wB (preferred model)

Defining data

Ambient: Fl(1, 2, 4) × ℙ⁴P4
Bundle: $E^{2 ω_{4}} \oplus E^{ω_{3}} \oplus E^{ω_{3} + ω_{4}}$ E^(2w4) + E^(w3) + E^(w3 + w4)
Bundle: $O_{2} (2) \oplus Q_{1, 1}^{\lor} \otimes U_{1, 2}^{\lor} \otimes U_{1, 3}^{\lor} \oplus Q_{1, 1}^{\lor} \otimes U_{1, 2}^{\lor} \otimes U_{1, 3}^{\lor} ⊠ O_{2} (1)$ O_2(2) + Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v + Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v box O_2(1)
ZL62 label: 3240.A2wB

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(0,2;4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	69
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	320
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	8

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	320
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	176
$\mathrm{c}_2^2$	=	96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	64
$\mathrm{c}_4$	=	16

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		4		0
	0		0		0		0
0		0		6		0		0
	0		0		0		0
		0		4		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 8	0	x₀ - 8	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 46	0	0	x₁ - 34	80
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 69	0	0	0	0	69
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 64t + 190t^{2} + 64t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(138)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(187)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) \left( 112t^{3} + 8t^{2} + 1 \right) \left( 208t^{3} - 56t^{2} + 12t - 1 \right) \left( 37t^{4} + 24t^{3} + 10t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 19336381571358608211778633203712t^{30} + 16993451204014639881442200649728t^{29} + 9800033864442353309135239708672t^{28} + 3671910959001965592794673315840t^{27} + 986657148876488778922462625792t^{26} - 511464433107476786587131265024t^{25} - 889136473263974115687909769216t^{24} - 499187074013549915690449842176t^{23} - 134110222331265456746314339328t^{22} + 9782234133603281414247483392t^{21} + 15408617273972487500529873792t^{20} + 4064803099583111347783873344t^{19} + 146632899216001698758473024t^{18} - 166773219843350908311330624t^{17} - 49916604674800154699263376t^{16} - 7193339624243465078690688t^{15} - 486253977197372181269144t^{14} + 10796936196590705839176t^{13} + 5711332349457800735948t^{12} + 286254138921904677524t^{11} - 33713143177824299522t^{10} - 7061032031532522970t^{9} - 477461340884625506t^{8} - 23855279076342033t^{7} - 2218645146594500t^{6} - 175028863168516t^{5} - 8199814571832t^{4} - 281631926344t^{3} - 3774147072t^{2} - 95810400t - 517120 \right)D^{8} + \left( 2000043932183483407843081973664715898880t^{41} + 2937673820399369711996071618637501300736t^{40} + 2459578793629770352574215464190151229440t^{39} + 1531029121366980023235665096371972603904t^{38} + 734270333033449481074757907068814884864t^{37} + 202598712384546705319437319884247138304t^{36} - 72442537304711481902447238854148620288t^{35} - 124150605480542166500877163825409818624t^{34} - 81860293803818774469609529991422541824t^{33} - 34506018892696900623821922185076146176t^{32} - 9351252282101049969063119842478260224t^{31} - 944067984805475366733898168986763264t^{30} + 623797886963060573641288379849474048t^{29} + 367262938882713016397841936197648384t^{28} + 89606058705303138198861642398543872t^{27} + 5039172190907098361238891495723008t^{26} - 3818716819822709486161632117875712t^{25} - 1487582814277654886599349554934528t^{24} - 336134936771420809454872783073216t^{23} - 59486551381844222901956032871424t^{22} - 8185385392665808341170237997376t^{21} - 515308022252492352445307924768t^{20} + 83629399680339140036488127936t^{19} + 18788889945098520978949655840t^{18} - 731461745409391912196588936t^{17} - 844900197972159650502798056t^{16} - 153373234166761880338336444t^{15} - 12605333602024987850742008t^{14} - 72963198250278743138318t^{13} + 94715552472867978191608t^{12} + 5252879793753030789299t^{11} - 502206297090891342742t^{10} - 104276681047734582004t^{9} - 6569819267347329973t^{8} - 300160119354306213t^{7} - 26031548314368892t^{6} - 1915431400224188t^{5} - 81490950041688t^{4} - 2540765950152t^{3} - 30190447776t^{2} - 670672800t - 3102720 \right)D^{7} + \left( 25200553545511890938822832868175420325888t^{41} + 34708442491795526102493064041709116063744t^{40} + 27565322555023730116795267864581730467840t^{39} + 15506035469378669465154346676801180270592t^{38} + 6593016050339502611596367338082163228672t^{37} + 1023881158688282632771377131714385018880t^{36} - 1655441616946350246159538081726457708544t^{35} - 1802850073959350689007704327254697312256t^{34} - 995012792630984137477208699290563641344t^{33} - 323601567349294196974474636172462850048t^{32} - 47419542399767278535758622379167449088t^{31} + 11271228905560374506802423417936871424t^{30} + 10320110958799302906421482504618868736t^{29} + 3497327010447182276295427534300352512t^{28} + 551996185889745684336108681826185216t^{27} - 71348967921804832000553255991546880t^{26} - 65649089158124342719938406768728576t^{25} - 18757340035720464507973248353128064t^{24} - 3049775627778412518086062719818304t^{23} - 262276900319049871338503621596544t^{22} - 7320252412163879067334500083520t^{21} - 1232291970042597641365098771840t^{20} - 673408271310334491510949414048t^{19} - 46519110394203660766641702176t^{18} + 25542586826137502970293393032t^{17} + 7713629112630454153993192520t^{16} + 1017382219497772484549319164t^{15} + 55742784325766235337094420t^{14} - 2354095100730438317234906t^{13} - 701641411906892107313968t^{12} - 34548316008734980848893t^{11} + 2086550860834429009026t^{10} + 464194008052623288548t^{9} + 27774103881461099783t^{8} + 1188566134718814543t^{7} + 103694677236351596t^{6} + 7193578445130828t^{5} + 275337055574512t^{4} + 7423451927720t^{3} + 82282190240t^{2} + 1634562080t + 6722560 \right)D^{6} + \left( 173603813313526359800779515314097340022784t^{41} + 226117641128954088945566855576901774213120t^{40} + 172590460133705841036364397003164224585728t^{39} + 90506577192314660559198195136854335946752t^{38} + 35193181728772564437515860737713135157248t^{37} + 1233771534026855876236688346346434854912t^{36} - 14511884303312952939995199295810719186944t^{35} - 13446487788716025555315568736249629376512t^{34} - 6608071152425985650932777992581207031808t^{33} - 1649006488726648902442877861281608171520t^{32} + 14889468830071016315995596043247714304t^{31} + 175305301215376999048341423352184422400t^{30} + 72209160253304513671960118632522047488t^{29} + 14530010918721748440603378652178554880t^{28} + 164007524743524888408428683370180608t^{27} - 1061844019106185091162566215608627200t^{26} - 432108536674401342956324202045739776t^{25} - 101330923359669268071160341500405888t^{24} - 15229734880812419668774008915824192t^{23} - 1204098550827166913594657384240256t^{22} + 71676521687654984350788812641472t^{21} + 39280206224998835746552772894368t^{20} + 5777267385626610590040170670464t^{19} + 89024539045515842464763526512t^{18} - 132129443363841250956318962168t^{17} - 29354152778510044577949151424t^{16} - 3281015882839043309972511412t^{15} - 169627658783003863055343392t^{14} + 4933803268387224636999838t^{13} + 1627908367005726482450308t^{12} + 79000061096741992591001t^{11} - 4039533405128434400170t^{10} - 888305119954532885368t^{9} - 50603067707376242047t^{8} - 1943763659453889255t^{7} - 162880881241136668t^{6} - 10818772344209588t^{5} - 371849062306584t^{4} - 8458828975320t^{3} - 89710757856t^{2} - 1638472800t - 6205440 \right)D^{5} + 2 \left( 356307826518487569107245053608369137385472t^{41} + 442550309417423624568509998864067884744704t^{40} + 328067044807747549570427027149832551661568t^{39} + 163764596487172472072113106160073914187776t^{38} + 59891073051495103323671108742112780222464t^{37} - 4541310181677615560384755761529406095360t^{36} - 34174612667181785362014840583749886279680t^{35} - 29159580995182520319248381491445319467008t^{34} - 13209740173499266154121579617864884944896t^{33} - 2506877794736655144804746493693530505216t^{32} + 520366698650159067309306803808550240256t^{31} + 483132346860848214970363623599990112256t^{30} + 139576424707176197981614824534988705792t^{29} + 13279976140179372884248001081247988736t^{28} - 5163061092650650436726339528147089920t^{27} - 2897325145978437098546673447414111488t^{26} - 802801340476857473146260252132378624t^{25} - 148589241792654272516235916166476288t^{24} - 17752904237919902317663514865150144t^{23} - 785816949013075695816505580461408t^{22} + 147625897419788110481210987310336t^{21} + 32321798486176241981229050567256t^{20} + 1947403079176576607175811362064t^{19} - 41935008170352005450753867644t^{18} + 12399915438898367864301372344t^{17} + 8154654537126289470824859610t^{16} + 1180663815986475919782324784t^{15} + 49593695784248322473048761t^{14} - 5600539488800051838449458t^{13} - 1050948411557832806935367t^{12} - 66457187679842333308399t^{11} - 1497592001257293236121t^{10} + 137217848059486103215t^{9} + 10772780102738265436t^{8} + 466457880666295770t^{7} + 43265828095937146t^{6} + 2789639894868324t^{5} + 89977569794984t^{4} + 1667511459544t^{3} + 17341776928t^{2} + 289742080t + 1034240 \right)D^{4} + 4 t \left( 444509763927779187393124968646983108526080t^{40} + 530655793657160071077914139149946738180096t^{39} + 385131186293968507480483254555428331192320t^{38} + 185470403625518319286371449330894209286144t^{37} + 65196885465226980394665897200329466839040t^{36} - 11299528117034376359693979067198521475072t^{35} - 46790806482948476145493872734238283661312t^{34} - 37965843570666498371357796994184271757312t^{33} - 16189511803495569162447370308032825786368t^{32} - 2301334145781902237544482622391960551424t^{31} + 1087428923843766297416541181786069868544t^{30} + 700345942319127089305253824721327894528t^{29} + 160033973675637994562252399428080318464t^{28} + 538130280898623702806413794884000768t^{27} - 11320476119070871060302581613712128512t^{26} - 4185434013982036676288801053985089792t^{25} - 917964125880581902107631333574608704t^{24} - 138453733615547828279749230744945824t^{23} - 13376787154936716212251719209249024t^{22} - 261106210425254140406701279269984t^{21} + 173146567043044679410855320280640t^{20} + 34716294349912611702218776439008t^{19} + 2779744769112453779114624859104t^{18} - 68442213174288116966670076996t^{17} - 44298985239483100179159192296t^{16} - 4535297307315353357119074854t^{15} - 173464868413250168647877764t^{14} + 1010943901318465568601046t^{13} - 504864130197371398845128t^{12} - 160125895547132248233119t^{11} - 18891242976099976721407t^{10} - 1347363821770758381652t^{9} - 71634316634580641977t^{8} - 3293129351454134743t^{7} - 101679225771007461t^{6} - 2150015554124590t^{5} - 14281054805624t^{4} - 131197238640t^{3} + 7019123088t^{2} - 61868544t - 48480 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 327773866419336539155350417450752523894784t^{39} + 378848412726657689985051530101609455419392t^{38} + 270773205735851343444819134569254800588800t^{37} + 126907655808797897349669635933680501784576t^{36} + 43537408855579883715253888100452103880704t^{35} - 11158872348986184398013129503623900954624t^{34} - 36943265638045321183192814385903645622272t^{33} - 28973816286737189038398525630321649123328t^{32} - 11799400747186258564235439174653290840064t^{31} - 1229072325500031070349458321671514742784t^{30} + 1039735544434761212748609469529810325504t^{29} + 564059120526375789035778148379220850688t^{28} + 107872508752358053411212853413407144960t^{27} - 8812045285439199461119205173141480704t^{26} - 11033146386748579907097777514277768064t^{25} - 3403589245835762731245195640496113344t^{24} - 635949230647235728252088773949731648t^{23} - 77256309594769015062784317920361920t^{22} - 4848545292787266628819992308581376t^{21} + 293110926955365855267796564646384t^{20} + 118479174143784408171290659003296t^{19} + 15175709250445066081655155276520t^{18} + 562790173328095088719961795040t^{17} - 125849940445377893015832264128t^{16} - 26461684301932489960214168136t^{15} - 2046325166299720653931140176t^{14} - 43595734204338822479637816t^{13} + 3934324988597925231455659t^{12} - 23383548513473131397140t^{11} - 58385975328014496614480t^{10} - 8540767139685720171555t^{9} - 688118116601201638707t^{8} - 35870710078564098564t^{7} - 1484780857279380768t^{6} - 49517939950559908t^{5} - 1886315250649520t^{4} - 34263824390464t^{3} - 216722069440t^{2} + 2813632640t - 4136960 \right)D^{2} + 96 t ^{3} \left( 21650475565886207889901362364920549605376t^{38} + 24388172226781726066984890949332715438080t^{37} + 17238647755444639870474891011929388613632t^{36} + 7912198075823574008988218376449731330048t^{35} + 2675538925141625351335751770739965689856t^{34} - 869367150351591397217475815696483287040t^{33} - 2569508086331955748233311565943875239936t^{32} - 1967069940437319956717592845630991040512t^{31} - 773302348290328601551504341358369161216t^{30} - 57159614372881615608261068412910473216t^{29} + 80509074911317537719995825798544242688t^{28} + 39461810509996003049710783253799617536t^{27} + 6549314013106518238802269680681167360t^{26} - 1055509079829577788061269150763401856t^{25} - 865581621780252593909747314668221888t^{24} - 242266501907427428627505842358963040t^{23} - 40594822981760382668869523666540032t^{22} - 4010582417255256025549226821154960t^{21} - 88883500635985590200643088085120t^{20} + 42539247935004674005777213249464t^{19} + 7427498358776794018521493863792t^{18} + 489459200930123089685685157120t^{17} - 39577043470259002294567824792t^{16} - 12887309820641864970106565036t^{15} - 1553396040886391378142696224t^{14} - 80357242449288960075697332t^{13} + 921508700426417093556244t^{12} + 392130645977878138216429t^{11} + 8545992580529071087000t^{10} - 1779579608625710409582t^{9} - 352370848205207892275t^{8} - 32268595008072537075t^{7} - 1624462627583740594t^{6} - 57315492600191450t^{5} - 1900665629489622t^{4} - 106799422894292t^{3} - 2313942255104t^{2} - 17053038160t + 55438080 \right)D + 2304 t ^{4} \left( 291673073443424663643782787826104401920t^{37} + 322153361948385161967533917698260992000t^{36} + 225913852509112691752773038719463587840t^{35} + 102051205170053115786059783342706786304t^{34} + 34225082453022898657611978966103883776t^{33} - 12979903096355554422185464192753369088t^{32} - 35968253393872507162353816921876299776t^{31} - 27064872324582495427237776677079449600t^{30} - 10362294266563379798356568858290675712t^{29} - 523690471249379208982216157187762176t^{28} + 1203421762982514762713597046590385152t^{27} + 552877339405672491633689158600309248t^{26} + 82068088617932569081669720960596224t^{25} - 19077099089198251275568600949735232t^{24} - 13076385162456903728061749041880544t^{23} - 3460424017981599249426462941491888t^{22} - 539606275241345735898760949086432t^{21} - 44463019593063123922460574736056t^{20} + 956599383515730096326192973376t^{19} + 796953719126885710544987426092t^{18} + 97215270378222546727066694968t^{17} + 1817813081871146808567315548t^{16} - 1262352228949323281886769220t^{15} - 220236982484135240432177906t^{14} - 19911862183970135757498636t^{13} - 667939638608613052758922t^{12} + 43144815676880071201938t^{11} + 6479527830856886486791t^{10} + 187842902895700445322t^{9} - 9795197982316011562t^{8} - 3186502177822470055t^{7} - 326843698311337390t^{6} - 15643576056021172t^{5} - 449974925760600t^{4} - 13870264396480t^{3} - 1133749270848t^{2} - 25978326720t - 210984960 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 4) × ℙ⁴P4

Sector dimension: 12
Spectral radius: $8.269769$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: Yes

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$8.269769$	1	1
$-5.799605$	1	1
$2.134884 - 4.655448\mathrm{i}$	1	1
$2.134884 + 4.655448\mathrm{i}$	1	1
$1.865116 - 4.655448\mathrm{i}$	1	1
$1.865116 + 4.655448\mathrm{i}$	1	1
$-4.269769$	1	1
$-4$	1	1
$0.2345522 - 1.940705\mathrm{i}$	1	1
$0.2345522 + 1.940705\mathrm{i}$	1	1
$-1.6695$	1	1
$0$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{3} + 8 \lambda + 112\right) \left(\lambda^{3} - 12 \lambda^{2} + 56 \lambda - 208\right) \left(\lambda^{4} + 7 \lambda^{3} + 10 \lambda^{2} + 24 \lambda + 37\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 8 & 20 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 4 & 4 & 0 & 12 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -4 & 0 & -12 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta