Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 5-188-44-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ3P3
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(w3 + w5) + E^(w1 + w2 + w5)
Bundle
O_4(1) box O_5(1) + O_3(1) box O_5(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_5(1)
ZL62 label
111130.wFwCx4200
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;2;2;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;1;1;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 44
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 188
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 188
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 140
$\mathrm{c}_2^2$ = 104
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 24
Hodge diamond
1
00
0 5 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 5 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 2 0 x0 + 2 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 23 0 0 x1 - 1 24
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 44 0 0 0 0 44
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 39t + 108t^{2} + 39t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(465)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(520)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) \left( 5t - 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 27t^{3} + 54t^{2} + 9t - 1 \right) \left( 37t^{3} + 34t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 67t^{3} + 2t^{2} - 7t - 1 \right) \left( 41813220499831873298684660015412t^{34} + 350846378772055352470727955508068t^{33} + 1237665781793935009424558467717542t^{32} + 2614037252063358302562192336874134t^{31} + 3828413536904497027501428226738218t^{30} + 4213928367497565884771163666092196t^{29} + 3667285454285515826217025677586104t^{28} + 2612112108308748240256550524289463t^{27} + 1560366714048377776331254789103226t^{26} + 795333529002664218747634122932358t^{25} + 350006365743069823223228186955585t^{24} + 133961321900890161399819696548360t^{23} + 44749307601028709873246402281127t^{22} + 13048330224572843934502208920409t^{21} + 3310289419903835711617878365957t^{20} + 725166800290814220469703266777t^{19} + 135183397988195703286391109317t^{18} + 20825499663037418527444948840t^{17} + 2475048747028017514960006632t^{16} + 178464074973147387566635997t^{15} - 6371813180674355653772821t^{14} - 4585398645478474505218826t^{13} - 851069822070318149155946t^{12} - 101994691825607889098725t^{11} - 8556611200111084153189t^{10} - 477016687334324804226t^{9} - 12764829918045846510t^{8} + 439256647044345198t^{7} + 65569255840662788t^{6} + 3564722533729369t^{5} + 118934780720936t^{4} + 2401099869788t^{3} + 18431931104t^{2} + 38727094t - 318848 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) \left( 6045158061464933035081858353432994215360t^{46} + 68694718497776528445755609263978182429240t^{45} + 345732534745732956183759847070702152820820t^{44} + 1051423746731921921150349192776811454740456t^{43} + 2207402568229964728547748184858329461875458t^{42} + 3448548511012537335413147735695668669459408t^{41} + 4206518943829545783011764070265174806263380t^{40} + 4141159115081013993337812519533016952530978t^{39} + 3369011960198607719053106431538670258875493t^{38} + 2303511728686917671176395187057513194487518t^{37} + 1338696740384157540588797971693020066969978t^{36} + 665103442391068452801125630969215635250167t^{35} + 282252825212612337628321905018336297449016t^{34} + 101184001343074035038263675109933989716663t^{33} + 29674342219076706566060738039343293457930t^{32} + 6475878119797397516795619940120210046411t^{31} + 641690279568157832313899480079161599886t^{30} - 263471962620218198732775152095294694467t^{29} - 193455266199457963602081869767638257871t^{28} - 75999341991792461337787048826883821381t^{27} - 22560635100370049948265636331837160850t^{26} - 5443284948767338860977353644506329422t^{25} - 1085791290975921770971280782480479344t^{24} - 176798249162675303227648852673868408t^{23} - 22241248939532578375103091290667159t^{22} - 1763859339161571497143753186157030t^{21} + 33489441071845945249591718911178t^{20} + 41506986018741840016371804864341t^{19} + 8471600357137498461424125753073t^{18} + 1092439770500492602321677000613t^{17} + 91886475628917995893158127573t^{16} + 2551734142938467574912074956t^{15} - 735814706571834231934957673t^{14} - 170489499526632193158858063t^{13} - 22545363549570362455279513t^{12} - 2144662353902760133556758t^{11} - 147891563288732850345159t^{10} - 6659309849277082477809t^{9} - 104382530592449244353t^{8} + 9993639688957311724t^{7} + 932346688133838561t^{6} + 42151104339372733t^{5} + 1219060748916434t^{4} + 21659646452988t^{3} + 147062852210t^{2} + 274915834t - 1913088 \right)D^{7} + \left( 275054691796654453096224555081201236798880t^{47} + 3133669345161579737050657472666036292553992t^{46} + 15862252177346050237280479947064434414165732t^{45} + 48831145471090942823464788896280180247845780t^{44} + 104508151884230109685969318437314815512082362t^{43} + 167626582010319262935183603016342780302389478t^{42} + 211450622210023034408811280237319974799536620t^{41} + 216911578911781569174232207080677016648075756t^{40} + 185414110744846233259385662065832421602414929t^{39} + 134481497229833500705396981098231188330625927t^{38} + 83883565058476669914967956576259296312416454t^{37} + 45428322984683025883881674392675564959179487t^{36} + 21488161798417144555944614724057763623716211t^{35} + 8898133195187486190736411227561178599617379t^{34} + 3219555252786978107393391556396478298099831t^{33} + 1010034822213000320336917500994918948601229t^{32} + 269918278871792378723426881849830956356247t^{31} + 59028161241021955649942671669702589736593t^{30} + 9435123516959296420864783398143071749014t^{29} + 561598361356079532821056984253325517084t^{28} - 287690065934417321925448891427744240881t^{27} - 141937443140497361786396737466269736958t^{26} - 40231061783270737265234672250360606546t^{25} - 8551003559019293243767765737279633120t^{24} - 1430212579839893551042482179742589351t^{23} - 185360890195955992750151526884040509t^{22} - 16970079628024705887619752319534558t^{21} - 678235534040205789028729296081301t^{20} + 93203179189652419110373799195476t^{19} + 22801445713223444286484943627776t^{18} + 2649707949213175674697609631984t^{17} + 245857923775889966602778865389t^{16} + 32847581424256672143994304459t^{15} + 6341652348710615773262897508t^{14} + 1074685095491295152591755050t^{13} + 137366777428980150489714491t^{12} + 13055000378971074732811373t^{11} + 907696864344269410293700t^{10} + 43306154200212955022176t^{9} + 1098224519659974430889t^{8} - 15866303968955575045t^{7} - 2837745418589330572t^{6} - 133595521643222669t^{5} - 3723056972283518t^{4} - 62692007931286t^{3} - 384254380168t^{2} - 685571222t + 4145024 \right)D^{6} + \left( 2285069747233744687260942457597671813406080t^{47} + 25451107966952196861440116555179728538408336t^{46} + 125457608001261928690122553795175813457801180t^{45} + 376494783024962486377645561822971870787928472t^{44} + 787586282812518042707273971920957305366647062t^{43} + 1238857118774425831920305639097634487496305298t^{42} + 1538232470158292399883742056707020272698918256t^{41} + 1559405707398018589847742262130943840687575100t^{40} + 1322923582349990464730454568086756072116054445t^{39} + 956675460293574660902552182150862989700567847t^{38} + 597955311474016270903333402143176525932931700t^{37} + 326331200962642124637568638162209522137703535t^{36} + 156587664487622856870886364044112441687955909t^{35} + 66331580417284952767405059507163074706113939t^{34} + 24835445109294328966027192096380623598922491t^{33} + 8204207557775428957107228304559980203769509t^{32} + 2378253724939783520376369796550898658754819t^{31} + 598495729162266025773811814139386345611397t^{30} + 128105046178130632400950638902065409971970t^{29} + 22350407955948240895212249162873893861484t^{28} + 2838868754485891688688828145292242499059t^{27} + 142128422970933891993655007347663126956t^{26} - 45402687590066734353529479333605119884t^{25} - 16131211778404936568987244438389498126t^{24} - 2773191176498827074626170277491417587t^{23} - 212228704807178392672284457308132411t^{22} + 32582664541776074124003510289000006t^{21} + 15683793657504873168724537055207645t^{20} + 3397100598323382578529223870504724t^{19} + 517870072200020264102390081813146t^{18} + 60004423756749496900763348604532t^{17} + 5253228218010780035050482690007t^{16} + 309444603822332880708370792603t^{15} + 3703793311293739436759310616t^{14} - 1899597447390243946081380972t^{13} - 303513775543063068933275293t^{12} - 29365227717387473918217127t^{11} - 2039185567195897415115066t^{10} - 100685401974549788790132t^{9} - 3109294142019817230401t^{8} - 24565859445614451911t^{7} + 2786761847438720412t^{6} + 154459206028797373t^{5} + 4323919240792310t^{4} + 71701838550582t^{3} + 402383424488t^{2} + 705346582t - 3826176 \right)D^{5} + \left( 11308979443485523475379386514684773928384720t^{47} + 123571875651589092965877640800595476523383156t^{46} + 595055207941500135399339720330761931950125572t^{45} + 1745279337428493023132607082005327154973226858t^{44} + 3575157195474367462581717365587767383168079546t^{43} + 5520737563218152653025462739561279806205407202t^{42} + 6747977538850209409892940918308333364968460720t^{41} + 6753746474136383452386396137027279952822529596t^{40} + 5673551977785925673041292742297764710663835166t^{39} + 4075251742510174073752973831005431886323479106t^{38} + 2538028787058610494629306130665933511080219166t^{37} + 1384645940998260344722748251290219407042563503t^{36} + 666479095201503678084436156993474931455506525t^{35} + 284285315071217966100641935591848244803199575t^{34} + 107664113982301989300146305237914030098828706t^{33} + 36184111137511583345897680041029350676447376t^{32} + 10758530771379093531026668776787714859953775t^{31} + 2811937966980448553783144703714237354379760t^{30} + 638707812574054009011004094221173653500157t^{29} + 123472087083049407568846598044906020658357t^{28} + 19470833872134829791292928502329219203643t^{27} + 2245152069304722540722914883997697781757t^{26} + 108800119222095216979702319010236054073t^{25} - 25763940511412401100752103531526700026t^{24} - 8318990844381681624266995822418980660t^{23} - 1234167153744401827973111513079677402t^{22} - 74688110626087772703941058803377987t^{21} + 12451952627585210216636014328648312t^{20} + 4500076507876740233325456382487005t^{19} + 757678051477622569721534824143004t^{18} + 86318944455063432862676447900702t^{17} + 6965510565138282576355554487781t^{16} + 377472549986962248845210360570t^{15} + 11344783475877392792988114429t^{14} + 207556616190130751783068701t^{13} + 56206248741078336826597409t^{12} + 10600130229469072277443328t^{11} + 1047299215086456638934277t^{10} + 64433952577332533214790t^{9} + 2453915515234549422836t^{8} + 43793322993049081088t^{7} - 665263031712820810t^{6} - 60614268516753710t^{5} - 1715359844472020t^{4} - 28167038537152t^{3} - 148544750236t^{2} - 252992708t + 1275392 \right)D^{4} + 2 t \left( 16947600625316939763851989893849399282761760t^{46} + 182270024255056571750512123463638696397381460t^{45} + 860266402700332678581234751048630987684923240t^{44} + 2473047960159068833530348309117788075393717526t^{43} + 4972201297892959359044675842907842767521187630t^{42} + 7549987765541618348535554653626260370716514246t^{41} + 9093213661158525995058127081735026862698727458t^{40} + 8987149686497084432582124548121447411027088857t^{39} + 7471707243091649601981839774981038003225504581t^{38} + 5323035418708032093018811760902449193649598405t^{37} + 3295175328423080095759886762348482460068236864t^{36} + 1790647389219810327374419546254782427097978797t^{35} + 860271993736578518890226444253276632725051134t^{34} + 366998251651131788001334342343162967641992656t^{33} + 139302054996162282535038585828223389180382068t^{32} + 47032969948973209646570543606693695525668840t^{31} + 14088759271848138179065446255652994786306836t^{30} + 3723932240846422114936751612318337818924491t^{29} + 860152541902187880737959900956371778971383t^{28} + 170645195860682014809555252810249453637785t^{27} + 28122594005793013251374174661781969219964t^{26} + 3561613900224640222845200700041884780344t^{25} + 260517243516453505782425517573560301417t^{24} - 16860940398224769203114758451562362521t^{23} - 9537938843876562140945438831415757896t^{22} - 1738660016665866408061784050950607374t^{21} - 173248982636067690106079353502877295t^{20} - 1467896750226502907270175112237595t^{19} + 2969499695828562834604640566913206t^{18} + 626562264847748662061640880246259t^{17} + 78057819271802571439859409854564t^{16} + 6627625160479530247726663443476t^{15} + 360606942681319574825682135326t^{14} + 6317988743374160760392892347t^{13} - 987956650753173046008020685t^{12} - 123802403108658596931696956t^{11} - 8367783675785681141217551t^{10} - 401245068166572678196698t^{9} - 14789907952634042008800t^{8} - 445008082787856880465t^{7} - 11564864064922969984t^{6} - 249090347908763178t^{5} - 3688951846612108t^{4} - 33451355074478t^{3} - 70033000980t^{2} - 78348884t - 210304 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 14876630226093411454916863252935812681149680t^{45} + 157963314934638199310479720298438556572532612t^{44} + 733211349385893873045201276619263637869405612t^{43} + 2072392340705890917928427577914713424097024030t^{42} + 4100382728122741319727558590408049542735829402t^{41} + 6135406056040413523318766485521050349199780164t^{40} + 7292924818280747717031873120736003142771952930t^{39} + 7125139130350236814506114762693765329520146898t^{38} + 5865242728136647858290058811984435600499215268t^{37} + 4143963972269436167809541274483743284265936001t^{36} + 2547949244517463365866344303229569420677847515t^{35} + 1377198027081999331890989527084618314313191324t^{34} + 658957014456796973721221029738672125498573561t^{33} + 280298463390868376504504921611926260977681320t^{32} + 106192623410659616940099100336217856075102402t^{31} + 35819239951888579292052569927345098712909613t^{30} + 10727931284531581831971686330131819451639910t^{29} + 2837032467334868508289953284123202274671080t^{28} + 655871599825790336150275947910487931466580t^{27} + 130182720884492755779853522228565272291704t^{26} + 21408843203195274479920595657780502794124t^{25} + 2674882396973774500338132337034799337069t^{24} + 177937489098849667171864479554280377995t^{23} - 20224239779567231168219463046732613782t^{22} - 9340444629612178261742579706154836511t^{21} - 1805428138819744163236719547856273991t^{20} - 226027544515776208991066743749491177t^{19} - 16746325063386998978732391747984705t^{18} + 62026434564201089575841921907665t^{17} + 218086674733818220381313427988217t^{16} + 34491960245898299393428226530619t^{15} + 3166514176329106066004047399765t^{14} + 174649693464224093768012704653t^{13} + 2486263240574775715714147734t^{12} - 571855047355134838969734594t^{11} - 68223017593840859196002581t^{10} - 4569724757380790323058092t^{9} - 218460083701435961522722t^{8} - 7932074222971581797338t^{7} - 225431959428046467866t^{6} - 5151519102483720840t^{5} - 92467421684744624t^{4} - 1190914984412156t^{3} - 11421006284940t^{2} - 29609199192t - 12753920 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 2300182642387407019848647103481254298944480t^{44} + 24183446366457005590081327360086876958195716t^{43} + 110777510783271609298657228760892507348412560t^{42} + 308871921963981227833900432621338331514363442t^{41} + 603187216491756364356519508165281484509156642t^{40} + 891648740030029717675446233056532599249618584t^{39} + 1048212615423762339836525655288782666117154624t^{38} + 1014015531206980924983599144566406199571947015t^{37} + 827475017314630159267464507763688296327030905t^{36} + 580235060785283874347022214155903883197947832t^{35} + 354460240273880125814724868493441408118920523t^{34} + 190538257765253958933004281626055402501751182t^{33} + 90742096982472632024677092781102587992485572t^{32} + 38443422727092306753229540728780964120206753t^{31} + 14512669695436911456937869302167829349304998t^{30} + 4878949701353351910868640567685613825211045t^{29} + 1456314249099741550927789645110972275579219t^{28} + 383604994191865533551730841402773317896265t^{27} + 88195316865725024046034586189115539334588t^{26} + 17344518866968113381609926245295537562094t^{25} + 2798865380035619743491468905844238252249t^{24} + 332186229164096693828251554409077449698t^{23} + 16211367719792223006440007438285084605t^{22} - 4569635753398372320675176372784047747t^{21} - 1642182365322872821243709767538789031t^{20} - 313539445562589735202323365287659997t^{19} - 41816516812718173016279824722965525t^{18} - 3874010466779787889292418185426484t^{17} - 192733695637914548507429786863914t^{16} + 7943830001132775531096830890048t^{15} + 2748070084543253426409068924493t^{14} + 294986799089110215529345665978t^{13} + 17409538207544916570885149371t^{12} + 281452034743390795925359112t^{11} - 55338346025507561218197712t^{10} - 6757965158836168547176470t^{9} - 453827572730919811090863t^{8} - 21532684660465679517553t^{7} - 763843143549317708038t^{6} - 20582545187524727425t^{5} - 423592893803518274t^{4} - 6368399856210566t^{3} - 65991874127156t^{2} - 549264424414t - 1475605608 \right)D + 288 t ^{3} \left( 70526844050424218742621680790051599179200t^{44} + 736253890146984762178868647569722266193940t^{43} + 3340142393502042341603318405970384445647000t^{42} + 9219550055382434412383302316088003207333330t^{41} + 17828888693370057882174615380657119463829642t^{40} + 26113082955978523002183736953815676439810674t^{39} + 30438147123390705138574800603146231749462512t^{38} + 29218600495385548300332920034516129688071810t^{37} + 23679146131090900699330098474565878102240450t^{36} + 16502628128665999435280902097978019848140005t^{35} + 10026988266982048666869121895957238564716673t^{34} + 5364300458196179926114326222228326153639208t^{33} + 2543821228390891004145108768464075728283031t^{32} + 1073493378124400621017177998033385345129677t^{31} + 403736582517828313865237429618095570540713t^{30} + 135214529089163586626884371690142957857802t^{29} + 40190322448991974334892523832207448881410t^{28} + 10531411155983520338733506155163342887575t^{27} + 2403521236598122196403151891050477117564t^{26} + 466972767288122209857885251593250474265t^{25} + 73547303377722263409131129864488503693t^{24} + 8158328067795811829146224783441352597t^{23} + 204720803324994582703466270492734304t^{22} - 177795115418503311908533164451931744t^{21} - 55084092328811939084409342737445001t^{20} - 10289023770218318506313724431705674t^{19} - 1397077373923309213334625770377475t^{18} - 138847692484010131522847554741187t^{17} - 9003785093165809632974686538427t^{16} - 147852628036056638473196240866t^{15} + 45329341014132312318167403516t^{14} + 6168762548730461006757419431t^{13} + 399485352079565019592622094t^{12} + 8163494943896500849605339t^{11} - 1119715886579252225501709t^{10} - 145879160561685484954739t^{9} - 9919090795220148668934t^{8} - 468083869232128037023t^{7} - 16231647176343295834t^{6} - 418495602468939996t^{5} - 8021623789268892t^{4} - 107732403638242t^{3} - 949425659024t^{2} - 5548716704t - 15065568 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ3P3

|λ| = 13.23442 λ ≈ 13.23442; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.790706 - 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.790706 + 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 5; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -4.864516 - 0.9419768i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -4.864516 + 0.9419768i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -4; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -3.680045; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 6; Jordan blocks 1, 1, 1, 1, 1, 1 λ ≈ 2.729032; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -1.418588; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.5543776; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2 2 2 2 6 2
Sector dimension
22
Spectral radius
$13.2344224$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$13.23442$11
$-2.790706 - 4.277176\mathrm{i}$11
$-2.790706 + 4.277176\mathrm{i}$11
$5$21, 1
$-4.864516 - 0.9419768\mathrm{i}$21, 1
$-4.864516 + 0.9419768\mathrm{i}$21, 1
$-4$21, 1
$-3.680045$11
$-3$61, 1, 1, 1, 1, 1
$2.729032$21, 1
$-1.418588$11
$-0.5543776$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right)^{6} \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda - 5\right)^{2} \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 34 \lambda + 37\right) \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 2 \lambda - 67\right)^{2} \left(\lambda^{3} - 9 \lambda^{2} - 54 \lambda - 27\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda - 5\right) \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 34 \lambda + 37\right) \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 2 \lambda - 67\right) \left(\lambda^{3} - 9 \lambda^{2} - 54 \lambda - 27\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 4 & 2 & 2 & 8 & 6 & 3 & 3 & 12 & 3 & 3 & 12 & 3 & 9 & 9 & 8 & 8 & 16 & 4 & 4 & 10 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 6 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 2 & 3 & 3 & 6 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 6 & 0 & 2 & 2 & 3 & 3 & 6 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 2 & 6 & 2 & 6 & 0 & 6 & 3 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 0 & 4 & 2 & 2 & 2 & 6 & 0 & 6 & 6 & 3 & 3 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 4 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -2 & 1 & -1 & -2 & -2 & -4 & -6 & -3 & -2 & -1 & -3 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & -1 & 1 & -2 & -2 & -6 & -4 & -2 & -3 & -1 & -3 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 5 & 1 & 1 & 5 & 2 & 6 & 6 & 3 & 3 & 1 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$