Family 3-176-42-c

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case C-16 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ²P2 × ℙ⁴P4 × ℙ⁵P5 · 204050.wewAx40C00 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ²P2 × ℙ⁴P4 × ℙ⁵P5
Bundle: $E^{ω_{6} + ω_{7}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{3} + ω_{7}} \oplus E^{ω_{2} + ω_{3}}$ E^(w6 + w7) + E^(w1 + w3 + w7) + E^(w2 + w3)
Bundle: $Q_{2} ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1) \oplus Q_{1} ⊠ O_{2} (1)$ Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1) + Q_1 box O_2(1)
ZL62 label: 204050.wewAx40C00

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;5;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	42
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	176
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-18

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	176
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	140
$\mathrm{c}_2^2$	=	113
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	30
$\mathrm{c}_4$	=	33

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		1		23		1		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 18	0	x₀ + 18	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 29	0	0	x₁ - 5	34
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 43	0	0	1	0	42
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 37t + 100t^{2} + 37t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(251)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(320)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) ^{4} \left( 576077t^{9} + 1399466t^{8} + 1146334t^{7} + 323124t^{6} + 76519t^{5} + 11511t^{4} + 1234t^{3} + 8t^{2} - 7t - 1 \right) \left( 27776179123726014542063771108t^{28} + 157687978149811396085479422496t^{27} + 457492815534182856764916595132t^{26} + 873695714308513849878902153860t^{25} + 1142255243890854478759730747926t^{24} + 1047257427421197313650231992996t^{23} + 738300764391159854831010673478t^{22} + 491176784678083274916468364976t^{21} + 359446840798444750604199261529t^{20} + 254927058541875969904038190898t^{19} + 145507230842533411443014605054t^{18} + 60391679691402032404099121417t^{17} + 16756563628207938863552186400t^{16} + 2621587671237754990444076090t^{15} + 78283501647949429757641007t^{14} - 41204134894974578122653822t^{13} - 3585829225962016698650020t^{12} + 1081937140572656110401609t^{11} + 333548460357967799799711t^{10} + 48654144596251133209176t^{9} + 4209123021962170963539t^{8} + 190190626158267413769t^{7} + 6323580714941344133t^{6} + 234157930276870633t^{5} + 8810527810447010t^{4} + 160822888984765t^{3} + 1690699990590t^{2} + 11445659952t + 25006080 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) ^{3} \left( 576043845878113606056544958468999376t^{38} + 4847274351006634031641868929403959264t^{37} + 20072022161043473893283050393618395800t^{36} + 54160849343499540177630327846243541844t^{35} + 104764477504550038240321596935893366660t^{34} + 151210462755146125431036107695831981748t^{33} + 167679430538303257308327848179672036856t^{32} + 149285301370885943670554361775498142120t^{31} + 115221198453626966062854723160703021964t^{30} + 84773227870797219775469081546542593838t^{29} + 61745071960205609563188446631684839294t^{28} + 42043578017802859736245346418514209707t^{27} + 24612520486211429311080842205449836213t^{26} + 11684603483081456776772854383015404230t^{25} + 4333004318546402494501492922280116256t^{24} + 1212036278400696729759344958810500811t^{23} + 242722411331019614601769674626903074t^{22} + 30936428768056104272090139544451176t^{21} + 1500452116311909030810823300707847t^{20} - 170892776566184657144048939111119t^{19} + 10782761064839428059436334798008t^{18} + 23543672544376833014437858260315t^{17} + 7182711147246346129697036853649t^{16} + 1277358740866393302901424280744t^{15} + 156988760394040915877852735389t^{14} + 14495616243035370102714106857t^{13} + 1153133721688840667925527689t^{12} + 102175242075001982132774389t^{11} + 10817135890181020703461212t^{10} + 1051392107056154171214623t^{9} + 71305782123899200517052t^{8} + 2821205167254553221873t^{7} + 84509575823359857676t^{6} + 2782604283848321088t^{5} + 90408543829778254t^{4} + 1457180924012265t^{3} + 13501108215696t^{2} + 79869558864t + 150036480 \right)D^{7} + \left( t + 1 \right) ^{2} \left( 8736664995818056358524265203446490536t^{39} + 77140731250070642999522952985028545696t^{38} + 335369300558687981550557424853812437344t^{37} + 951416201788412539955737132521618246836t^{36} + 1941645087983198798865011504836136882508t^{35} + 2972446134963004382963868373820532516120t^{34} + 3513272588585605783775655400617434969436t^{33} + 3333638345925193110351605606163232515520t^{32} + 2713479858164842811361716718946093345642t^{31} + 2069422932748278868279130348374514520210t^{30} + 1556561516258490106660420608942208459514t^{29} + 1113181894741865171560479399998541169175t^{28} + 699569601563797273374340620554098311518t^{27} + 362880588831785434611423540574472061783t^{26} + 149094748806614846478670739718768532552t^{25} + 46773410166647038389819972120347347867t^{24} + 10628601141369952990909911932146471053t^{23} + 1561558232930681862040854224770643374t^{22} + 94219205502742946262752527219227267t^{21} - 10661231466340520417535250181510220t^{20} - 937716917992810849295460302223219t^{19} + 907780666594979468239904028950429t^{18} + 345637799987793152062371757715536t^{17} + 70058492785149960233158320104571t^{16} + 9913868369388360276180792967911t^{15} + 1066546107567516134192161320894t^{14} + 87889922587810577669666683924t^{13} + 4834248859213438952313059094t^{12} + 50405074771910086848999529t^{11} - 25437840575365726095989877t^{10} - 3641558524813481074338525t^{9} - 272339015776041062402039t^{8} - 10360472896437688976825t^{7} - 282115331039941655682t^{6} - 8529958167247538920t^{5} - 276277329474863525t^{4} - 4183793535928843t^{3} - 36186778488288t^{2} - 193987865904t - 325079040 \right)D^{6} + \left( t + 1 \right) \left( 72581524580642314363124664767093921376t^{40} + 677831261419896066082606406928586442944t^{39} + 3113771969738793707237071776681809453056t^{38} + 9333595151068021876668639929634655669492t^{37} + 20179926466545671197385392298113803658564t^{36} + 32890146510893355526989760100033022882504t^{35} + 41580719935731825396257632116215752788220t^{34} + 42200240534055428993646948432011964588836t^{33} + 36356311306846553940086194489263569551584t^{32} + 28767545582734686569398772938534347055134t^{31} + 22217220023941503319743488306338806391702t^{30} + 16532190248245807899479875009625808024127t^{29} + 11076934345819629418280272091836296822559t^{28} + 6265291067423498616943505784996421405133t^{27} + 2863499216894951934398179055083951033305t^{26} + 1021506383928836529492259601188741354825t^{25} + 272564415256453673260412458241189392354t^{24} + 50334016017363148436709186733594715319t^{23} + 5205068207409534591160140667917330955t^{22} + 7378676886336993051150997373507639t^{21} - 32721161729829724904002441505110971t^{20} + 23264081437276380975808556571949966t^{19} + 11514286465622996836922134096649489t^{18} + 2741593237316437069066190837473409t^{17} + 438696991327265902088799786329084t^{16} + 50784810204064402662381824698259t^{15} + 4261342431696069471324295294196t^{14} + 255483776987170342671267814764t^{13} + 12162520285737483193619443509t^{12} + 823704915457543033503790188t^{11} + 88338399629076437709360796t^{10} + 8421824204649415320025544t^{9} + 554051370580262860090474t^{8} + 19042424317313444494571t^{7} + 448670951384254359836t^{6} + 11560932270409551395t^{5} + 355783175784581320t^{4} + 4967192210182299t^{3} + 40410862902012t^{2} + 194917211184t + 300072960 \right)D^{5} + \left( 359211341558827009510093827018626860884t^{41} + 3567871785382170827492225747423972990296t^{40} + 17397809984681768816673550404869876940972t^{39} + 55307376617577301275908415528728503163360t^{38} + 127064809744591215922488995043436076853134t^{37} + 221029726327623170106593788391612289142784t^{36} + 299562100706109433034440492828206037211562t^{35} + 326053536072794210145551792415766482391600t^{34} + 298480765905140440503159847313458994507493t^{33} + 245941009484356819604500281325830291036756t^{32} + 194630758380187133547705089910255072211794t^{31} + 149450197249919394335373211960213882096164t^{30} + 105818842750982277493783440685708488106676t^{29} + 64838451737945706189850608766244763958371t^{28} + 32809093846419171039813775102558674869961t^{27} + 13253797099496849408441126687846182003734t^{26} + 4129380724535953698170347839850922237922t^{25} + 941743446428690416693454699229376478678t^{24} + 141034066325761387893984158506182568841t^{23} + 9750944268295826133862808631344681227t^{22} - 258922489550827624797358655600285418t^{21} + 224499820001470331797874924397481727t^{20} + 182017513237296363446741706608075939t^{19} + 54492885798603904019364630007745803t^{18} + 10305029093029176903040890209736100t^{17} + 1391241460510517125208812093183311t^{16} + 138455858337002512681508319351847t^{15} + 10230609716232246763532280134210t^{14} + 573839972791412049490811063402t^{13} + 24959829213658115205329030642t^{12} + 770165128756807098122983939t^{11} - 4204709275275934158697607t^{10} - 3371255326238730393302217t^{9} - 296255543563182335878413t^{8} - 10356943740190390226703t^{7} - 218915558321624922817t^{6} - 5056253313308891034t^{5} - 157719839968211248t^{4} - 2077861285705846t^{3} - 16107016020114t^{2} - 69195535392t - 100024320 \right)D^{4} + 2 t \left( 538312973973097164859841263689279916872t^{40} + 5168612353332185364267370209214586344424t^{39} + 24464545305083874583615013328527765091580t^{38} + 75710719351676903032886709944131428123184t^{37} + 169355112038855876548864027519645848221632t^{36} + 286317516258787768015094529570136759088816t^{35} + 376623257817521669693101395645150536131748t^{34} + 398761871237017549470765405389630648593512t^{33} + 358509949050363818611990775662040606988022t^{32} + 294993457407317879251808613597412536239352t^{31} + 235964338585915573557137952695415025502708t^{30} + 182213731588204306849066650114247303202572t^{29} + 127681717576590871174468779422949014252098t^{28} + 76249626346702211254281774724027697420424t^{27} + 37160820898272232460879768985476156033131t^{26} + 14301168244447170902441417619948538839854t^{25} + 4187400119081898802393492536109207137154t^{24} + 877836560521704933833574601319609795360t^{23} + 115297070709880223885934843917757077435t^{22} + 6033609266594583650913524396578698951t^{21} + 153197717072506708815351071196776638t^{20} + 529151727064263550208774599646822780t^{19} + 250805172874543493688947005994649963t^{18} + 63294540688173175939781075861736185t^{17} + 10839374671503052013476322700466976t^{16} + 1350988188808363740145386198063848t^{15} + 123619445079532104141658123732595t^{14} + 8285155478786882681203154208712t^{13} + 427873911065228234092348739964t^{12} + 19561953069091892472984633126t^{11} + 903277141900325610492614447t^{10} + 36817967565965658107531883t^{9} + 1105645778602315965924150t^{8} + 18340242355577857953384t^{7} + 101450577031019098811t^{6} + 2003623401353627813t^{5} + 66193868626193736t^{4} + 909595597732598t^{3} + 3656146158924t^{2} + 12947426874t + 8666880 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 472531967017404802790439699126333904796t^{39} + 4412679937532117917410388212038713837848t^{38} + 20386066031009846066764129409471800910652t^{37} + 61721420238242117872731141426132558603200t^{36} + 135045556789910272571467878932367629937574t^{35} + 222922295191148541023254776734303067710000t^{34} + 285979701093979281974701258587143728547486t^{33} + 296043409816436524187858487652010501631372t^{32} + 262667185511070595820482402400724748301227t^{31} + 216431492787261103494301836082434479249408t^{30} + 174747626024182860909092887707935581530432t^{29} + 135224644523878606649909973552528878542710t^{28} + 93614056263943337689819513758794141658968t^{27} + 54552083725774411449044920698778811818057t^{26} + 25690100401641022628007507075418730423261t^{25} + 9461255070719834091103258795478986330724t^{24} + 2617420389798288960875207969182145824280t^{23} + 507524757518666295832310594860437035600t^{22} + 59008727797157451450177376505345534897t^{21} + 2624417311105476975563908390215939323t^{20} + 539271765860205625550823064477350382t^{19} + 518020214976961001704291976481433305t^{18} + 192202328318720598853836746464537467t^{17} + 43335409655361577378772714442111577t^{16} + 6880475389860552672425384556387246t^{15} + 801349759254486200194327553614539t^{14} + 68167918960486829013049902212179t^{13} + 4244439512565328841214165622396t^{12} + 211561501327870586410806580284t^{11} + 10059299476354937170789373912t^{10} + 472795927918857482126519337t^{9} + 17691226445554356168191625t^{8} + 452243073833468207113297t^{7} + 5204877856144905991715t^{6} - 8142857933908750875t^{5} + 509221717372031933t^{4} + 30740389255844128t^{3} + 319210286988384t^{2} + 1051063716480t + 400097280 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 73061561118874075701505118899151420856t^{38} + 667578078800818683178916268527099907720t^{37} + 3026165459626706668514528066600928300780t^{36} + 9005841099242257828591356218480132079128t^{35} + 19361158986773361086129382785849517437356t^{34} + 31350320227442079881557358528661291694616t^{33} + 39413931426689956943897713048796319465540t^{32} + 40082511056934232965209094674287633162436t^{31} + 35231834640147196676445077405020289067678t^{30} + 29107787297462359382419039120362273278648t^{29} + 23677699144149454367599450376007267169086t^{28} + 18320059903981804661885939300575052560440t^{27} + 12532517934197914993462145264652027054086t^{26} + 7146093394435060637734586854469698074788t^{25} + 3266438267216782321424769027577813550237t^{24} + 1157714637749646101409516705421844149408t^{23} + 304626790491400316601237739833719739236t^{22} + 55072827044042115920754888020345115512t^{21} + 5747365747751405583469125950735611529t^{20} + 266641487889387266891939503030948481t^{19} + 122304927962791878395162148400215238t^{18} + 80295163958591185831924128173520476t^{17} + 25816463874715220375631876125219239t^{16} + 5378707821808358361148288181281493t^{15} + 805433646471475384605863079694078t^{14} + 88719318471195372822157979125776t^{13} + 7111004531565070229914041693659t^{12} + 420242664022290127069846461482t^{11} + 20729590979290026685330926032t^{10} + 1015546020736362773618879914t^{9} + 46783080633523955643211471t^{8} + 1593573802518468384259989t^{7} + 33486406193239640385188t^{6} + 215678818173521728722t^{5} - 2994230967431244229t^{4} + 39139294075110799t^{3} + 2819953588736420t^{2} + 26034680093992t + 100288265088 \right)D + 2880 t ^{3} \left( 224017051174821957910878594960166424t^{38} + 2014822040247709312214762537214676020t^{37} + 9008129994882526993766583604449203430t^{36} + 26472879868923760649990800488971140372t^{35} + 56175543514250282841372068797022763956t^{34} + 89656735903624464353974035878001817660t^{33} + 111015004751629869264466844241560671668t^{32} + 111419270397783251820907315798498984018t^{31} + 97313621255391307437114673250724898850t^{30} + 80625410351375595595525880697393978500t^{29} + 65945614828859968074854483588468578437t^{28} + 50966869118111828684031408533333822086t^{27} + 34513202324307604584466657206174810581t^{26} + 19335829245364962455907925898687874396t^{25} + 8628189723802710001910940089014709726t^{24} + 2963898221111467831103607751186058617t^{23} + 748101510459666525181122605243122205t^{22} + 127440556555303643823734926551611973t^{21} + 12158253389872269159755196512937358t^{20} + 689930462523564965053847779636212t^{19} + 440870022849336422201558898062368t^{18} + 238818975048184505816371796018257t^{17} + 70124942215210192197189117926473t^{16} + 13812352171902082174496303662597t^{15} + 1976819434822236943952791323024t^{14} + 208055131474033597480822672521t^{13} + 15891317523699538904631946778t^{12} + 906171171150407821826171674t^{11} + 44835627837293242542143574t^{10} + 2232409773048670524763086t^{9} + 99130073358975632163680t^{8} + 3085212399934962106850t^{7} + 51402243569913497135t^{6} + 12096499100202961t^{5} - 8263525831486352t^{4} + 69276773455656t^{3} + 4810251165024t^{2} + 40650473280t + 168791040 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ²P2 × ℙ⁴P4 × ℙ⁵P5

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $12.398939$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$12.39894$	1	1
$-4.6905 - 6.769508\mathrm{i}$	1	1
$-4.6905 + 6.769508\mathrm{i}$	1	1
$-4.407385 - 3.92929\mathrm{i}$	1	1
$-4.407385 + 3.92929\mathrm{i}$	1	1
$0.2302456 - 5.018519\mathrm{i}$	1	1
$0.2302456 + 5.018519\mathrm{i}$	1	1
$-1$	4	1, 1, 2
$-0.8318298 - 0.2941743\mathrm{i}$	1	1
$-0.8318298 + 0.2941743\mathrm{i}$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{4} \left(\lambda^{9} + 7 \lambda^{8} - 8 \lambda^{7} - 1234 \lambda^{6} - 11511 \lambda^{5} - 76519 \lambda^{4} - 323124 \lambda^{3} - 1146334 \lambda^{2} - 1399466 \lambda - 576077\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda^{9} + 7 \lambda^{8} - 8 \lambda^{7} - 1234 \lambda^{6} - 11511 \lambda^{5} - 76519 \lambda^{4} - 323124 \lambda^{3} - 1146334 \lambda^{2} - 1399466 \lambda - 576077\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 & 4 & 18 & 18 & 12 & 24 & 21 & 48 & 24 & 20 & 75 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 4 & 2 & -2 & 10 & 8 & 9 & 3 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 & -4 & 2 & 0 & 0 & -4 & 15 & 24 & 12 & 36 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 4 & 0 & 2 & 4 & 6 & 27 & 9 & 9 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 2 & -1 & 1 & -2 & -2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 10 & 8 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 18 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{12}{5} & \frac{2}{5} & \frac{17}{5} & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{4}{5} & \frac{3}{5} & \frac{12}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{6}{5} & \frac{13}{5} & \frac{13}{5} & -\frac{8}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{24}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{8}{5} & \frac{13}{5} & -\frac{12}{5} & -\frac{6}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{6}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{48}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{8}{3} & \frac{5}{3} & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta