Family 3-134-34-a

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case C-13 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 6) · 152.5x351h (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 6)
Bundle: $E^{ω_{6}} \oplus E^{ω_{2} + 2 ω_{3}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{3}}$ E^(w6) + E^(w2 + 2w3) + E^(w1 + w3)
Bundle: $⋀^{3} Q_{2, 1}^{\lor} \otimes U_{2, 2}^{\lor} \otimes U_{2, 3}^{\lor} \oplus O_{2} (1, 2) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (0, 1)$ wedge^3 Q_2,1^v ot U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(1,2) + O_1(1) box O_2(0,1)
ZL62 label: 152.5x351h

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	34
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	134
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-25

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	134
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	128
$\mathrm{c}_2^2$	=	120
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	20
$\mathrm{c}_4$	=	38

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		1		28		1		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₂ + 25	0	x₀ + 25	x₂
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 21	0	0	x₁	21
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x₁ - x₂ + 33	0	0	x₁ - x₂ - 1	0	34
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 29t + 74t^{2} + 29t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(518)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(561)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( t + 1 \right) ^{3} \left( 2643867t^{8} + 3225554t^{7} + 1215737t^{6} + 109154t^{5} - 17865t^{4} - 4043t^{3} - 181t^{2} + 11t + 1 \right) \left( 1712685038252509379758490863020t^{27} - 11344084334957902233315186775080t^{26} - 62360170320379190114060728881040t^{25} - 126457660903263733614648942442950t^{24} - 151279605097647638207710133999100t^{23} - 124765579428495773167968387949016t^{22} - 76810881747207140728112423450204t^{21} - 36946780681201064000638847128227t^{20} - 14160151969552887782006594285266t^{19} - 4308669997482265457858800063964t^{18} - 1020612202938936475940612533502t^{17} - 183304184594693504600029371138t^{16} - 24593201124130773978962208450t^{15} - 2634463748489420932494082556t^{14} - 300595219912309615099388088t^{13} - 44861964593632021937972325t^{12} - 6532173647368058175302348t^{11} - 750063667045609589431980t^{10} - 65309417632586692805976t^{9} - 4111895306884879245434t^{8} - 168544392874088737388t^{7} - 4595186007534332424t^{6} - 119714838820058246t^{5} - 3824641103916526t^{4} - 90762479628088t^{3} - 1212319490432t^{2} - 5986882532t + 8781824 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) ^{2} \left( 326024024690127399576043821302887080480t^{37} - 1561941006919839185716640920063268277360t^{36} - 16582148416736636432195163210897262055580t^{35} - 54935394473346718916217674629357509858740t^{34} - 105755352157686378502621761271686854716910t^{33} - 139590070604364568940707559643395902467444t^{32} - 136931207662418666434273499201327941493966t^{31} - 104789341845590247954089499408370809554118t^{30} - 64578563654715642148386483581030972299427t^{29} - 32704462577119894386190901575943108139800t^{28} - 13753654367306118184902642740870590717655t^{27} - 4811017180745214926795746703616506351020t^{26} - 1391906453002607910226096299189948447151t^{25} - 329609338562123265097410555222320089269t^{24} - 63189883379755663684047755409159779395t^{23} - 9796216125450940245504184523867613807t^{22} - 1273568262745523399408281115101308742t^{21} - 156197979884028063661058092525377770t^{20} - 20787962659389032793852707244059033t^{19} - 2840615758455719860892877195177576t^{18} - 327372960106129487489318502999345t^{17} - 26750178424724358783826986738649t^{16} - 1024327914037653459558514285405t^{15} + 101259795218502654153309640143t^{14} + 26434460791554587098946423321t^{13} + 3331572617826435306993316752t^{12} + 308551916281816553801273894t^{11} + 23648255362263057417345950t^{10} + 1536434435489998116650222t^{9} + 77679534234430858886392t^{8} + 2727985878787872436120t^{7} + 67604335598573353896t^{6} + 1586156052776549584t^{5} + 42111712134163056t^{4} + 843072816236140t^{3} + 9721824931700t^{2} + 41987214140t - 52690944 \right)D^{7} + \left( t + 1 \right) \left( 4944697707800265560236664623093787387280t^{38} - 22457280621536356936959102101863733815320t^{37} - 272807622170447231882957981422804372020780t^{36} - 986970771279055289412231302407141088121760t^{35} - 2063289899883449337069886671354072496702550t^{34} - 2951746777431510856977079693897512487323214t^{33} - 3135595269671078321159184233008481320338502t^{32} - 2598145293030777801519476889253347624172092t^{31} - 1734969521217563764641668016669664426774571t^{30} - 954159600800617130827858026227910232557589t^{29} - 437662969462217991509087505332386645550129t^{28} - 168193962007180619799693874940427759712841t^{27} - 54031510443607128553061892166915404444165t^{26} - 14411282991861320648872546776337933710472t^{25} - 3166864741882397430700781959421184213392t^{24} - 572391633092719039261679062301361111830t^{23} - 86844610929470964629019225168361087343t^{22} - 11881511520733151514708554064983371220t^{21} - 1656354201433498514991473363333029165t^{20} - 247722658836346032041672462382496351t^{19} - 36112096567132681047096902508770723t^{18} - 4581530594033654504452184690204714t^{17} - 477390132009755540787935658968950t^{16} - 39619387399886662541900797009610t^{15} - 2578837241648806524957523351400t^{14} - 144347224006769295514387899585t^{13} - 9949111557128163261116414830t^{12} - 931126934349335843099663708t^{11} - 80712667482559556769262636t^{10} - 5467560303630367831703098t^{9} - 272984145275006359658664t^{8} - 9078208339770801894836t^{7} - 200997070931182880524t^{6} - 4215080745851897560t^{5} - 113299630344373816t^{4} - 2267211148953424t^{3} - 25220939408768t^{2} - 102059680292t + 114163712 \right)D^{6} + \left( 41079027110956052346581521484163772140480t^{39} - 171347119349696935827396235275249348786720t^{38} - 2445966186358392759246179371246391132841300t^{37} - 9737466922216319527196268139716312095507420t^{36} - 22235631305081588585363809727340077951105070t^{35} - 34647068835028759296300423502380371748718584t^{34} - 40010931617543166068384621794126100142128620t^{33} - 35987782410333497157320145111558219826863346t^{32} - 26063230508889486424911411739050758455278907t^{31} - 15548177889604882393703878165053796827006114t^{30} - 7751038490589952826432699731651722351087314t^{29} - 3251185173857656794125874143881019814059278t^{28} - 1147670391419026120057117425045971794119302t^{27} - 339342104976866405817877368144830104927029t^{26} - 83463826211827783440937950584089917258614t^{25} - 17000541047546656340065831068018530877602t^{24} - 2890340607782543167508983699380982760189t^{23} - 427113359275568029705539644428245342949t^{22} - 60184447369011355157673433887306265051t^{21} - 8891040833168949174174584734107564990t^{20} - 1348846054517876188128735598789588658t^{19} - 188725220188788738337926136500217693t^{18} - 22480532436647648345736636192601938t^{17} - 2196753233742524912969202332356800t^{16} - 171475168415006769619220836102094t^{15} - 10270558844885427163646365704149t^{14} - 434134187181437100937434005381t^{13} - 8443146446651310468727450980t^{12} + 644761431664305548279439776t^{11} + 101290721290698046155439762t^{10} + 8261262464943482320972478t^{9} + 452439969866967086955444t^{8} + 15430853585785067468288t^{7} + 330400317494473120832t^{6} + 6021963886894080788t^{5} + 140224718232097420t^{4} + 2590078622797240t^{3} + 27057817032780t^{2} + 101621723684t - 105381888 \right)D^{5} + \left( 203303148063018610918961326234125335269320t^{39} - 954004470192136584699621724794807317590020t^{38} - 12022361445042135461489165857127108029033080t^{37} - 45129741056618772986283539264451346985012680t^{36} - 97990926139269294689101399810758510395769780t^{35} - 145781787623216387066236115844644429356665966t^{34} - 161274120161731541266463394043182484772806052t^{33} - 139399844960699373472756583884491612698198464t^{32} - 97302194477274421948835540497305934095657374t^{31} - 56072734476346252686830408752475986740163947t^{30} - 27032785866824716380696752740843336840428906t^{29} - 10960619232901265054951364578928777175386250t^{28} - 3732819741126442389489484947623987784631622t^{27} - 1061991606450863808208367022688162495026196t^{26} - 250867531475456704001989081016925177341409t^{25} - 49194602000803387859335588177546830636922t^{24} - 8166313321379551627139110408001184746878t^{23} - 1221967924283919565438091532780678356521t^{22} - 183313456036862477152433004548907729885t^{21} - 29154690157430785168642640526798399125t^{20} - 4583129799123230147626144924886626224t^{19} - 643553589222020943314826256135139932t^{18} - 76317746160021467331739079573127903t^{17} - 7448185711403613710768623115878962t^{16} - 585459630557117499009845657463178t^{15} - 36384790409404865915647071209492t^{14} - 1817614878969612797286128594059t^{13} - 80981415283350449027203943589t^{12} - 3684462432593037605180434050t^{11} - 169569402080011450395769160t^{10} - 7307317218550979761199728t^{9} - 282917083581970866515546t^{8} - 7995217658941798285578t^{7} - 149938093596296009990t^{6} - 2468034003401577698t^{5} - 56664702414710546t^{4} - 1016813108701740t^{3} - 10241956458748t^{2} - 35702359896t + 35127296 \right)D^{4} + 2 t \left( 304669451072924054903812951007547976708560t^{38} - 1559052552567107898247856566729091878279800t^{37} - 17862836267391185114066334620446578456400440t^{36} - 63841164719587554952505214695386505040444820t^{35} - 132836565618835644561458565987746983318354440t^{34} - 190012349138485618650797138459729550380030658t^{33} - 202676167708566552694286666308516979002679528t^{32} - 169357605913815607090095279010086911089282868t^{31} - 114549211546147144144605566390689306468789568t^{30} - 64072453995847279588956499825293419252680629t^{29} - 29996359923733719707049843162551593113674266t^{28} - 11799160406720016018089029155556373211137000t^{27} - 3890006076532323670381648248086082297463774t^{26} - 1068682090077236085368145898589502723257298t^{25} - 243530404369814111155432185164844765277867t^{24} - 46273108739339181287041289385430128592546t^{23} - 7573582247452895338398435692459437517578t^{22} - 1157975949921539006481598635368197670879t^{21} - 182867765797217888857969269246360253421t^{20} - 30079219715756394182336692934986381779t^{19} - 4689730043631141481283095980865436290t^{18} - 636193347982542915652288350954815396t^{17} - 72095215032450106602322638250220943t^{16} - 6679002288295245319084379927027994t^{15} - 494455817738717753044202724739642t^{14} - 28649188462402290683253578067634t^{13} - 1312383614233150822329086034409t^{12} - 51536700417417126227735556507t^{11} - 1941304051500960216673230596t^{10} - 70156356158490398121768790t^{9} - 2152684760149147271794082t^{8} - 51237402815629620064722t^{7} - 873467441329971516668t^{6} - 10245728171836936352t^{5} - 122017289128322060t^{4} - 1589162858742100t^{3} - 10798876608292t^{2} + 1098587412t - 4653056 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 44573219782982186281852546698590548026180t^{37} - 243136698750000357251089562474198393567490t^{36} - 2590717617131159373674771168685272262977700t^{35} - 8895866403899479310994242550332842586172990t^{34} - 17870493544411290478031622216185802698453460t^{33} - 24743726451427802837079347837481056943958494t^{32} - 25604713551580854047303430275593591549533986t^{31} - 20800515336069896360683971203800508736788954t^{30} - 13702811865077472527815025387393786617050678t^{29} - 7473683114319957572254950854649624222284965t^{28} - 3411820716594657185466167372362411396236934t^{27} - 1307005069758504122587994590611195643298329t^{26} - 418733498192861083615561819846142824978224t^{25} - 111548978230196346788370073788547785568602t^{24} - 24645960046838429304017538057588094315439t^{23} - 4568210258584970700967838351555351915377t^{22} - 743500290814189191675327373121215841615t^{21} - 116655160928371058877587269702716532388t^{20} - 19158586299326025428171741864263894295t^{19} - 3193579000946992251002292013579088373t^{18} - 488900868689929178209926342729517874t^{17} - 64119304384363709187524538081347209t^{16} - 6985719929630700250246090422064438t^{15} - 619547493371452005421789945828742t^{14} - 43641362652918838213520733667529t^{13} - 2393549540231844426102516607529t^{12} - 104471844488792342558170567772t^{11} - 4053221270810512552042397799t^{10} - 160249219587543167063691033t^{9} - 6237076112561739836171362t^{8} - 202675194841760367868486t^{7} - 4911726927327529791898t^{6} - 84529760299939823253t^{5} - 1013625260159303073t^{4} - 10093084364181872t^{3} - 93147192034704t^{2} - 601367452352t - 70254592 \right)D^{2} + 288 t ^{3} \left( 3445892816516485431630129833493014836740t^{36} - 19685920802455056858120775905283187944110t^{35} - 198742451456724586190366675170627606726800t^{34} - 661375130880558967393226747020107073907660t^{33} - 1292076286144061586364878649958659981558460t^{32} - 1743135105020275097920417657196826647217072t^{31} - 1760445827038165458397772977145547995615260t^{30} - 1397991200296214485317246287040687270442993t^{29} - 901467242696143786248619532113367274273736t^{28} - 481607492810425568370163497155375484243512t^{27} - 215295655678919266679687062922294695740880t^{26} - 80652975622327296054316496901158745281360t^{25} - 25216188115608094849440748787404073010051t^{24} - 6543777729277970123674065637447413820548t^{23} - 1409091401563090915254933410362452295260t^{22} - 256305029017003501601994205801259825737t^{21} - 41709260783941220176456256541326817745t^{20} - 6705996995690818777499620146111748675t^{19} - 1130444490311475356388964789837032306t^{18} - 188524612929833045438592376297172892t^{17} - 28229407432597918968761985576840687t^{16} - 3585966131383884088520686043629024t^{15} - 376883757311402511180245589341368t^{14} - 32096129528330817529045590652092t^{13} - 2156139939595289334016533606857t^{12} - 112195122953483182922308525763t^{11} - 4696259873640443529188017808t^{10} - 183397973008088436173846536t^{9} - 7733029000489112734553252t^{8} - 318641453175688033785496t^{7} - 10595817080756510851290t^{6} - 252100863883292735166t^{5} - 4184314857246078924t^{4} - 49051978396409960t^{3} - 427139481516440t^{2} - 2652738399752t - 14125384344 \right)D + 3456 t ^{3} \left( 105655933927356101714458645792602294600t^{36} - 623001228714849703517809640354309957400t^{35} - 6057137240828287154862958385965959334500t^{34} - 19702688406281579336825592767359572295650t^{33} - 37707865633467836774372049328959618082640t^{32} - 49895931796941983072546573773108873081680t^{31} - 49479046240906383237511858628982005025910t^{30} - 38621624427575553895647278968050924245935t^{29} - 24500989756656752386555739567972142658470t^{28} - 12882178584054371223117547134334057202980t^{27} - 5664877444808804129062321769196110152370t^{26} - 2084762714261796025269379395140217133992t^{25} - 639143891288897039680486191313028985143t^{24} - 162400649826187524021080676606287966207t^{23} - 34265082117569463435865483877317732772t^{22} - 6147616080858337638121007497289852371t^{21} - 1003093575350057486198482070528041305t^{20} - 164582338569936002594926846976996267t^{19} - 28194674602957087448214625263959535t^{18} - 4677563182132024588872021890674448t^{17} - 685928345070712674965414853996637t^{16} - 84782119209573349185288836094192t^{15} - 8641328034226200918151222516095t^{14} - 710302652007913426343258821315t^{13} - 45738001709042488265664234401t^{12} - 2271068597613709074483277627t^{11} - 91988404772371736030481646t^{10} - 3662374573499504102012657t^{9} - 163945187319331570231353t^{8} - 6978354778724582436514t^{7} - 232379297844728495098t^{6} - 5394007592361266838t^{5} - 86148970587007277t^{4} - 987311310737417t^{3} - 8067751788512t^{2} - 36167624384t - 129669120 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 6)

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $16.4031342$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$16.40313$	1	1
$-8.092954 - 5.438971\mathrm{i}$	1	1
$-8.092954 + 5.438971\mathrm{i}$	1	1
$-7.221511 - 3.193715\mathrm{i}$	1	1
$-7.221511 + 3.193715\mathrm{i}$	1	1
$7.119461$	1	1
$-2$	1	1
$-1.946832 - 0.1697778\mathrm{i}$	1	1
$-1.946832 + 0.1697778\mathrm{i}$	1	1
$-1$	3	1, 2

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{3} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{8} + 11 \lambda^{7} - 181 \lambda^{6} - 4043 \lambda^{5} - 17865 \lambda^{4} + 109154 \lambda^{3} + 1215737 \lambda^{2} + 3225554 \lambda + 2643867\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{8} + 11 \lambda^{7} - 181 \lambda^{6} - 4043 \lambda^{5} - 17865 \lambda^{4} + 109154 \lambda^{3} + 1215737 \lambda^{2} + 3225554 \lambda + 2643867\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 12 & 12 & 18 & 18 & 54 & 36 & 48 & 24 & 132 & 195 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 12 & 12 & 12 & 12 & 36 & 18 & 36 & 84 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 4 & 18 & 10 & 27 & 3 & 36 & 12 \\ 1 & 1 & 3 & -2 & 0 & -4 & 12 & 12 & 18 & 30 & 45 & 36 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 2 & 18 & 6 & 18 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -3 & 0 & -2 & 12 & 16 & 12 & 27 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -2 & 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -\frac{1}{3} & -2 & \frac{5}{3} & -1 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 3 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{4}{3} & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta