Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 5-214-49-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ3P3 × ℙ3P3 × Gr(2, 4)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8 (marked)node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
E^(w6 + w8) + E^(w1 + w5)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box Q_2^v(1)
ZL62 label
303031.wVw3
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(4;4;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(3;3;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 49
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 214
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -1

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 214
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 148
$\mathrm{c}_2^2$ = 102
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 24
Hodge diamond
1
00
0 5 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 5 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 1 0 x0 + 1 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 27 0 0 x1 - 8 35
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 49 0 0 0 0 49
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 44t + 124t^{2} + 44t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(340)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(422)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) \left( 5t - 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 4t^{2} - 12t + 1 \right) \left( 36t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 83t^{3} + 39t^{2} + 8t + 1 \right) \left( 9486330865468037408666419200t^{28} + 35416813127602743334565314560t^{27} + 40954136715308623537044357120t^{26} - 13135910963153238204499722240t^{25} - 91831054473296712852061593600t^{24} - 127021629090185176145188700160t^{23} - 104287073457398577217672415232t^{22} - 59807049449635513331875682304t^{21} - 25705000489529265325715781120t^{20} - 8668924971896716455500822528t^{19} - 2384440403769068159394700416t^{18} - 554406561077240033149352064t^{17} - 112377266033924848758199136t^{16} - 20292549684879658207264576t^{15} - 3301946453908396192447800t^{14} - 486054310030783722086216t^{13} - 64488466981480412665494t^{12} - 7562518456055220043612t^{11} - 749072477000442397006t^{10} - 58374284160101866156t^{9} - 3251748922792996632t^{8} - 107303298532738032t^{7} - 132951688084607t^{6} + 205574396678289t^{5} + 12009801897902t^{4} + 328469044864t^{3} + 4029837719t^{2} + 20021865t - 119840 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) \left( 489804306497599607028206102642688000t^{39} + 1234501591530540065979779504721100800t^{38} - 1295934383610132460499704390908641280t^{37} - 8180940811995226157293785598478254080t^{36} - 10916748811206596538550025477506990080t^{35} - 1105489822091119481146239343310929920t^{34} + 15933270554925810790336605020749824000t^{33} + 26956313701385732672299999831191453696t^{32} + 26086450059900205167655655489299808256t^{31} + 17911551521558528581981226953047932928t^{30} + 9424033736698222404555506398157340672t^{29} + 3961628659996913220792604176382590976t^{28} + 1369684651815517013499620517873778688t^{27} + 398851339376480151165339866568900608t^{26} + 99942666998036588278219323726872576t^{25} + 21961360265089140747151348286785536t^{24} + 4290903566424703032605655001428992t^{23} + 748953432197853887098249144156416t^{22} + 115728788047464782284503268649216t^{21} + 15350142805650848397515424190336t^{20} + 1607433137724087918865330651360t^{19} + 93123260011918955203741921728t^{18} - 9910296331231603487238354624t^{17} - 4396753645693547452001525152t^{16} - 885705518808143107856614328t^{15} - 132111854195680831424427736t^{14} - 16195088877054011145564488t^{13} - 1723309356563686570191336t^{12} - 163563107149035638208388t^{11} - 13557904774152520341363t^{10} - 911737546462347361169t^{9} - 44422808397968378255t^{8} - 1252816991064726732t^{7} + 4634942245607641t^{6} + 2399825655819018t^{5} + 121094527240309t^{4} + 2943626519260t^{3} + 32042574832t^{2} + 141591135t - 719040 \right)D^{7} + \left( 22286095945640782119783377670242304000t^{40} + 69682243550730225795453632318432870400t^{39} - 2552923046041780504222729394548899840t^{38} - 293723152178792339527940824910989885440t^{37} - 499875022393772503136926179530338467840t^{36} - 203569634097919562493959236906718330880t^{35} + 495313152245835235655737931151715860480t^{34} + 1056985743278110299687251900383894437888t^{33} + 1136846007302702740840071908147131711488t^{32} + 846374605704908439040471918474280239104t^{31} + 479548992006430652307427203361322729472t^{30} + 216942682077721889725691283152716038144t^{29} + 80898575611856199249015780393009496064t^{28} + 25503014586256518381953426785686298624t^{27} + 6948053638373137473315348322392653824t^{26} + 1668056156335335751985731378693946368t^{25} + 358691757169493093014342155540424192t^{24} + 69960527334012783229944353799759360t^{23} + 12487125490316676016092093882728960t^{22} + 2050223162514726009052438376755232t^{21} + 309667816554463966631798734572112t^{20} + 42726321269419369597288299627544t^{19} + 5319257264646310110324050282188t^{18} + 593355857538068960945723946776t^{17} + 60536937874548618245241049544t^{16} + 6076375807474486265013821856t^{15} + 659922100558986269694483460t^{14} + 77751790868219845754733920t^{13} + 8978560901721758336584980t^{12} + 919791461933090451148931t^{11} + 78051731809447027221394t^{10} + 5149511023939043735210t^{9} + 243397990203532000465t^{8} + 7015714376468329543t^{7} + 36275012023362815t^{6} - 7221863393614871t^{5} - 370685802896091t^{4} - 8506212443204t^{3} - 84317728427t^{2} - 344237665t + 1557920 \right)D^{6} + \left( 185146027856092651456661906798936064000t^{40} + 621271978572454956387629398615287398400t^{39} + 222462911228979423431344201305906216960t^{38} - 1864155399626187842408437200800018595840t^{37} - 3574315835244144222038825522851227893760t^{36} - 1949126559432768599874544490427470315520t^{35} + 2428942013139268534787665373207671603200t^{34} + 6010164542252065650656322812138771447808t^{33} + 6576530543226143229612212576146056019968t^{32} + 4868060224717672486008469485276867330048t^{31} + 2721035418248356009130986954513633837056t^{30} + 1211430196836098650140798374544818405376t^{29} + 444846600128783132710728721147805532160t^{28} + 138468778413357638715023011545484967936t^{27} + 37400223918446073061940741732169064448t^{26} + 8942564058540697134700225744731815936t^{25} + 1923361516466374656610080412949710848t^{24} + 376283454689561787111041674067906048t^{23} + 67328970583495580483205784533251712t^{22} + 11000249947470700399597418548697024t^{21} + 1622886758932376932823728779191936t^{20} + 211253488873824433284428246875392t^{19} + 23342490994176401783661269642720t^{18} + 2046665392814374026544910892376t^{17} + 119831160276820826362687620036t^{16} + 407927522487018865691186608t^{15} - 1017211074491768615207243364t^{14} - 169283089790325607428872352t^{13} - 19411801636538130928809758t^{12} - 1837103491342558340524031t^{11} - 145979172115587022748770t^{10} - 9262603154406299525568t^{9} - 431207708622049065439t^{8} - 12877813012720211189t^{7} - 142575531217148561t^{6} + 6978638063186665t^{5} + 414609660357603t^{4} + 9536904265850t^{3} + 88934385677t^{2} + 346787625t - 1438080 \right)D^{5} + \left( 916301406380384464848016566518808576000t^{40} + 3248414391708128783569397429060606361600t^{39} + 2037211633649711327762775969764726538240t^{38} - 7215217406221142000357106449837347307520t^{37} - 16140097088824125652921868329619242352640t^{36} - 11690274297536283109600986249797947883520t^{35} + 4677263681133004099758746887510525870080t^{34} + 18924371548160609340824148777677133053952t^{33} + 22008894606944294903976984448176182329344t^{32} + 16490232278290922679677435559479455088640t^{31} + 9186291748804247184908116878998009856000t^{30} + 4051541788711104855888930192879063908352t^{29} + 1471302705235945306126412741508804386816t^{28} + 453289725416443552740108757854166503424t^{27} + 121490599593182453340591835315441672192t^{26} + 28939864746671496529381463667537247744t^{25} + 6235356981246320327346860202240775936t^{24} + 1231122798481800854294053769267546880t^{23} + 224329874212499022769029943096137536t^{22} + 37671962828445651767149649053367600t^{21} + 5761057956207039710878195348557192t^{20} + 784927249342383570307909040619308t^{19} + 92650925878444468102568044450838t^{18} + 9202525906618221234536504036044t^{17} + 749504722126420366325671527046t^{16} + 49336318818323331107588225970t^{15} + 2705096276260000811698863156t^{14} + 148433641808470410420198102t^{13} + 11315825093363832930520097t^{12} + 1104973378560348743532030t^{11} + 97896650059832971905158t^{10} + 6643402428125590213599t^{9} + 319123621151717568933t^{8} + 9989785562205792357t^{7} + 162949119739004249t^{6} - 1139807366019249t^{5} - 145301273755118t^{4} - 3615632622555t^{3} - 32946411063t^{2} - 122683390t + 479360 \right)D^{4} + 2 t \left( 1373166373266020498303575808758775808000t^{39} + 5080085265718041669763655155626855628800t^{38} + 4134970511339399039849834114726882181120t^{37} - 8693054455934805809553480207529767075840t^{36} - 23051591400429241771688350282325022474240t^{35} - 20850283871081887926692074987044392140800t^{34} - 2187052390173670876840141211112450293760t^{33} + 15847868042948923684362733236054485630976t^{32} + 21388757850849022539490603365653650341888t^{31} + 16666361652893138501624189176210574868480t^{30} + 9380651514442996161027638037744451092480t^{29} + 4133619067653555604574328515796389756928t^{28} + 1493051000037800932519921124508612263936t^{27} + 457036937606217888712909965993155215360t^{26} + 121858059716196576199905437357502681088t^{25} + 28970995842424581720279977766243054592t^{24} + 6263172672803508592395185431495315968t^{23} + 1249000649863097645889380868761238400t^{22} + 231102770608283305634233212561518016t^{21} + 39434866672623884129010881495109472t^{20} + 6090830849626678243690433189274672t^{19} + 828128675691057817519656195723088t^{18} + 95987112481753925131569963207200t^{17} + 9168930609336454414931473553284t^{16} + 693996348643686172655671392626t^{15} + 39072347065129974083501703704t^{14} + 1369976466981660573688025042t^{13} - 694937585627931103750196t^{12} - 3882468438174577311912143t^{11} - 297149132846869247544606t^{10} - 13648774401075616098952t^{9} - 469156468236654370037t^{8} - 14955467346075174135t^{7} - 486537735588067637t^{6} - 13537336849734859t^{5} - 280610125481765t^{4} - 3996347821262t^{3} - 25663603335t^{2} - 11245185t - 58800 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 200894596877508527710416033571405824000t^{38} + 767875091025715917633702460763563622400t^{37} + 725317101140302012887409889708039208960t^{36} - 1054974571940114373022057022434576957440t^{35} - 3305293836084466934771341480414186045440t^{34} - 3504591492918028498979703930978952151040t^{33} - 1397585577031093630798378557597980098560t^{32} + 937279508186970249283691523234530131968t^{31} + 1900143749168718409692900102102609788928t^{30} + 1612711064489736585712703506186417127424t^{29} + 934650384464693390120101824885373657088t^{28} + 415827231572321139777183588761185214464t^{27} + 150369644017995419038635263209511235584t^{26} + 45926313039793752397562678088169568256t^{25} + 12216486854932575268588712154475988992t^{24} + 2906832094601563555801813347835136768t^{23} + 633156552837044785707561500487131520t^{22} + 128331057928076101366839960641351680t^{21} + 24301044554918505391324894043405024t^{20} + 4247534528339859350934439631067848t^{19} + 667857978014035994030118045914476t^{18} + 91441878788150275957674579079066t^{17} + 10542003356665417420182827080793t^{16} + 989076840584081735891726779220t^{15} + 72435444236783926102679705016t^{14} + 3830222193855271439635166647t^{13} + 110494229322804685987149773t^{12} - 2779575205301471799386115t^{11} - 580802096164567187635190t^{10} - 40890360743940638693937t^{9} - 1934575225995503892929t^{8} - 71204437116918514654t^{7} - 2207235421740178297t^{6} - 57586027969377472t^{5} - 1201873983511673t^{4} - 20100708845511t^{3} - 263672004171t^{2} - 1588335770t - 479360 \right)D^{2} + 96 t ^{3} \left( 46592634655584162618558105513885696000t^{37} + 182462220534249171173428218488527257600t^{36} + 188852001569358227634977218797832765440t^{35} - 210059938794413339622584494711567810560t^{34} - 762858319819066191248756268158460887040t^{33} - 901261710529394219769924772975841771520t^{32} - 515110677635030419132499630303177932800t^{31} - 16928501389968010091596053150683824128t^{30} + 238690518830588085011906146072451776512t^{29} + 241836667899130606829200913648339730432t^{28} + 148233896825994851849558692378334650368t^{27} + 67421848659313034051321049853955776512t^{26} + 24581394089127501967355709574953480192t^{25} + 7522803094931413372560937940277387264t^{24} + 2002280604461035796805599202485419008t^{23} + 478323702530082092227621067511102720t^{22} + 105457292207379985501624324322150016t^{21} + 21855597173646072681001937738419680t^{20} + 4258874525847051351215289356869808t^{19} + 764805319839307201256108074066864t^{18} + 122471246083055373213460927695232t^{17} + 16872226388207089076059292284826t^{16} + 1932956253173403096778306135097t^{15} + 178006077182567038169452231644t^{14} + 12597407406039527266980118757t^{13} + 621882646787304236674544101t^{12} + 13677731667947014753636643t^{11} - 905981807214614919711572t^{10} - 124215348374833105891223t^{9} - 8093715708491631740687t^{8} - 371005026610463129695t^{7} - 13367369105988859072t^{6} - 395040527834250519t^{5} - 9261463934909071t^{4} - 164659877712845t^{3} - 2247427056604t^{2} - 24417023935t - 127502805 \right)D + 2880 t ^{3} \left( 571438357580532874866240453083136000t^{37} + 2275974603445899791943758857214361600t^{36} + 2492165292564864766856925883442135040t^{35} - 2296025999851033439654126025006120960t^{34} - 9369548090804589399676084987941617664t^{33} - 11868208061729408773129603941780160512t^{32} - 7979606077966679691335306187588501504t^{31} - 2188223549345400838087857504227426304t^{30} + 1257060327705570687788755262163124224t^{29} + 1893090326988824462889742260181303296t^{28} + 1270710110886631526618033127260602368t^{27} + 598347456892851567348921728183304192t^{26} + 221322622909896400160096569950363648t^{25} + 68110652139317277472982691871746048t^{24} + 18183865137497286581344635452494848t^{23} + 4372736509545300173201696988266496t^{22} + 979369243143430224712437361850880t^{21} + 208339728568408813443205915472832t^{20} + 41866128291073646909756093070368t^{19} + 7721033904846381444379680848176t^{18} + 1256986737818982517286812459000t^{17} + 173999296700082313350538861448t^{16} + 19807601204202583909513299908t^{15} + 1792615923955449905735942856t^{14} + 122816479194141412873279304t^{13} + 5651525718783450155749018t^{12} + 82690041801993682845761t^{11} - 12594367920490256451812t^{10} - 1406773144798868338466t^{9} - 86233066774286807057t^{8} - 3808563702834492577t^{7} - 132691380277935169t^{6} - 3750151221846297t^{5} - 82264023945055t^{4} - 1346137563638t^{3} - 16178311741t^{2} - 139832791t - 566244 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ3P3 × ℙ3P3 × Gr(2, 4)

|λ| = 11.65685 λ ≈ 11.65685; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2 - 5.656854i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2 + 5.656854i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 5; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.209294 - 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.209294 + 4.277176i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.581412; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 0.3431458; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2 2
Sector dimension
13
Spectral radius
$11.6568542$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$11.65685$11
$-2 - 5.656854\mathrm{i}$11
$-2 + 5.656854\mathrm{i}$11
$5$11
$-2.209294 - 4.277176\mathrm{i}$11
$-2.209294 + 4.277176\mathrm{i}$11
$-4$11
$-3.581412$11
$-3$21, 1
$-2$21, 1
$0.3431458$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda - 5\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 36\right) \left(\lambda^{2} - 12 \lambda + 4\right) \left(\lambda^{3} + 8 \lambda^{2} + 39 \lambda + 83\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda - 5\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 36\right) \left(\lambda^{2} - 12 \lambda + 4\right) \left(\lambda^{3} + 8 \lambda^{2} + 39 \lambda + 83\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 & 8 & 12 & 12 & 0 & 24 & 12 & 48 & 16 & 16 & 20 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 4 & 2 & 24 & 12 & 12 & 16 \\ 1 & 2 & -1 & 2 & -4 & 0 & 0 & 4 & 2 & 0 & -6 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 4 & 2 & 12 & 6 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 1 & 4 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & -2 & -1 & -\frac{1}{2} & 4 & 4 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & \frac{3}{2} & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -\frac{1}{2} & -1 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$