Family 3-135-34-a

← 3-136-34-g · 3-134-34-a →

Blow-up of family 2-165-40-a along a del Pezzo surface of degree $5$.

$\pi_1\colon X\to X_0$ is the blow-up of the Fano fourfold 2-165-40-a, itself the blow-up of a smooth codimension-two linear section $W$ of $\mathrm{Gr}(2,5)$ (1-405-85-a) along an elliptic quintic curve, along a quintic del Pezzo surface.
$\pi_2\colon X\to Y$ is the blow-up of the Fano fourfold 2-240-54-c, the blow-up of $W$ (1-405-85-a) along a quintic del Pezzo surface, along a threefold $C\times\mathbb P^1$ with $C$ an elliptic quintic curve.
$\pi_3\colon X\to\mathbb F_1$, onto the blow-up of $\mathbb P^2$ at a point, is a fibration whose general fiber is a quintic del Pezzo surface.

More details (pdf)

Varieties in this family can be blown down to

ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 5) · 12041.44wCw0 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 5)
Bundle: $(E^{ω_{5}})^{\oplus 2} \oplus E^{ω_{3} + ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ 2 copies of E^(w5) + E^(w3 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle: $O_{3} (1)^{\oplus 2} \oplus Q_{2} ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1)$ 2 copies of O_3(1) + Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label: 12041.44wCw0

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	34
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	135
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-9

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	135
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	126
$\mathrm{c}_2^2$	=	106
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	46
$\mathrm{c}_4$	=	13

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		1		1		0
0		0		9		0		0
	0		1		1		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 9	0	x₀ + 9	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 31	0	0	x₁ + 20	11
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 34	0	0	0	0	34
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 29t + 75t^{2} + 29t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	No match
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) \left( 76t^{2} + 14t - 1 \right) \left( 20t^{2} + 8t + 1 \right) ^{2} \left( 5249t^{6} + 3181t^{5} + 720t^{4} + 136t^{3} + 52t^{2} + 4t - 1 \right) \left( 971737777275485522660357894574080t^{33} + 4106518719657778238348996149663744t^{32} + 8413430877076787990941972666636288t^{31} + 11118265668339190155929062667258368t^{30} + 10588590017216389400661316498254848t^{29} + 7675711613322527835217645128935808t^{28} + 4374786982639651103831867019997760t^{27} + 2022587505730621038054325873790848t^{26} + 802358438375667549921035191976512t^{25} + 304393055443969878795921971997424t^{24} + 124293104454442908124600024657800t^{23} + 54290854332629249378579621962816t^{22} + 22620061215002166148220068675884t^{21} + 8214460195173395493339872298456t^{20} + 2504521590560667649987635415078t^{19} + 634203321182170101251072973910t^{18} + 133032707851711398600055293568t^{17} + 23069620901804694986906109994t^{16} + 3292708065921254381649262541t^{15} + 383486351198538895796120727t^{14} + 35884432877718790072407930t^{13} + 2619609693102959436235074t^{12} + 139187968661092805474213t^{11} + 4125008692635607352987t^{10} - 97341363145275282000t^{9} - 22075637383869668430t^{8} - 1565101672238158185t^{7} - 63482972403972057t^{6} - 1112916667629606t^{5} + 21968243114318t^{4} + 1405527125386t^{3} + 20006990526t^{2} + 127902546t - 1074546 \right)D^{8} + \left( 20t^{2} + 8t + 1 \right) \left( 1116430620658115865528270564677002434969600t^{44} + 6126946540621340955248455984417311369461760t^{43} + 16381648003107075264042744569815085279772672t^{42} + 28423995204141110028334179362200718339063808t^{41} + 35909205639114141623272029771029535783182336t^{40} + 35093210509172418391673689966998928846774272t^{39} + 27522470112073114201321243587431771216166912t^{38} + 17780494267811238147194363861103778926995456t^{37} + 9696801212894490475779302491928528592044544t^{36} + 4608703386706181737740360819458818472142080t^{35} + 2001937355653338448259586255870467765779072t^{34} + 843821141572555251303018599934141957419648t^{33} + 359932298800416871496926978257779931387904t^{32} + 153992775349873170034076287366276332198112t^{31} + 63122730445859926010076447172940841826288t^{30} + 23725030425712899353647440409788598832640t^{29} + 7970292317710219773412594900669023233040t^{28} + 2367823314992584437146749134686358961744t^{27} + 620327612177886302483502460501265976064t^{26} + 143385221619288892963804516655768970976t^{25} + 29282989981206119560865607347899219530t^{24} + 5290671270526404563645578560697665958t^{23} + 846255928167360976623398341789261050t^{22} + 119826141449430169264618647728512518t^{21} + 14998034510267472538428798471082425t^{20} + 1651801556261175157024138751421705t^{19} + 158071909916039807331843644117264t^{18} + 12716453371165252489303196372414t^{17} + 783511619696745413695921887475t^{16} + 24401791595364481857240503017t^{15} - 1868237050121848026497010161t^{14} - 391745506658773141766024034t^{13} - 36804881811492889477788273t^{12} - 2218851631644809654569635t^{11} - 78521676881618730475865t^{10} + 64459057295770194274t^{9} + 223714653749844631232t^{8} + 17058329317971421178t^{7} + 709803598590059775t^{6} + 13421615104508626t^{5} - 175403885907810t^{4} - 13042712924632t^{3} - 171757181502t^{2} - 1072649484t + 7521822 \right)D^{7} + \left( 338650621599628479210242071285357405274112000t^{46} + 1942902225417858155077743448044380242614681600t^{45} + 5439804711312081196690182975371261398683484160t^{44} + 9899784407290016461651538809141578075702493184t^{43} + 13139123449819777252915327564254290390721921024t^{42} + 13512752665333569719442745463894439021152157696t^{41} + 11171100277721102066503410452631768836188266496t^{40} + 7616440118902281012234991442375489495275081728t^{39} + 4381787559653472058441200499998056057801412608t^{38} + 2188187945596141092474619785273505635392528384t^{37} + 989347664375253229112797712946138076678689280t^{36} + 428648385724789705705361024632009423119834112t^{35} + 186832463700651816186289756560355459944850560t^{34} + 82268880652749237427863183253878608851491328t^{33} + 35173374244308430715148546015892097720036224t^{32} + 13933609101632989636669849640289049623821056t^{31} + 4959579067012347707900745691397345449120112t^{30} + 1563271548259922255735098096058060800770176t^{29} + 434130219816468735955034115032673253325840t^{28} + 106137886762360835528809871021833652854584t^{27} + 22862502719744394842379292589186597635688t^{26} + 4343088042667535893519890678230663366204t^{25} + 727975800878838287344686750610165545622t^{24} + 107643163379866191664120688272603644738t^{23} + 14028715086859981015458580878083261678t^{22} + 1609874657631619413983330075610772060t^{21} + 162833498628131276745630833115741005t^{20} + 14638776612944423582695506003495831t^{19} + 1202001435512655276610668133347852t^{18} + 95696445346769002081140123643532t^{17} + 7964990597642416372636516043087t^{16} + 703312336967036077459697456897t^{15} + 60821006477371468888288199709t^{14} + 4632576486542718260743030928t^{13} + 283850756993696716213324795t^{12} + 12453207538528117724088785t^{11} + 252391082104050131164909t^{10} - 13998181516551438824846t^{9} - 1776423618741373312088t^{8} - 100752550960899034176t^{7} - 3392353905138668883t^{6} - 49333589486402206t^{5} + 902539439337934t^{4} + 47343161962228t^{3} + 539882754486t^{2} + 2656043676t - 18267282 \right)D^{6} + \left( 2813405164058451981131241822986046136123392000t^{46} + 15785363383320214651557816274941831808863436800t^{45} + 43225932333212298979684801282658196159859261440t^{44} + 76931129169080171359695245620580383108783734784t^{43} + 