Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-141-35-d

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × Fl(1, 2, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w6) + E^(3w3) + E^(w1 + w2)
Bundle
wedge^3 Q_2,1^v ot U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(0,3) + O_1(1) box O_2(1,0)
ZL62 label
152.5Eg
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 35
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 141
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -12

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 141
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 126
$\mathrm{c}_2^2$ = 108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 30
$\mathrm{c}_4$ = -3
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 5 5 0
0 0 9 0 0
0 5 5 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 12 0 x0 + 12 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 25 0 0 x1 25
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + x3 + 10 0 0 x1 - x2 - 25 x3 35
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = x3 + 1 0 0 x3 + 1 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 30t + 79t^{2} + 30t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(534)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(571)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t - 1 \right) ^{2} \left( 2t + 1 \right) ^{4} \left( 287933t^{5} - 17264t^{4} - 7306t^{3} - 197t^{2} + 29t + 1 \right) \left( 383715254089395452885289080t^{19} + 779779837527796394288141964t^{18} + 684701172506932012905320224t^{17} + 264770329731591229997096424t^{16} + 24401056738465412734578384t^{15} - 12597443974975184392662825t^{14} - 3475871393324679761195633t^{13} - 410648351582073819842271t^{12} - 28399344587870081863759t^{11} - 27099388715973787364t^{10} - 35967899382784594614t^{9} - 67305046010943018589t^{8} + 5426345782665910155t^{7} + 186072716161263876t^{6} - 4777081356636t^{5} + 6876928421858t^{4} - 1597407859512t^{3} - 5158384613t^{2} - 29801973t - 9024 \right)D^{8} + \left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 15909736932823953734729271456716160t^{26} + 30887888300743842496159927007163616t^{25} + 24425054239949843664188694959878912t^{24} + 5918511227748640162073526242198008t^{23} - 2231284534175097717715701429024528t^{22} - 1466250453606079160237794754101236t^{21} - 156312265692705068550799556994978t^{20} + 41674895161355581784373562591492t^{19} + 11856432733797748980611423147449t^{18} + 1496602704517954614419857600564t^{17} + 96885915916973941167639109589t^{16} - 9450933039832530521146073929t^{15} - 296322935359562316559463407t^{14} + 161237569325754610451861002t^{13} - 66229208129910619883052812t^{12} - 2451759785977004008418159t^{11} + 321167566068762212817074t^{10} - 8919944396963677820065t^{9} + 34995294746245761263t^{8} + 100260765771976356891t^{7} + 2116528530947699715t^{6} - 206522597895042t^{5} - 52870998035170t^{4} - 14624604480979t^{3} - 41722011523t^{2} - 208487475t - 54144 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 965190707257986526573575801707447040t^{28} + 1848727518974850289853821446517510528t^{27} + 1331620468743755509064942566596119968t^{26} + 99379005021897792813701738234118160t^{25} - 329662624154804005415638554925683744t^{24} - 139957266608139050554112458768025232t^{23} + 1013014554010084179888469415547720t^{22} + 10763819438520279324693390521697220t^{21} + 1719576918479119550187433653935350t^{20} - 68705159469015345793278642725900t^{19} - 55288514095766563821626350176421t^{18} - 9631158701519199590985217999654t^{17} - 605986511061589135925169096565t^{16} + 8218929275264029220651396623t^{15} - 21589135718438350361136875435t^{14} - 2653115705796472317711545072t^{13} + 220227583584542251613104478t^{12} - 3731627494415360477610265t^{11} - 313071439062978504107800t^{10} - 28879877919599299557987t^{9} - 3929721812882614331661t^{8} + 329230008232605159561t^{7} + 9316057540979762765t^{6} - 19192713458310346t^{5} + 279117624851018t^{4} - 42605332722015t^{3} - 108175668393t^{2} - 504165621t - 117312 \right)D^{6} + \left( 2t + 1 \right) \left( 16037014828286545364607105628369889280t^{29} + 38385656207946448822901855047938632192t^{28} + 38237320780065606892290413646090942528t^{27} + 15317751760111652229959332223150621888t^{26} - 1614325414843915957578597159163334864t^{25} - 3512498537079562394383116088859122272t^{24} - 955564574868523589829955285974327800t^{23} + 45239355813215055927473793501724616t^{22} + 61863245531013005738703435143583792t^{21} + 10107460664094256593823810398975194t^{20} + 322021447479739417752611246159672t^{19} - 152193556844692431113681218612431t^{18} - 29789135651280596883245032524790t^{17} - 554010209726976561786391567115t^{16} + 94406683629105066049062514161t^{15} - 70261455811671053536716940985t^{14} - 1154339482760240499121260820t^{13} + 993402664615708237471352880t^{12} + 16477544386705575977520161t^{11} + 580126973475083456541848t^{10} + 4378003247982401116005t^{9} + 13829741387669910768857t^{8} - 467238798970564145207t^{7} - 15381807949299797253t^{6} + 62024130638637388t^{5} + 196754666753996t^{4} + 49706388681945t^{3} + 121980672137t^{2} + 503344869t + 108288 \right)D^{5} + \left( 158736748624428861062638851080809367040t^{30} + 456444509573377212702293606270822194432t^{29} + 570924012180868910169769543996687301888t^{28} + 358114826527303709319896552362485851520t^{27} + 86388739994480669359531776332878216960t^{26} - 23108281952323357947941069587247456192t^{25} - 19901508800320296828811238326775618568t^{24} - 3886813047063262991888101823670960076t^{23} + 312129320758633420708938254879470880t^{22} + 249282043001577776643033056952032736t^{21} + 44537629374372079742280254944314354t^{20} + 3761948195830406016814704805161137t^{19} + 8126261993958281760879567752022t^{18} - 5180494434060575238950764358981t^{17} + 7815360772249001669348677681849t^{16} + 81622510570403051832798901479t^{15} - 234737572273608078382811445970t^{14} - 902603595552532026795447514t^{13} + 1651604524595763249546947073t^{12} + 63852544470898591526995704t^{11} + 2729361349431185378348591t^{10} + 158993405885249890089207t^{9} - 10039814092770092725961t^{8} + 364358373158232529705t^{7} + 12099938247216764754t^{6} - 33298034412918490t^{5} - 997274226844591t^{4} - 20192015252973t^{3} - 48982986049t^{2} - 177535662t - 36096 \right)D^{4} + 2 t \left( 237882386619583756241672066820820024320t^{29} + 680522027158640261855982690695249476352t^{28} + 856399381275919334218515741088870595776t^{27} + 550919481567167095551549935039507898080t^{26} + 153181204241841886003590336776693897712t^{25} - 16442828718162808255799692522227166472t^{24} - 23107959457681847699157921779441209272t^{23} - 5247187291656244915992217966853066320t^{22} + 51735985782283200159472597368815572t^{21} + 225671909449082217129730315772190464t^{20} + 48259485323726904008927608529044402t^{19} + 5326965677152518886857313750107831t^{18} + 257496128624357519710449295389430t^{17} + 27040695258531184195912293016670t^{16} + 11042591935189612230678143335215t^{15} + 139281348686920739596363642586t^{14} - 209594966614431337285784098019t^{13} + 1159282353515929180367303973t^{12} + 1133333559841818238261252909t^{11} + 68113849269015039367513038t^{10} + 1340996907417726599557196t^{9} + 53608066301262159822678t^{8} + 656634470034389784928t^{7} + 31447164550513063970t^{6} - 90175249046827790t^{5} + 1803456125056935t^{4} + 9207893186810t^{3} - 21891070425t^{2} + 21474027t + 2400 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 208813529494766301217906717950348853760t^{28} + 594918103514680899675940604755827188992t^{27} + 751129423736038709936527884826537884544t^{26} + 489927753590374795731945786540427464640t^{25} + 146385188772813411254172860908339931552t^{24} - 4913413496606185802119167558245892112t^{23} - 16699194372210352496224848241222171696t^{22} - 4292845648322756594240412245230174088t^{21} - 182734134916886755854163833570408512t^{20} + 111156170072560158659990195318758262t^{19} + 28264612834943457960194192501439736t^{18} + 3366527926318018664122782141595810t^{17} + 169372130901000573429982914350788t^{16} + 22700590433157314543726419521017t^{15} + 8085061297010049884669935695716t^{14} + 63975984989963422152679756016t^{13} - 127723950334158033595044560891t^{12} + 116393012319542568991149943t^{11} + 432497072252848196025983819t^{10} + 29530726873736491634000947t^{9} + 307002003732959341404886t^{8} + 19630914895721127645142t^{7} + 100459293690295475915t^{6} + 5887501754444061593t^{5} - 80868814340394931t^{4} + 1527764251404658t^{3} + 2128669077562t^{2} - 6921046716t + 505344 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 48429239223516115168515902314243991040t^{27} + 137543263075657355294682725484241627776t^{26} + 173941803756666161641471874655997183392t^{25} + 114284333600346205227079262302132656656t^{24} + 35469907780692399363772941673241085320t^{23} + 139122325213023045748581087268613876t^{22} - 3385214422924901658136300529161110192t^{21} - 957792226008460524525096065881812246t^{20} - 77186093146598829479273390620097574t^{19} + 12456632147877466950731219677031657t^{18} + 4194917995910051524933076069176022t^{17} + 511397504939218083477762509931968t^{16} + 18624185852197895407851592846735t^{15} + 3865294737322991449443696862549t^{14} + 1567857679051853842034063811343t^{13} + 2160961509815086296027487514t^{12} - 22922846979086440205320364092t^{11} - 194819711878686445069331050t^{10} + 43322257727719763900471602t^{9} + 2828400264254078591186563t^{8} + 13194563954017444156486t^{7} + 1677930309537604531062t^{6} - 12186226079536978251t^{5} - 38453214861129039t^{4} - 7170836061955619t^{3} + 214550701974760t^{2} + 193395909460t - 283269846 \right)D + 96 t ^{3} \left( 2969817560793804697149464005253683200t^{27} + 8415622288038231506628106967646209280t^{26} + 10650634202067934111651204461751373760t^{25} + 7023709469935005591658760987197974880t^{24} + 2224544948368360712712566784099305776t^{23} + 52728995060063044960344692726354104t^{22} - 190534197389058911991907618983986816t^{21} - 57632784895563765703691923487022548t^{20} - 6107904518302683221135750160777788t^{19} + 246779025384939958784430062752262t^{18} + 163216442060702336456685099620828t^{17} + 20094481454106092183400234856514t^{16} + 216262950565708853446906390888t^{15} + 173888637507477429244106651887t^{14} + 84395344244872908974617476004t^{13} - 406063243765762031908525204t^{12} - 1186728852828188202523610497t^{11} - 21417102067719452287127053t^{10} + 1117953878862648903532861t^{9} + 52931259532319298293029t^{8} + 16256450469006852964t^{7} + 25838733292497248086t^{6} - 1368890191288711385t^{5} - 21443277654748961t^{4} - 20486149806591t^{3} + 7314367585140t^{2} + 4607768580t + 3228336 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × Fl(1, 2, 6)

|λ| = 27.9616 λ ≈ -27.9616; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 15.18289; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -10.69893 - 4.068312i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -10.69893 + 4.068312i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 5.176581; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 4; Jordan blocks 2, 2 λ ≈ 2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 4 2
Sector dimension
11
Spectral radius
$27.9615973$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$-27.9616$11
$15.18289$11
$-10.69893 - 4.068312\mathrm{i}$11
$-10.69893 + 4.068312\mathrm{i}$11
$5.176581$11
$-2$42, 2
$2$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{4} \left(\lambda - 2\right)^{2} \left(\lambda^{5} + 29 \lambda^{4} - 197 \lambda^{3} - 7306 \lambda^{2} - 17264 \lambda + 287933\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda - 2\right)^{2} \left(\lambda^{5} + 29 \lambda^{4} - 197 \lambda^{3} - 7306 \lambda^{2} - 17264 \lambda + 287933\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 14 & 12 & 18 & 18 & 0 & 0 & 72 & 144 & 180 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 12 & 12 & 0 & 0 & 0 & 54 & 72 \\ 1 & 1 & -1 & 6 & 0 & 0 & -108 & 0 & 54 & 810 & 72 \\ 1 & 0 & 1 & -6 & 2 & 32 & 138 & 45 & -9 & -810 & -72 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 30 & 30 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 15 & 0 & 0 & -108 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -15 & 2 & 14 & 120 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$