Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-104-28-b

·

Blow-up of family 2-128-33-a along a del Pezzo surface of degree $4$.

  • $\pi_1\colon X\to\mathbb P^2\times\mathrm{Gr}(2,4)$ is the blow-up of a fourfold of the family 2-128-33-a along a quartic del Pezzo surface.

  • $\pi_2\colon X\to\mathbb P^1\times\mathrm{Gr}(2,4)$ is the blow-up of $\mathbb P^1\times Y$, with $Y$ a smooth complete intersection of two quadrics in $\mathbb P^5$, along a rational elliptic surface.

  • $\pi_3\colon X\to\mathbb P^1\times\mathbb P^2$ is a fibration over a surface $\mathbb F_1$ whose fibers are quartic del Pezzo surfaces, the hyperplane sections of $Y$ containing a fixed plane of $\mathbb P^5$.

  • $\pi_{12}\colon X\to\mathrm{Gr}(2,4)$ maps onto $Y$; outside four points of $Y$, over which the fiber is a surface $\mathbb F_1$, it is a conic bundle whose discriminant is a hyperplane section of $Y$, a quartic del Pezzo surface.

Varieties in this family can be blown down to

  • 2-128-33-a
  • $\mathbb P^1\times Y$, with $Y\subset\mathbb P^5$ a smooth intersection of two quadrics
Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × Gr(2, 4)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(2w5) + E^(w2 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_3(2) + O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
12031.Ang
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 28
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 104
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -14

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 104
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 116
$\mathrm{c}_2^2$ = 112
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 36
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 2 2 0
0 0 12 0 0
0 2 2 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 14 0 x0 + 14 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 8 0 0 x1 8
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 5 0 0 x1 - x2 - 27 4 28
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 23t + 56t^{2} + 23t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(657)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(664)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 5t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 6t + 1 \right) ^{4} \left( 46304t^{5} - 9008t^{4} - 336t^{3} + 456t^{2} - 42t + 1 \right) \left( 60420330430086161337115171663872t^{26} + 129906612339863455096499492941824t^{25} + 123440866073850559051952887458816t^{24} + 63143142422596946068872797180928t^{23} + 13022052840329542659652269802752t^{22} - 5846650384594881203713817913600t^{21} - 6557342310272443528794565431360t^{20} - 3258046952188220285056432980864t^{19} - 1102613249080504210019733870720t^{18} - 278292685248098500447092120000t^{17} - 53991237455369785713314856616t^{16} - 8121840379801134822702166932t^{15} - 944806083354816778960016616t^{14} - 83998991526152943659272012t^{13} - 5565287820580845061166200t^{12} - 257560473709427760651580t^{11} - 6230458092256664765117t^{10} + 173660784370521990660t^{9} + 26826391155544961358t^{8} + 1224119704074186577t^{7} + 8462894387754567t^{6} - 1598100256776646t^{5} - 64297884755516t^{4} - 916683130484t^{3} - 13067419844t^{2} - 23359688t - 93184 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 6t + 1 \right) ^{3} \left( 6043038437306972767436166762843686830080t^{34} + 15843206916448233950692221884406630973440t^{33} + 18506847718970142434661427888159428968448t^{32} + 12118469213578174773115136680322585985024t^{31} + 4131127893482518859851418385123230023680t^{30} - 182667834864638758533428301941113651200t^{29} - 1099381986666040111579617847514674642944t^{28} - 723976740931567080639068377219941507072t^{27} - 297589351642147416767511185209272619008t^{26} - 89162773103223767647263489623850682368t^{25} - 20436648489112606223485235696690168832t^{24} - 3669376125591850759565747130170676736t^{23} - 532905860294251749441918989146817280t^{22} - 67922176396079767558208614097670528t^{21} - 8853047533038762939303272774742720t^{20} - 1290723197307353084151845042430432t^{19} - 189181645361099023356879440376400t^{18} - 24161257115631182086220110152024t^{17} - 2491750918709501967153263886716t^{16} - 196266010337915895639849902724t^{15} - 10440154412993299225191804188t^{14} - 191592997986394711138058892t^{13} + 23939703973096617324270116t^{12} + 2571541568961117627926434t^{11} + 119643591415575340779608t^{10} + 2044816482182066288898t^{9} - 121089453198239963281t^{8} - 11314186765887367895t^{7} - 315774064745262298t^{6} + 6434113919445210t^{5} + 519220021451244t^{4} + 6314320040988t^{3} + 101949269112t^{2} + 154572152t + 559104 \right)D^{7} + \left( 6t + 1 \right) ^{2} \left( 1099832995589869043673382350837551003074560t^{36} + 3430145354876289346123036126306120274804736t^{35} + 4849289215681732678921662689725868601507840t^{34} + 4002287366430228061906934733590437850775552t^{33} + 1980767478505654918977265993542833837113344t^{32} + 408501354185169914774833257366204532457472t^{31} - 216906427049739499157581043167225127141376t^{30} - 259070003309747013513633519954222462861312t^{29} - 143726699591497073928551881734528074735616t^{28} - 55648561797357090420893837255930808999936t^{27} - 16438785039810029850346626287744046081024t^{26} - 3821631009388945688766495427666788243456t^{25} - 706021511892694925566520043988403988736t^{24} - 103463642084872774756366177717234573568t^{23} - 11895531048596670802693874808071214336t^{22} - 1049723986134570888108915572196709248t^{21} - 68221341271661530583564105609647168t^{20} - 2991812949875300951218436948138560t^{19} - 77122176243462554085386163656224t^{18} - 5711575815129022077638422222000t^{17} - 1899960131630747844441171988276t^{16} - 381734035918160188520290075724t^{15} - 50411698859804145962789885628t^{14} - 4691316116087646485759202152t^{13} - 312496088689081898719746010t^{12} - 14675169652316491360923704t^{11} - 435918736037517806060452t^{10} - 1206785516317108937718t^{9} + 796529655017485924525t^{8} + 46111861444566806795t^{7} + 577282763177544370t^{6} - 47578522605571918t^{5} - 1981297604310676t^{4} - 21926755128892t^{3} - 273685261512t^{2} - 390555080t - 1211392 \right)D^{6} + \left( 6t + 1 \right) \left( 54822444703248856946180904872517926922485760t^{37} + 172321068878875497602980459255892689633148928t^{36} + 247522046598154763226865750857698603413536768t^{35} + 209506820801211503930523353851133661710647296t^{34} + 107951118048506698489319635695098542973386752t^{33} + 24820552173003315698415331036370773124775936t^{32} - 10664492091751233485180621886091713448771584t^{31} - 14464213250274756083357632454763800385699840t^{30} - 8557695385189752444208547566944561687724032t^{29} - 3526697480127290230002702525255003644289024t^{28} - 1115853052532306275804361159306552501016576t^{27} - 280758732753565936130404934112608413237248t^{26} - 56930075448717278718249202147196235926016t^{25} - 9320468941434439121064328895439526104320t^{24} - 1222741791393226116837201797813487068416t^{23} - 125897042047802684923545337677010543680t^{22} - 9660809797494906921854553632909150784t^{21} - 462598995993309932574379210149806016t^{20} + 2426942310664632436922835807617280t^{19} + 3335770159756081106165938946264256t^{18} + 454486817869079421765187099666040t^{17} + 46523432629834788392152449483644t^{16} + 4315306647390251944683061676644t^{15} + 367594557555657292232931852884t^{14} + 26871592867485511494567498072t^{13} + 1542119086017390751745495120t^{12} + 62585463635039654406857596t^{11} + 1405849195141937930070694t^{10} - 13464818008243424074984t^{9} - 2674750888003567479433t^{8} - 111743259099355824611t^{7} - 1318805520753692796t^{6} + 69844708728173758t^{5} + 2629715946425916t^{4} + 25984844077068t^{3} + 289266698336t^{2} + 396664904t + 1118208 \right)D^{5} + \left( 1627922038549250779874094091908935107781591040t^{38} + 5196569233203057342372224197523522954710745088t^{37} + 7630274656021497677605352825813614654752030720t^{36} + 6655483699763829981121268339768393401656410112t^{35} + 3585853150932556847946614251574422729492070400t^{34} + 922430792547271175111824118344797096449998848t^{33} - 299790290880719655246863776228496676354146304t^{32} - 481058034156812950454966942653930551679156224t^{31} - 303897272630697239237716929298337334685446144t^{30} - 132765782305316032681231930869326390030131200t^{29} - 44670462531094556136443243445903443435996160t^{28} - 12040772099188676504754238739989507162432512t^{27} - 2644546108051968586797896694667944717368832t^{26} - 476261672144320683630702150481618558254336t^{25} - 70284164199245486351381231001963108187264t^{24} - 8437533250604925762894149824287985745216t^{23} - 810019771491210818921849666794598091456t^{22} - 59866440463635617125534587614770739712t^{21} - 3075801927047972885507842788834669376t^{20} - 67216339037641312910605973373572736t^{19} + 4665610459095995133802721247459088t^{18} + 439796977090717601764788985157840t^{17} - 12177292215016903684823424083960t^{16} - 5909822058782068177558582054576t^{15} - 695677261761392079668865632872t^{14} - 52630775568199842843291645136t^{13} - 2972538248181900552379214444t^{12} - 134786457920994293287985233t^{11} - 5054483133886960792692687t^{10} - 148095045828091436518378t^{9} - 2822763187570941120240t^{8} - 24064054089087755505t^{7} - 390611223060753183t^{6} - 38978626775563616t^{5} - 1211994379118044t^{4} - 10355665562308t^{3} - 104801269276t^{2} - 141884720t - 372736 \right)D^{4} + 2 t \left( 2439598789294574134105050266827047748050616320t^{37} + 7553524180303622353971543129958851874054471680t^{36} + 10752762683557110634146642769538743982017216512t^{35} + 9054034962682618698628810416621053743696969728t^{34} + 4628819220168180024216020262077141714138234880t^{33} + 999813479205536866191356944998722340986880000t^{32} - 556091339935805680450589885060573561429409792t^{31} - 711238512746957893338977859758468211627540480t^{30} - 426806064348909801480697702245086576959967232t^{29} - 181235307294996511616971625842581645113942016t^{28} - 59736713244460918347104565855919167719844864t^{27} - 15838616093239091769338756739130121917882368t^{26} - 3432611082878385947350595531520177977856000t^{25} - 612140366934420594164228693940171454821120t^{24} - 89898331743593867968473028556961176960512t^{23} - 10826583242698900237531310589129179944448t^{22} - 1057765660674623962641384666709477852896t^{21} - 81907320756272139812785594517033502624t^{20} - 4751663846580141881542031731047097728t^{19} - 171301273519630615656172722786508016t^{18} + 431082141491609085950904763385024t^{17} + 525509726327041711560040912032820t^{16} + 30144372766653671232465428770164t^{15} - 318344513598186708302786811564t^{14} - 180791577599572619775140563860t^{13} - 15985954967806521415510119518t^{12} - 898729447674748597135060098t^{11} - 39630263084997398638212969t^{10} - 1480123266976658830151295t^{9} - 43722122748760638544116t^{8} - 909938415422742627360t^{7} - 15274760503468245159t^{6} - 313615755026401627t^{5} - 5262602231434760t^{4} - 35000988503664t^{3} + 91737316284t^{2} + 213678348t + 184576 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 356913936184224425590314881347073831558184960t^{36} + 1077864858619388832284228029126182584237162496t^{35} + 1495351577825474684450293824080943981523894272t^{34} + 1221686564191092542064878636075791504327507968t^{33} + 595609921355592759922197181030760779201486848t^{32} + 105656611153851858370385845000675214531076096t^{31} - 91762031612090944163901594754555150999136256t^{30} - 102198753667784551017885231609785439212949504t^{29} - 58943057160916965782369800950968538073953792t^{28} - 24438759424588956343330289922013175275041792t^{27} - 7908690176998246638839833795074977462095488t^{26} - 2064494082193210994127604959071499442481280t^{25} - 441413647696932664635170015655061707201728t^{24} - 77835157049858385108666980562081367760416t^{23} - 11338754298741423147304271941962654860592t^{22} - 1361407589284128566024769383545758934344t^{21} - 133740412394414328004049831512064708680t^{20} - 10575636883821917911534111939433951960t^{19} - 647984545646347219683998285332485816t^{18} - 27608031312934061459883191875786848t^{17} - 468407434733593942086396919105152t^{16} + 33661312561287408216298507944534t^{15} + 2513357758494225008966547019742t^{14} - 43210986721818659653610692842t^{13} - 18301468886196716001158588738t^{12} - 1557858345030265411404076044t^{11} - 81891849519940150785246002t^{10} - 3209294128001645136231008t^{9} - 102114885494360563326306t^{8} - 2516797771010891763147t^{7} - 41657731985610993445t^{6} - 516316273375565426t^{5} - 9962313542198854t^{4} - 218195911443592t^{3} - 1508278922248t^{2} + 85818704t + 1863680 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 165555081028461825936681224634865644396871680t^{35} + 490316877757196804300077231281101332266614784t^{34} + 666434996213163329908564405857028467153174528t^{33} + 531233774506490788462877703078048876309184512t^{32} + 248647908135341915997132024961981656474968064t^{31} + 35608149250068691516133791243704377997582336t^{30} - 45731433008066129508615816928938743458068480t^{29} - 46559088529650198743950234366141727012769792t^{28} - 26058157548370755614625961229539877206811136t^{27} - 10598242535889060269520393160076963561217024t^{26} - 3377072875349258704310106176305395506987904t^{25} - 869596679695486708525468806026714714166144t^{24} - 183640846008572765348510053530489572865600t^{23} - 32027069272723554509057297547451436141664t^{22} - 4623597078247587264348823783196635873488t^{21} - 551838231475335772732194060975633986232t^{20} - 54151769888520701459623072279741021224t^{19} - 4311176035434775027620989558304060680t^{18} - 269669004009724355015717423385526504t^{17} - 12133001502375426515503152858980208t^{16} - 271073506010164208117062850922640t^{15} + 9026796276848680281138573410824t^{14} + 895469514150730632593618337728t^{13} - 9274598976437241905011429112t^{12} - 5900271508318719495397453024t^{11} - 496419574390354193447579255t^{10} - 24363928425135654849398525t^{9} - 837652954823406900376648t^{8} - 22022389206323746532566t^{7} - 427329473869764718535t^{6} - 4962796726690369729t^{5} - 29764404560607472t^{4} - 203349593192148t^{3} - 13179694538412t^{2} - 47711208052t + 86818992 \right)D + 576 t ^{3} \left( 5076152287337857124646380080788696937267200t^{35} + 14823222169407791368328513462327237998018560t^{34} + 19846414425465605574056101016988013941227520t^{33} + 15530058461690057061978751277859272959918080t^{32} + 7039824950626692535434241226081302754549760t^{31} + 813744265822147037628732378473573169881088t^{30} - 1463843715262907517245942417272137838811136t^{29} - 1406450982246408818364138536185678299082752t^{28} - 770425804911797892955606721661505622370816t^{27} - 308863834457793999828215081809480414276608t^{26} - 97248107544652599858344162191719307469184t^{25} - 24771071479660256127660906024104528285568t^{24} - 5178368399908692265339700460491472219072t^{23} - 894689952471908667957640087179526353888t^{22} - 128103218498506085535192602382626945424t^{21} - 15191022744985560631638880742196076824t^{20} - 1485040004162767195564093687066791000t^{19} - 118217315233603293322345083753306496t^{18} - 7429607995680047768871193474493408t^{17} - 338011876698034201497100208520912t^{16} - 7745819289435010727814749464352t^{15} + 257286279267864636116398912844t^{14} + 28734217402786851427506417916t^{13} + 286855717646831465319675530t^{12} - 112459674056923791285913310t^{11} - 10101419118086016371637139t^{10} - 467816854296877813456687t^{9} - 13689539151355205744681t^{8} - 260518914297909059753t^{7} - 2387455351507381351t^{6} + 24533462534007949t^{5} + 794800087102066t^{4} + 15761088005730t^{3} + 205838408256t^{2} + 3133489912t + 3931200 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × Gr(2, 4)

|λ| = 24.29567 λ ≈ 24.29567; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 15.29688; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6; multiplicity 4; Jordan blocks 2, 2 λ ≈ 3.670547 - 3.432263i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.670547 + 3.432263i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.933645; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 4 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$24.2956723$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$24.29567$11
$15.29688$11
$-6$42, 2
$3.670547 - 3.432263\mathrm{i}$11
$3.670547 + 3.432263\mathrm{i}$11
$-5$11
$-4.933645$11
$-2$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda + 6\right)^{4} \left(\lambda^{5} - 42 \lambda^{4} + 456 \lambda^{3} - 336 \lambda^{2} - 9008 \lambda + 46304\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda + 6\right)^{2} \left(\lambda^{5} - 42 \lambda^{4} + 456 \lambda^{3} - 336 \lambda^{2} - 9008 \lambda + 46304\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 10 & 48 & 12 & 12 & 132 & 168 & 160 & 96 & 496 & 520 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 8 & 48 & 8 & 0 & 120 & 168 & 72 & 400 \\ 1 & 1 & -1 & 4 & 0 & 0 & 40 & 28 & 0 & 0 & 108 & 16 \\ 1 & 0 & 1 & 4 & 2 & 2 & 18 & 28 & 24 & 12 & 72 & 80 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 4 & 4 & 0 & 40 & 28 & 28 & 108 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 16 & 28 & 8 & 60 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 10 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -\frac{1}{2} & 3 & 4 & \frac{7}{2} & 19 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$