Family 3-110-29-a

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-39 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 4) · 12031.qx4200 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 4)
Bundle: $E^{ω_{3} + ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{5}}$ E^(w3 + w5) + E^(w1 + w2 + w5)
Bundle: $Q_{2} ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1)$ Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1)
ZL62 label: 12031.qx4200

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;3) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	29
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	110
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-20

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	110
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	116
$\mathrm{c}_2^2$	=	124
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	28
$\mathrm{c}_4$	=	34

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		1		24		1		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 20	0	x₀ + 20	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 17	0	0	x₁ + 9	8
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 30	0	0	1	0	29
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 24t + 60t^{2} + 24t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(561)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(591)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{4} \left( 13t^{2} + 6t + 1 \right) \left( 191056t^{6} + 25216t^{5} - 4792t^{4} - 936t^{3} - 147t^{2} - 10t + 1 \right) \left( 110362650173914518932655723118592t^{28} + 461459657363550560073148349808640t^{27} + 886590155141726741623236240048128t^{26} + 1036656830789629671729290264838144t^{25} + 819224301452102524503132762783744t^{24} + 455440375153243727907934128914432t^{23} + 176120783373876340826463405725696t^{22} + 41829169655423016266036576466944t^{21} + 1315292592589612506394356174848t^{20} - 3835117221005330140198240525824t^{19} - 2000494457102576787171812587392t^{18} - 627536770574952866354072351232t^{17} - 144571741941548252773463637184t^{16} - 25962123183241708034325592192t^{15} - 3714400643845875841182433976t^{14} - 423812836317302373910953864t^{13} - 37783853325068632250221346t^{12} - 2483834692396254137414470t^{11} - 100666294667946986855286t^{10} - 53366041407104914603t^{9} + 334745329992715894996t^{8} + 27290821800208532602t^{7} + 1286214996436028006t^{6} + 40636867443156570t^{5} + 841858528215726t^{4} + 9707582330376t^{3} + 34215819060t^{2} - 75172515t - 36300 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) ^{3} \left( 59207933748489773820386500915897162530816t^{38} + 319361823868750823478084732512574384373760t^{37} + 807881353847020839928359284801000926347264t^{36} + 1273002731649281468068377274622415755804672t^{35} + 1396873317739808926506176327981898659790848t^{34} + 1127254239459190977158526530505699747954688t^{33} + 685379180684213436095761331960559847866368t^{32} + 313126959067252139540171900354627568467968t^{31} + 102274805238093983281480081060749144260608t^{30} + 18865655103454745525608743530882854797312t^{29} - 2092431149233715994709155744273599389696t^{28} - 3295497860713597075007400548053739237376t^{27} - 1517527246992582018192690052070436849664t^{26} - 471380380650084334590120321108395115520t^{25} - 110919943454195072444203303991366160896t^{24} - 20321508205389821808659517875881113856t^{23} - 2853055209207203538637408143525551744t^{22} - 280499069289887758612933750267488256t^{21} - 11281353202072661322887606618463808t^{20} + 2241817061939848815712442183315568t^{19} + 627057105255058307871505045399816t^{18} + 92953273403651689390474742930672t^{17} + 10190498638246263277597931853722t^{16} + 917878706451137886745973220152t^{15} + 74005308444945196389618842521t^{14} + 5700691262497065622002788197t^{13} + 406858743794000846273416746t^{12} + 22810615980246573783474804t^{11} + 627584491579006249021135t^{10} - 35293522189334077925965t^{9} - 5574547969847214794082t^{8} - 363863564315838981448t^{7} - 15150169264222467801t^{6} - 432936143009509413t^{5} - 8184095073655098t^{4} - 86326006760004t^{3} - 275859075015t^{2} + 525118605t + 217800 \right)D^{7} + \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 2693960985556284708827585791673320895152128t^{39} + 14940556137692184598141892104951749251432448t^{38} + 38951078492853277639308775481133005967196160t^{37} + 63426864202281441082236944836393122209464320t^{36} + 72163428545506525792490538553424377696223232t^{35} + 60642912419361841000090493431633118022598656t^{34} + 