99793013441289523421567725369082340744151072768t^{42} + 100177396475202931994137532281269734705405050880t^{41} + 80678371094213136996580929248280484218063036416t^{40} + 53471778361839276397645109929224291071087448064t^{39} + 29881364182815315747376308428053735421736534016t^{38} + 14551670002647158440039915913678546842012407808t^{37} + 6503094266309915417698479929540138740783868416t^{36} + 2850668775916086824975404439512750467143015936t^{35} + 1281099358172613413944728088064228998843303808t^{34} + 580572825528362489938092057890010074065372032t^{33} + 251057987436830114641588235620004489193100288t^{32} + 98727277964032732073844164976454625551555136t^{31} + 34394369504008550179585470953553446734501904t^{30} + 10503979171320701532173373598249723792910096t^{29} + 2803988362307059412810905761650013195465056t^{28} + 654260136449017508476451133956217420490912t^{27} + 133516408562635571048084331954357990830128t^{26} + 23832776989972281092331265093710326427984t^{25} + 3717211422303805043479290027978004639370t^{24} + 505113823922148716023490277137574524550t^{23} + 59425740246471749401969971513029884602t^{22} + 5974061436941978578946623382252344906t^{21} + 497799248291451243581984339599327959t^{20} + 31494280177523716690756244870961455t^{19} + 963985796708412339173438202645828t^{18} - 103060093469004657105108168175358t^{17} - 24076110124005790932644526240507t^{16} - 2964586850617267487807527617701t^{15} - 275263110619535488355857523587t^{14} - 20436370244058803273789112558t^{13} - 1210840073524524471341545811t^{12} - 55204212605111399611949669t^{11} - 1741386773295250204066467t^{10} - 20817057152450277283374t^{9} + 1552774344675573683244t^{8} + 125673604889436316850t^{7} + 4707486649451733149t^{6} + 76270352919005786t^{5} - 987866968896518t^{4} - 58566113723368t^{3} - 624307314234t^{2} - 2755309968t + 18267282 \right)D^{5} + \left( 13923750557307801702913414392463348701462528000t^{46} + 76664997117227772626417809235950300394048716800t^{45} + 206037830327055612803077787257278540052575027200t^{44} + 359856224730874155352986874200935591707715108864t^{43} + 457827405115346028125088705818269509336748163072t^{42} + 450190662991374262122530258618279076761554796544t^{41} + 354473076626200065761554431288837802068017487872t^{40} + 229241206892182180133467115450858683374635036672t^{39} + 124950540242460114063818100122543171495926956032t^{38} + 59637591460610100499875103831000338859061248000t^{37} + 26513671322610830672253194739091963814913516032t^{36} + 11827378424906177580790161174999448051690293760t^{35} + 5480230680184037580623326581302691957494793344t^{34} + 2540944308585253859760652099295757463659449792t^{33} + 1104870657510403970915325278397270501694598528t^{32} + 430434600208048104127650862107518630758059136t^{31} + 147076770107905253984633218773616896824677872t^{30} + 43761864198516913120811629762351923007937944t^{29} + 11324369357179123350848829682434125711413008t^{28} + 2549964588610765062408357008900738683631444t^{27} + 499887949094141102953648046299481377797088t^{26} + 85281918810698795580672300616818156219514t^{25} + 12638469002590850131956063922495171818570t^{24} + 1620725639518519310364537928405196027428t^{23} + 178599257820921305575853066673407706126t^{22} + 16706007113552761126741723776063467495t^{21} + 1296683373396329409524488998322226361t^{20} + 79705462453425758352899104120614640t^{19} + 3444675506777239435984454747329132t^{18} + 60114456705064619996179214603127t^{17} - 3606467622599095228291603497017t^{16} - 87400491532372387061227425673t^{15} + 51576371269218746142625337504t^{14} + 8392636652516440780130760271t^{13} + 763318315095275097806485989t^{12} + 48411622678925744225359549t^{11} + 2232913775765722404762184t^{10} + 72217684177079751146098t^{9} + 1303117004614367783520t^{8} - 11117535261753801577t^{7} - 1507969758489516468t^{6} - 34475772342814834t^{5} + 294588920520688t^{4} + 24519147238894t^{3} + 249146151624t^{2} + 980814006t - 6447276 \right)D^{4} + 4 t \left( 10433044150050092763361688426906587754790912000t^{45} + 56555133302945559906386561951491089245601792000t^{44} + 149650306995950741944111718897090499691728568320t^{43} + 257321346906441210710267673026349181742187544576t^{42} + 322121757640449883140520451658875139783042686976t^{41} + 311283081672533097739185760155322382789445820416t^{40} + 240431643593131526160763348001608864510511251456t^{39} + 152244772532645682624022281139739828183875611648t^{38} + 81234504919269142389239759414101279061164822016t^{37} + 38155164862620148000166139745593812102929147648t^{36} + 16949081814597332791851969634184410082821336192t^{35} + 7712016208868726439348391839305589662590118592t^{34} + 3673477576100218401433038020766067777774832000t^{33} + 1732651711806146722640075029838319572266806816t^{32} + 754738220927042012371602266869063195060867920t^{31} + 291198943756707440868677415112167383164902200t^{30} + 97841441560048059971586306790124093814000144t^{29} + 28495974616058663296754398328496821557416060t^{28} + 7193639473191675701472687436960877707496340t^{27} + 1575575035801987842121736780303250921678692t^{26} + 299549305287586656185778518184590640132762t^{25} + 49402132671787676148928408122645872749842t^{24} + 7051260868532821577931190608491157426105t^{23} + 866995054472330230203102197336561309479t^{22} + 91065969116099504839623959187797633598t^{21} + 8045488387477114035026163741553814415t^{20} + 579059259700104716446193045000443018t^{19} + 31289839421032980211183804173185996t^{18} + 896868294893974002159375476608562t^{17} - 42752978898109288948787466512485t^{16} - 8468393602450569609490981819271t^{15} - 686574191192152918180682038523t^{14} - 33612779311117674120785994638t^{13} - 582383922738404608815529359t^{12} + 64965381607451227350058472t^{11} + 7480446822187139284317756t^{10} + 437369173149746858224267t^{9} + 16716721219233625505257t^{8} + 415029640514349442626t^{7} + 5726532367443560169t^{6} + 18253262704403489t^{5} - 110400413175739t^{4} + 18527085322048t^{3} + 236174888768t^{2} - 831304896t + 1293435 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 18316284810363788680508532247486977170604032000t^{44} + 98046567595547653466742585887394600607029657600t^{43} + 256209453754922696657933770408914343948413173760t^{42} + 435015276293760447241875582032056605674025385984t^{41} + 537436096982709772162428070211371795612905570304t^{40} + 511971996230972477798298946320652804684367446016t^{39} + 389164122262256282474874046081814984771850772480t^{38} + 242096022311525490992274862348963652365590392832t^{37} + 126893595138624802232313698561739373712999149568t^{36} + 58852684319450784779745476343972572528722956288t^{35} + 26193049934408899485973675542189502321586438144t^{34} + 12154155025701384909756801320483401905361290752t^{33} + 5926294567413990461328311809754136126122609536t^{32} + 2829995292437959918946010645878105290243858048t^{31} + 1232312931153428315295874721189106646466622336t^{30} + 471220561829289915032342821702940898465891808t^{29} + 156113641918411437614093103177065149476833168t^{28} + 44688224323011750340406135667159490169401816t^{27} + 11062262005068239959094141930713913954476072t^{26} + 2371165506635607422102073703075733130381468t^{25} + 440338664910457122556610890679045966923596t^{24} + 70793182922022372904448790740425025980474t^{23} + 9828710889165737847391797974743571217492t^{22} + 1172665974474503705901652025343081146394t^{21} + 119178031827026849843989767676041186308t^{20} + 10149244079076730876590089100027891811t^{19} + 699823753297068250444581771637518749t^{18} + 35729684236482955593594394981841616t^{17} + 903184752095341269988246820711322t^{16} - 52929789665581102733500371668861t^{15} - 8556744699171799415946377895881t^{14} - 559804770875770600576836059467t^{13} - 13778012130294042821007634018t^{12} + 1245352500062736694202480099t^{11} + 183702576090309462701179895t^{10} + 13075193571859079682689181t^{9} + 622882075611003782419916t^{8} + 20614641168450290158116t^{7} + 449370597619173163748t^{6} + 5239394020123156437t^{5} - 951980848792224t^{4} - 523600181234804t^{3} + 9563433098604t^{2} + 135139544154t - 333109260 \right)D^{2} + 16 t ^{2} \left( 4248018511604130868335069498595994265059328000t^{44} + 22519331676067618658596879127964592072241971200t^{43} + 58277534936012525584421608538380015203642408960t^{42} + 97981297574408303794680180954445924757405925376t^{41} + 119808685485419832021803651985103882778632855552t^{40} + 112848655280876691812960579748043713975419658240t^{39} + 84689355659756174881223777300523406884836392960t^{38} + 51936332560997079759822757633894580354947615744t^{37} + 26833141408683119302505909899877329237537195520t^{36} + 12325327981188382303925867892966647849691741952t^{35} + 5503221113313015180027325693036061051008599424t^{34} + 2598758751302024270126187239239022774465412800t^{33} + 1290945205312838145875553206435459522455750912t^{32} + 621812514818946365490791918062818804033384576t^{31} + 270415123422849442444322752967485964704294992t^{30} + 102618161299627440989634077280414269659130120t^{29} + 33615478780342158146291231442374857414134048t^{28} + 9493003815542515657946260839649479362587748t^{27} + 2314509221310862615106355047529330676562568t^{26} + 487965923022666886327545599779823824854532t^{25} + 89017886175009720454174962038319377191076t^{24} + 14041384467836652381639170751976371503748t^{23} + 1910395552224932058120478638499264835660t^{22} + 223110585298268893758349396550457543982t^{21} + 22172970439458959472748100502779526441t^{20} + 1844917326686587732848540900167964464t^{19} + 124228325590517676856191012725510206t^{18} + 6202971201364811280241959561484983t^{17} + 158281961736544056437761272884393t^{16} - 7257354220676776288832285419320t^{15} - 1105940652308317851385816803465t^{14} - 51010218110079155853694455206t^{13} + 1696837502044096477124157146t^{12} + 486982920289046486308544268t^{11} + 44910873070443265949851771t^{10} + 2677052459353418466408142t^{9} + 112862680060865475570970t^{8} + 3347372452400870671850t^{7} + 64919201849169767796t^{6} + 638458945165319817t^{5} - 1853294741063436t^{4} - 96915447809040t^{3} + 271526487960t^{2} + 5911789068t - 17192736 \right)D + 384 t ^{3} \left( 65125119538390092155815782939491808706560000t^{43} + 342835264525093355703861790653045548335104000t^{42} + 881038787886185096671181827529216212437811200t^{41} + 1470792645487887634640095763726476498172395520t^{40} + 1784999717144311792697991842331925573001277440t^{39} + 1667399478936387905124528311807807937653256192t^{38} + 1239510329208993235097082093686303052434468864t^{37} + 752031297057405513389254372465712607855796736t^{36} + 384357825471013723274885602245965358546889984t^{35} + 175316321604754799164526099987979522964488320t^{34} + 78538886112682171739287074210894260206751552t^{33} + 37609943731282041017663565895333531593086368t^{32} + 18940637971992055641476737130982619008293440t^{31} + 9175848593555377523275659312175453400905856t^{30} + 3984653017546890060933779095150180013367192t^{29} + 1503274965883634363278014020112869740662972t^{28} + 488322830841106386221794294933205119551272t^{27} + 136533220446693584924329733235693285021098t^{26} + 32920311300659465118774483443015589454752t^{25} + 6857275007924629618110745894955970509360t^{24} + 1234875154751671303513014044494948523330t^{23} + 192131248953014601290596558185900326377t^{22} + 25766738894064197461575009536675517423t^{21} + 2964764485485017030233979440219907869t^{20} + 290228823432106635281837875591826184t^{19} + 23792996948682627997948879824430284t^{18} + 1580339844402069693629160266954542t^{17} + 78216651496191036243069304915633t^{16} + 2068466188154898538874900102259t^{15} - 67686489979320781172500334046t^{14} - 10166669268588035495396607452t^{13} - 228821578173299242685805068t^{12} + 55128120649183621374566328t^{11} + 8152638126163684389367861t^{10} + 646661833706417168181138t^{9} + 35156157775752090394777t^{8} + 1365401733927622659862t^{7} + 37004260935440274614t^{6} + 636272812756263534t^{5} + 4862990974524531t^{4} - 36252440526294t^{3} - 908075221956t^{2} - 782102304t - 6141096 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 5)

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $18.1803399$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$18.18034$	1	1
$10.81139$	1	1
$-4 - 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-4 + 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-4.192493$	1	1
$-4.18034$	1	1
$-4$	1	1
$1.184476 - 3.616011\mathrm{i}$	1	1
$1.184476 + 3.616011\mathrm{i}$	1	1
$-2.493923 - 1.333665\mathrm{i}$	1	1
$-2.493923 + 1.333665\mathrm{i}$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{2} + 8 \lambda + 20\right)^{2} \left(\lambda^{2} - 14 \lambda - 76\right) \left(\lambda^{6} - 4 \lambda^{5} - 52 \lambda^{4} - 136 \lambda^{3} - 720 \lambda^{2} - 3181 \lambda - 5249\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{2} + 8 \lambda + 20\right) \left(\lambda^{2} - 14 \lambda - 76\right) \left(\lambda^{6} - 4 \lambda^{5} - 52 \lambda^{4} - 136 \lambda^{3} - 720 \lambda^{2} - 3181 \lambda - 5249\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 6 & 26 & 9 & 9 & 69 & 63 & 96 & 80 & 40 & 168 & 170 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 6 & 26 & 6 & 2 & 4 & 60 & 60 & 30 & 128 \\ 1 & 1 & -1 & 3 & -2 & 0 & 20 & 12 & 18 & 0 & 0 & 36 & 8 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 10 & 12 & 18 & 15 & 6 & 30 & 32 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 3 & 3 & 1 & 2 & 20 & 12 & 12 & 36 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 10 & 12 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & -2 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & -1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta