Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-188-44-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 4) × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(2w4) + E^(w1) + E^(w2) + E^(w3 + w4)
Bundle
O_2(2) + O_1(1,0) + O_1(0,1) + Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v box O_2(1)
ZL62 label
3240.AwB10
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 44
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 188
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 188
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 140
$\mathrm{c}_2^2$ = 102
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 56
$\mathrm{c}_4$ = 14
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 2 0 x0 + 2 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 33 0 0 x1 + 5 28
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 44 0 0 0 0 44
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 39t + 108t^{2} + 39t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(413)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 52176t^{8} - 58976t^{7} - 24016t^{6} - 4704t^{5} - 424t^{4} - 440t^{3} - 72t^{2} - 4t + 1 \right) \left( 708989687150300979595024973184t^{29} + 1134638811176200039928263777920t^{28} + 2323229539035412642000985312544t^{27} + 6094407606806158779893988962592t^{26} + 9358090547823777354337013889792t^{25} + 9015773935939449048171681773184t^{24} + 6239123729810293997472077769992t^{23} + 3389636665817024435989565476240t^{22} + 1492234402339565121249409962672t^{21} + 524422508678416625747895829048t^{20} + 142238761918724038423006793024t^{19} + 28772646035662302340962500944t^{18} + 4204754007255548163018530996t^{17} + 432404467727780671198041856t^{16} + 32141148132834082072687874t^{15} + 2525899502891975771815168t^{14} + 523357881577965553639268t^{13} + 169523348128106920363432t^{12} + 41286140660262928224796t^{11} + 6470910877297860288377t^{10} + 635448440263574477483t^{9} + 39752958231966789285t^{8} + 1814728621615360806t^{7} + 81487735163772584t^{6} + 3781481771527844t^{5} + 125758349092030t^{4} - 1029651991836t^{3} - 74175843756t^{2} - 892246452t + 348928 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) \left( 13317208530031477408086008280305418240t^{39} + 15640301633560788274915367793554380800t^{38} + 28106231037906821941240701511403612160t^{37} + 88187366025483610150732306076826453504t^{36} + 105821808886594805623819061128381214208t^{35} + 13313034664895523901234065651874165248t^{34} - 106309559465994898592822301391755548160t^{33} - 157893625234365586869861343192791974784t^{32} - 137950663555533129616187357360807561088t^{31} - 89813416668226978558750538442707997696t^{30} - 46585767729669673796234485464661081984t^{29} - 19525928928031035902485801858014566624t^{28} - 6587132399764013746543557422812583904t^{27} - 1773297022497242842391791799049373376t^{26} - 376104907314007280491529767068200992t^{25} - 61042434514438480967961646425471912t^{24} - 6943665424640714616673175823854120t^{23} - 378297232420752119675651724134704t^{22} + 24184923592608869689023263953680t^{21} - 408804408744708661907058953184t^{20} - 3733325743600010418220462459344t^{19} - 1271258856145695471385086971484t^{18} - 255881761184465693977576922932t^{17} - 39166612180807782720525710018t^{16} - 5203371447990774756108228378t^{15} - 618783305214169460397780772t^{14} - 65632165735472356934605340t^{13} - 7289877199118733410266512t^{12} - 976415258515156243581322t^{11} - 120439207556324220895217t^{10} - 10487909587030520694657t^{9} - 601474524476750182252t^{8} - 24939785978443278830t^{7} - 966218085601390020t^{6} - 39359531449008652t^{5} - 1230113093680112t^{4} + 8634099643908t^{3} + 578047347820t^{2} + 6252703724t - 2093568 \right)D^{7} + \left( 671187309913586461367534817327393079296t^{40} + 1023727163903856499645690853945286246912t^{39} + 1987032298259963022394620742697809433088t^{38} + 5845043722485284564173517710748190190464t^{37} + 8662446548195684124231228247308176989824t^{36} + 5845226709670714784847040072721294295168t^{35} - 45744575519732623153581663247570841472t^{34} - 4076072218625786152150182079958268173088t^{33} - 4836652487192359278266311346846649490752t^{32} - 3672299798886387247752226775221898027616t^{31} - 2122777285881030438759947626998167604000t^{30} - 972104209276040786846177324331590949216t^{29} - 354577407077721849987750054563824709584t^{28} - 102644468633793558634206087083468633536t^{27} - 23424101762986567711532553688923039216t^{26} - 4166249002939174194214499048519388536t^{25} - 564700404163022974254952080776710352t^{24} - 55474764988922491905801483043579752t^{23} - 3512929286938299666159406375318736t^{22} - 156714922071693982404785455421912t^{21} - 52145340116749872035196220334316t^{20} - 24197403121410709930733055662424t^{19} - 7073767982492300254824042195588t^{18} - 1487868122056453279921104285144t^{17} - 233375893668284560757530050058t^{16} - 26494635910631091394073124022t^{15} - 1895597157320918349654587088t^{14} - 3811832322508658407646332t^{13} + 26069699449658842178498402t^{12} + 5334242375599293471872076t^{11} + 658248961149445950169385t^{10} + 52980934534410249727841t^{9} + 2822187280727270671812t^{8} + 111970115857117131194t^{7} + 4177858485286095152t^{6} + 149731826970128376t^{5} + 4125713372570768t^{4} - 28522259914468t^{3} - 1608144050772t^{2} - 15125685428t + 4536064 \right)D^{6} + \left( 4623734801626928956087462074922041212928t^{40} + 7438227873488033925836664492940468431360t^{39} + 15544126224564102200231080467844254165504t^{38} + 45678928526552254304859688115576254090368t^{37} + 71933732722138196219695696383076127316096t^{36} + 61676720108906823339319563329654894671488t^{35} + 27479166808442065220086956122823383662848t^{34} - 1052963406340874185181741619478753574496t^{33} - 12966859927735926711537795131094940241472t^{32} - 12971603709140396322804116576836601414304t^{31} - 8438056086602323043972630855852876865472t^{30} - 4088888856991144811426762815840378553760t^{29} - 1522013272858705677159614441860520960480t^{28} - 439517811239545630175826503188445798528t^{27} - 99121790835403586099680789620577978608t^{26} - 17689717397966759186449742142320629384t^{25} - 2604509869631407704084179424905772752t^{24} - 358863479588732601857141258142869592t^{23} - 59159826607255561277407977816330352t^{22} - 13062585698976248580366270100756344t^{21} - 3157470915917526486022035862513800t^{20} - 681887097100609908904389876535644t^{19} - 120080039053010897533694329789360t^{18} - 16664218290962510955280592509956t^{17} - 1805386748685512268014602657334t^{16} - 154363199377052335910907150562t^{15} - 11084791881643580175821657904t^{14} - 836929703019682386652522448t^{13} - 92236086210006716787782536t^{12} - 12451731908056599406478316t^{11} - 1385375331065487032770001t^{10} - 105885228307582033548913t^{9} - 5246005587126163148058t^{8} - 180916061259237005906t^{7} - 5688026322042682852t^{6} - 180220904656804152t^{5} - 5222604240359276t^{4} + 36285494066500t^{3} + 1816179696780t^{2} + 15077204852t - 4187136 \right)D^{5} + \left( 18979685597000861602004179001091282075648t^{40} + 31837309365507398921876407638519713029632t^{39} + 69346811430363706207818006543064766977536t^{38} + 204426011330935835945368107808526410776960t^{37} + 335711175651690697868488592189682656251008t^{36} + 323654349529465688710077419349968678923392t^{35} + 201610124805463013479625001250112480916864t^{34} + 79158137358186071390330764740181128705888t^{33} + 7802414585575208907734727668021844063552t^{32} - 17201333356083637135211617039000022614560t^{31} - 16983575779774727264769059926612886929824t^{30} - 9549991434486673091250607161066316430880t^{29} - 3784325842652413928509454385001723781392t^{28} - 1118698912100415255023961767860379219584t^{27} - 253980794949947996804945279405540084112t^{26} - 45624508355369063779303318443175238168t^{25} - 6821819124880384401262096912719109304t^{24} - 934706001975178304622575136579560928t^{23} - 139151093621129879500324053337328336t^{22} - 26937318363766505393834125720061696t^{21} - 6307247402068155873063867642383244t^{20} - 1387965314464025917473245352404784t^{19} - 246248632064762200187932048809216t^{18} - 33416948276236395095608150519524t^{17} - 3414059657802116581205857960516t^{16} - 261296232109959416502693521956t^{15} - 15162959522260154622881986068t^{14} - 685844786744866922004528208t^{13} - 12183089367629555773101370t^{12} + 4102714341846941310269805t^{11} + 785652656651754429876797t^{10} + 73879525405659720860153t^{9} + 4193066914567796708781t^{8} + 162503330099330312072t^{7} + 4769133231573368852t^{6} + 107579007746957058t^{5} + 2575050438574310t^{4} - 14445973411804t^{3} - 728783819508t^{2} - 5305651448t + 1395712 \right)D^{4} + 2 t \left( 23677996766395966831576922722383033630720t^{39} + 41052825865278526388962407380621780094720t^{38} + 91594738991147093820778278820162562507520t^{37} + 271252119501077722822148748116058323877312t^{36} + 459262334074204979799722717431619444725440t^{35} + 473883274994529387927815106689572845870528t^{34} + 337676107230983440446648316188433044000000t^{33} + 177730687726908287879191516104138079953072t^{32} + 66349001376903190985590398682306145730528t^{31} + 11424034235868833300541334521092908167120t^{30} - 5400276971916017968235143039857885167936t^{29} - 5627508980195692627107570992834792894256t^{28} - 2665168095643728658877038978883836953184t^{27} - 852892419303889295427359945875708070992t^{26} - 203663932651609359831653998710378200232t^{25} - 38771174616671244745433008654402829948t^{24} - 6378694536703136494197971604658422820t^{23} - 1016045042104910899620777612155860992t^{22} - 182335323298094904141397264484528312t^{21} - 40484756880605278418002183767558180t^{20} - 9737090249209214381438302815385092t^{19} - 2060095851074925496260018047313546t^{18} - 343953716202675015605594439419138t^{17} - 43894226232433405942323926915952t^{16} - 4303904737179760696260422614960t^{15} - 337340174427651562173103996586t^{14} - 23101755452109255017213165550t^{13} - 1521099117514110450691581754t^{12} - 92568188694944127737213168t^{11} - 4184106199590618656996043t^{10} - 72933846275561595015901t^{9} + 6213269585102666291065t^{8} + 623629300015150618287t^{7} + 26826180414589980896t^{6} + 582068562434088268t^{5} + 7761237965630130t^{4} + 4177136810870t^{3} - 628181477548t^{2} + 853117980t - 196736 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 8729874098386634490247314628016211836928t^{38} + 15537203135455862913025312112935938909696t^{37} + 35163167594388030689569582411432327302144t^{36} + 104623886187493913697899433817349738960352t^{35} + 181226918931074778105191468628343061781984t^{34} + 195236593705471336926542633202241180464864t^{33} + 149241740444879546294362459319922728726688t^{32} + 87821262365724733303747913209529929849848t^{31} + 40252588525698692267067550862056358020592t^{30} + 13283303891600957721432264949348687358304t^{29} + 2291657060550007011339432244310469859664t^{28} - 416031840030692457496484203972165478560t^{27} - 461522407121444032505486200914410030472t^{26} - 183906560467183697987921097529041748136t^{25} - 49573016210356457825159970346585666044t^{24} - 10532166648592989480107313342772779210t^{23} - 1966092991182002317275329736629357342t^{22} - 358339978439841270899532508717335310t^{21} - 71511293424623348704967628468515394t^{20} - 16444612740109588636785065200271010t^{19} - 3847354982859075357726737681381224t^{18} - 772917456070191961285501839064467t^{17} - 122047709296421712924542048172811t^{16} - 14799482854558506077494866155490t^{15} - 1399619078660973232171159191258t^{14} - 109001507148560214170767138258t^{13} - 7625088883576675053097566876t^{12} - 500376553637489108092581567t^{11} - 28084868382402449108849815t^{10} - 1059974458688026296080304t^{9} - 6302269885072453854222t^{8} + 2230842947710194736760t^{7} + 160748963566667279652t^{6} + 5441206468201870260t^{5} + 96120817939643480t^{4} + 1053917647666916t^{3} - 1413618008700t^{2} - 102489463712t - 5582848 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 1153270258700725943540248317074449219584t^{37} + 2095339302871714537354430121105606107520t^{36} + 4782917228421982602468497708071205142912t^{35} + 14290315333349756761901220474049496328384t^{34} + 25182086598027420738541468374974552763840t^{33} + 27924638897760051647350760976565080854400t^{32} + 22254371576456247095403674736759662163360t^{31} + 13864501045451495872873150900454051622384t^{30} + 6910163093076105065076658366860301071296t^{29} + 2663808668497644773119686830499709498840t^{28} + 726325040594212870394513253378501353984t^{27} + 105219679691572698038246132718943081648t^{26} - 12435747079411297461436286145596708320t^{25} - 12714046229691607569147435834139536576t^{24} - 4428823058011954105531222700012120176t^{23} - 1110432934529417236426457786065929568t^{22} - 238648912511622860458388386247661304t^{21} - 48823714918557884253145535798863838t^{20} - 10455954064907491287892215057154110t^{19} - 2423880473288545659657525521763774t^{18} - 547342399992853031082647618762846t^{17} - 104806699486578902506811809386812t^{16} - 15797721452179228693688335805708t^{15} - 1842727389834592669125646656648t^{14} - 170262962378365653750927190514t^{13} - 13253987312788456364162736005t^{12} - 935612473370938870316976145t^{11} - 60054154666795144074806744t^{10} - 3104162843375021854647096t^{9} - 96143917096527024645678t^{8} + 862862916918304284598t^{7} + 283160387489746074102t^{6} + 15864365449182044934t^{5} + 440386635315937168t^{4} + 6482707925547840t^{3} + 46052369790204t^{2} - 192993788500t - 3983550048 \right)D + 1152 t ^{3} \left( 15536743285036723642767009660356321280t^{37} + 28676274871695614306241935335701652800t^{36} + 65798281579837830646236553268900447040t^{35} + 197246594728795221706851726318366008832t^{34} + 352006406331733546161475070310154511616t^{33} + 398090101725556261557197960028313231344t^{32} + 325661296405606490690564526987259641408t^{31} + 209685107307029155678517086148296266000t^{30} + 109168341382868697871221832660069056512t^{29} + 45032009211882019611589618827395445464t^{28} + 14008601132528730640719560494607701568t^{27} + 2986124132181695802052695349611083712t^{26} + 294384012012576000417714283942479656t^{25} - 65438847702949457444286619730775100t^{24} - 41416148580682820582034743608836972t^{23} - 12814856871442276834666030871552036t^{22} - 3131842151400004555707857087997220t^{21} - 696552067561629434436116326446650t^{20} - 155438763573490363113744873417906t^{19} - 35910222508766403524660176030500t^{18} - 7861555481609949224477762811524t^{17} - 1449562349249300952682662950458t^{16} - 210935327666315277528633015590t^{15} - 23925310139711504875616664742t^{14} - 2177841002890202289108892200t^{13} - 169700848109228737121027883t^{12} - 12010499002508410875467225t^{11} - 753803676767823294929807t^{10} - 36563659323413620263803t^{9} - 954865255295610288164t^{8} + 22403531449440187950t^{7} + 3549007215269802446t^{6} + 167929203553483092t^{5} + 4037857324169598t^{4} + 52421216620838t^{3} + 159593800072t^{2} - 2689686200t - 10598688 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 4) × ℙ4P4

|λ| = 12.78514 λ ≈ 12.78514; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.201082 - 3.940151i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.201082 + 3.940151i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 2.131284 - 3.322913i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.131284 + 3.322913i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.659369 - 2.157238i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.659369 + 2.157238i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.6731935; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$12.7851408$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$12.78514$11
$-4.201082 - 3.940151\mathrm{i}$11
$-4.201082 + 3.940151\mathrm{i}$11
$-4$21, 1
$2.131284 - 3.322913\mathrm{i}$11
$2.131284 + 3.322913\mathrm{i}$11
$-2.659369 - 2.157238\mathrm{i}$11
$-2.659369 + 2.157238\mathrm{i}$11
$-3$11
$0.6731935$11
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{8} - 4 \lambda^{7} - 72 \lambda^{6} - 440 \lambda^{5} - 424 \lambda^{4} - 4704 \lambda^{3} - 24016 \lambda^{2} - 58976 \lambda + 52176\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{8} - 4 \lambda^{7} - 72 \lambda^{6} - 440 \lambda^{5} - 424 \lambda^{4} - 4704 \lambda^{3} - 24016 \lambda^{2} - 58976 \lambda + 52176\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 6 & 8 & 6 & 12 & 6 & 24 & 8 & 24 & 40 & 40 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 4 & 8 & 0 & 8 & 0 & 12 & 12 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 6 & 6 & 6 & 16 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 6 & 0 & 6 & 12 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & -1 & 2 & 1 & 3 & -2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 4 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 4 & -1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$