38635239860104740638204458082024499762429952t^{33} + 18687551040650474149028983177059568994746368t^{32} + 6608565306321426068875707863999608491835392t^{31} + 1441467038333859629878172711033190662307840t^{30} - 28410102167506590416385168490149501018112t^{29} - 193469140739831457029492393280031336734720t^{28} - 103781615307658391904920506694821198149632t^{27} - 36355030873566607708149307239266451904512t^{26} - 9754007882989360546789274748280291386880t^{25} - 2107000591590726319028780162841250124288t^{24} - 373371581382451345349664109249855442176t^{23} - 54426270329669571283158795659239397824t^{22} - 6451817200536322673315425261916665600t^{21} - 602842706746114480507518263551636096t^{20} - 41549764409038497472563867631871344t^{19} - 1876542646007082933699334171702308t^{18} - 77135083720648847399031552467650t^{17} - 17288584423215445695751146922494t^{16} - 4106650853107583973231873951389t^{15} - 619395419705134922892777830206t^{14} - 65968536184857531643149970337t^{13} - 5210400307866586068960971932t^{12} - 301383742929511214476898401t^{11} - 11393503207425757828811516t^{10} - 124596291821972593168261t^{9} + 16603747754592565584806t^{8} + 1326029125968889854153t^{7} + 54902365720446504770t^{6} + 1483266292964575845t^{5} + 26029215120410544t^{4} + 253216895536869t^{3} + 716402404860t^{2} - 1265815485t - 471900 \right)D^{6} + \left( 3t + 1 \right) \left( 67141796870787403512318292038627382309945344t^{40} + 384540188259677277594273019717696509469261824t^{39} + 1037557446553218981117625509677000812300075008t^{38} + 1752876796229769243688282682128979230796546048t^{37} + 2075151375911121720152077653433806226549899264t^{36} + 1821287034777003802524680991958188686100660224t^{35} + 1218128183201481796674561210345110161504600064t^{34} + 623714003494400873044864170985789606774571008t^{33} + 237526402637969422747129403904804591777185792t^{32} + 59173363273731219212759293789294628044668928t^{31} + 2673486424067164941263931827010258163228672t^{30} - 6209507977788042489934023566191992079122432t^{29} - 3899470884789466989307233413740129744132096t^{28} - 1510041581912729022946862767261269758988288t^{27} - 444668640220944287407340135625968352303616t^{26} - 105911849475170465298883976577447500758528t^{25} - 20933777619922265145337638343569587200640t^{24} - 3470073873067186572928244608356859374976t^{23} - 482796106378124499193346238173763896864t^{22} - 55863460302203513924143975143467147824t^{21} - 5243373804515188412576151902851015768t^{20} - 374834443601880488471480846222983680t^{19} - 16226728934518176406928982287510066t^{18} + 347480392862295647299423001667356t^{17} + 161065164810354984526132623705005t^{16} + 20901297989239870717656372338999t^{15} + 2013884769080685300996116490229t^{14} + 162932515476723263401086652009t^{13} + 11076066851493712085996129841t^{12} + 595805803346035042554446487t^{11} + 22194741990062443102777633t^{10} + 323768153366396630403965t^{9} - 21395091600329555734857t^{8} - 1824965959562783512483t^{7} - 73456978297134677049t^{6} - 1896475811446572405t^{5} - 31604487485990829t^{4} - 290940857690763t^{3} - 737714842155t^{2} + 1256979075t + 435600 \right)D^{5} + 2 \left( 498434589269942599685196209647865775620358144t^{41} + 2958074168290858892655473499952870346720280576t^{40} + 8287720129230018612134507171411217153545207808t^{39} + 14572522065852827617752582481073307860670873600t^{38} + 18004430905595036952833478836955427280977002496t^{37} + 16548480865013215183961892309313497687300046848t^{36} + 11647146431061392216065401275428253807047802880t^{35} + 6324394898690250107849867509405878636160548864t^{34} + 2594262980829967043627629987484537211251425280t^{33} + 730617274171301068124412700485673024045424640t^{32} + 75892924327910910244336102258710982206627840t^{31} - 55709104513592005982703315752286751898806272t^{30} - 43023263436866572394875070980915800511993856t^{29} - 18474553855323200536609295159904224367508992t^{28} - 5928804192865002411264122795307445651974400t^{27} - 1534414015935754796834131934271277639726080t^{26} - 330322449494057804419283027624183540876192t^{25} - 59991180294199667702231172800772702467440t^{24} - 9236386669909388128423653342444591334760t^{23} - 1202524134402663154225065617003753303588t^{22} - 130988103102446208546159906398144531138t^{21} - 11669594011889080330616072276428344275t^{20} - 811573954034036561017957305048272798t^{19} - 39239811557154055841628145156723923t^{18} - 759642185635086438935706637210109t^{17} + 59841618516914904232199925568887t^{16} + 5335781768874732895861467185318t^{15} - 30894241746628261206685842701t^{14} - 41207124795605963844222804649t^{13} - 4460081714376450428623838033t^{12} - 287636334368516714387839580t^{11} - 12190199494344264082583461t^{10} - 289419216299738100122597t^{9} + 1132908235051417203301t^{8} + 395382330418157598018t^{7} + 16880525167334635141t^{6} + 417407987753217567t^{5} + 6548857966925088t^{4} + 57380053643850t^{3} + 131434638420t^{2} - 220634370t - 72600 \right)D^{4} + 2 t \left( 1493904980375019728149081997859459256396283904t^{40} + 8712733417268990184308104614601188687577350144t^{39} + 23959814441650259459700897560991177260493963264t^{38} + 41296437125952181596555417252483798186494263296t^{37} + 49930813508130803204143171465707649007922184192t^{36} + 44806064194457103856473886187110524720937304064t^{35} + 30672183400687321270648260865697478607627091968t^{34} + 16085795989397017705203297586538370421340078080t^{33} + 6271035520069707836262016574368192788660322304t^{32} + 1587959459604926332775271834457558559168880640t^{31} + 56071560364146362032708870079213186855788544t^{30} - 191501233397959307457740246169092175373735936t^{29} - 122635875963866311212198500865149930493487104t^{28} - 49310140744565449549650846427259996676059648t^{27} - 15195571883724685120183562694595331880658944t^{26} - 3812777811509692160733689400545484980408192t^{25} - 799532579989197992802169266336548450352128t^{24} - 141804880742135589415395907025029328248768t^{23} - 21346010681782684735419158069478111050864t^{22} - 2716750110785745345296997481613891458000t^{21} - 288671776512301163227312907388856813880t^{20} - 24919625684630443098535155764191613840t^{19} - 1642448218937422624098664113421347672t^{18} - 67620194180182879948456201672659880t^{17} + 506914883098579283764815034261084t^{16} + 378537106251244040050282006264285t^{15} + 38437409771865695116050102736762t^{14} + 2514294640841595451006155492524t^{13} + 121528458211826145275680202516t^{12} + 4501992560825938004470042995t^{11} + 131651144550624792099382464t^{10} + 3418880324572345355417534t^{9} + 101791577532275699009374t^{8} + 3471647310787982358411t^{7} + 97879507777723177366t^{6} + 1829620474184731248t^{5} + 19632002716295532t^{4} + 89729939539941t^{3} - 207079327464t^{2} + 191314350t + 43230 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 655676059322494316508687659455259665011572736t^{39} + 3770580119166427440201405886587834343961395200t^{38} + 10212724426656855216408884960943496225148633088t^{37} + 17315920605357264879602703625541600735964954624t^{36} + 20564078447835903139692536921105759427277881344t^{35} + 18085428761354648294464361101476519313242324992t^{34} + 12090140602960330667477887160545854498326151168t^{33} + 6149796625756116600023546849997677524945190912t^{32} + 2287234839351763525412434666627035087085084672t^{31} + 517575060532824685937830971243706872549511168t^{30} - 23045834225303276193237932660417633113020416t^{29} - 89006141174054746262144712522273562831191040t^{28} - 50928278446074093865829068127449519886760448t^{27} - 19509764695017384603655004981910228913892608t^{26} - 5820019388007142075243397365059959355076992t^{25} - 1422539045788195393021124259775906943528640t^{24} - 291430240288121594024601946929142860581760t^{23} - 50555493780462726184257755067008674660384t^{22} - 7441898281554976938509763908276701060848t^{21} - 924574920881479212959744206640505108960t^{20} - 95498827216413506371042633304889419390t^{19} - 7938270121083623237608275931355432759t^{18} - 490813723911754730712684214530209244t^{17} - 16638839709074124768654132704577484t^{16} + 636844001534198451150677616609421t^{15} + 155979388099179836552737126987649t^{14} + 14437937117742853270706917021740t^{13} + 921897981437101422215155943938t^{12} + 44926940696889798597656160565t^{11} + 1727495789727407946286691910t^{10} + 53496084623793150397216125t^{9} + 1390750484490268935408895t^{8} + 33031642554032935131047t^{7} + 761579687343154601338t^{6} + 15785752607263977528t^{5} + 252274026209255811t^{4} + 2755187260358697t^{3} + 16462736237550t^{2} - 11854210665t + 1016400 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 202757569121703230447913572386489833086779392t^{38} + 1153357138248788564105128316223207369024208896t^{37} + 3087086938289850539342393876253392808855994368t^{36} + 5167062640778111152066544545197986983973486592t^{35} + 6049430102943979390857161339838811946726195200t^{34} + 5234793786850930528462827065458937417057173504t^{33} + 3432280246755606513067134767544684203995627520t^{32} + 1701748634654075346603693989367072615999471616t^{31} + 607235101187523260189035037550793839130361856t^{30} + 122650224729246607229508061598152627742048256t^{29} - 16442385439254550673722016475498579635425280t^{28} - 28135573680990184522061674624295910622998528t^{27} - 14965762281305465023256191525583485173513216t^{26} - 5532198510789862751745715726907945305068544t^{25} - 1608968112782965135605299001446536775781632t^{24} - 384990715391637234636619845562478642975232t^{23} - 77347687029860494937876278928166968742720t^{22} - 13163778293927628214205405370373826738784t^{21} - 1899521467885736320982958721619329750336t^{20} - 230800364191720593331840778652871754648t^{19} - 23200103608133487774878856956936503032t^{18} - 1856496372579463162740419117168300244t^{17} - 107067048567184628073315804656513432t^{16} - 2754126080379320891798790099389878t^{15} + 254045864849979631180736948448070t^{14} + 43627778533458560978691134989705t^{13} + 3750448668184109801282602587522t^{12} + 230921014324168738454454039810t^{11} + 11010021402831534113949601868t^{10} + 417821503193657974957922021t^{9} + 12802620970088639808989870t^{8} + 322447727960828155752052t^{7} + 6841732996376825908506t^{6} + 122919440666061500717t^{5} + 1781082810960736630t^{4} + 19542947174176488t^{3} + 169627358451156t^{2} + 1068050228745t - 816134550 \right)D + 576 t ^{3} \left( 3108416521795713125570291298084601032867840t^{38} + 17543941658098420395868983333746725245419520t^{37} + 46557020520854607129877846342845382129090560t^{36} + 77194385784536465193085692896431070926602240t^{35} + 89432192532174596500423204179556220734406656t^{34} + 76460692232413078049605990733784004786388992t^{33} + 49403179051148136380985746397707796410105856t^{32} + 24014136527378644252049725195586441821683712t^{31} + 8286769199719660364589976032266281589841920t^{30} + 1506819581737304798374740501075389660594176t^{29} - 340430817556689678314273420797695627843584t^{28} - 434297860185966416621293562460530054506496t^{27} - 220290831170154704989182182003038512417280t^{26} - 79399205659055636765500107173119320420864t^{25} - 22663232368224728257222769351740478614400t^{24} - 5335888365515613839217739247088364367872t^{23} - 1055880433632426991267334985921779393440t^{22} - 176988888401826606862577148083072497200t^{21} - 25128266885465277727799799691619328464t^{20} - 2996895385710119205949363840189524924t^{19} - 294266288837688057257796137925948356t^{18} - 22752949681058779227098675916757350t^{17} - 1225331140068710593796540717375932t^{16} - 21118723861734916857742292544210t^{15} + 4260957947853362477552181588522t^{14} + 610617355415211103194391162905t^{13} + 49741650174997747591844323582t^{12} + 2969127952666351655454633550t^{11} + 138406417567095040702489572t^{10} + 5156384687575248286184816t^{9} + 155235249587869006205756t^{8} + 3812211242758675660460t^{7} + 76620079436237296638t^{6} + 1222831024464118767t^{5} + 14009475953673438t^{4} + 98938676025132t^{3} + 417648636240t^{2} + 1627847430t - 980100 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 4)

Show multiplicities

Sector dimension: 14
Spectral radius: $20.0436309$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$20.04363$	1	1
$-1.490442 - 7.286374\mathrm{i}$	1	1
$-1.490442 + 7.286374\mathrm{i}$	1	1
$-5.952433 - 0.3978067\mathrm{i}$	1	1
$-5.952433 + 0.3978067\mathrm{i}$	1	1
$4.842118$	1	1
$-3 - 2\mathrm{i}$	1	1
$-3 + 2\mathrm{i}$	1	1
$-3$	4	1, 1, 2
$-2$	2	1, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{4} \left(\lambda^{2} + 6 \lambda + 13\right) \left(\lambda^{6} - 10 \lambda^{5} - 147 \lambda^{4} - 936 \lambda^{3} - 4792 \lambda^{2} + 25216 \lambda + 191056\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 6 \lambda + 13\right) \left(\lambda^{6} - 10 \lambda^{5} - 147 \lambda^{4} - 936 \lambda^{3} - 4792 \lambda^{2} + 25216 \lambda + 191056\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 8 & 16 & 24 & 36 & 84 & 42 & 54 & 54 & 256 & 104 & 204 & 480 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & 8 & 12 & 12 & 8 & 8 & 8 & 72 & 30 & 45 & 128 \\ 1 & 1 & -1 & 4 & 2 & 8 & 8 & -2 & 6 & 6 & 12 & 0 & 18 & 48 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 & 4 & 16 & 10 & 10 & 10 & 48 & 24 & 42 & 104 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 4 & 2 & -1 & 1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 16 & 8 & 8 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 2 & 2 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 2 & 2 & 8 & 4 & 6 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & -2 & 0 & 2 & 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2 & 2 & 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & -1 & -1 & \frac{7}{2} & -\frac{3}{2} & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta