Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-240-54-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ3P3 × Fl(1, 4, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
2 copies of E^(w4) + E^(w7) + E^(w1 + w4) + E^(w3 + w8)
Bundle
2 copies of O_2(1,0) + O_2(0,1) + O_1(1) box O_2(1,0) + Q_1 box Q_2,1^v ot wedge^3 U_2,2^v ot U_2,3^v
ZL62 label
3058.633wHw2
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(4;4,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(3;3,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 54
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 240
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 240
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 156
$\mathrm{c}_2^2$ = 100
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 52
$\mathrm{c}_4$ = 16
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 8 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 2 0 x0 + 2 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 41 0 0 x1 - 11 52
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 54 0 0 0 0 54
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 49t + 140t^{2} + 49t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(214)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(293)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t - 1 \right) \left( t + 1 \right) ^{3} \left( 9t^{2} + 3t + 1 \right) \left( 11t^{2} + 9t - 1 \right) \left( 37t^{2} + 11t + 1 \right) \left( 101t^{3} + 36t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 1922053761467897195508586416t^{33} + 15623248615735841153746248528t^{32} + 63778891817391105705987301200t^{31} + 179268188247886442181717833028t^{30} + 391806262964511097911372830946t^{29} + 694996927801090558159960471446t^{28} + 1010357534090961978844854217308t^{27} + 1206116490900718665534944158556t^{26} + 1185015295215747076827924490708t^{25} + 960268719831409826754843403854t^{24} + 641369395588720231709358258828t^{23} + 350944864202392190933737908104t^{22} + 154980921422455993830140925880t^{21} + 53518846394831015647578139098t^{20} + 13434053737596556063447072274t^{19} + 1903893608903688238893181872t^{18} - 148867823906829118617580898t^{17} - 172808407258740617898305606t^{16} - 53314171708459466605372367t^{15} - 10037833041394200935773729t^{14} - 1202735466247289361811668t^{13} - 67919697637939461217209t^{12} + 5653815682859615202646t^{11} + 1826891568263337315997t^{10} + 219664047342528616858t^{9} + 14954920681237345851t^{8} + 524517772544489162t^{7} + 1188317940145731t^{6} - 342531492914666t^{5} - 15829069524097t^{4} - 318048604143t^{3} + 3328310612t^{2} + 58081084t - 294720 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) ^{2} \left( 76797587781426346215329860872041664t^{44} + 780580834600719907089950859090341568t^{43} + 3941289309853209530390717194681020480t^{42} + 13412445416002244547745334934950209932t^{41} + 34871653318903081481201939408091668616t^{40} + 73428042433665708330826137298355554740t^{39} + 128337006193446249699904616582161041660t^{38} + 187937025756147799767665085173152525212t^{37} + 231590129701007414920619373066688194396t^{36} + 240871544096293150297382480295219205374t^{35} + 211877239806972932459331758403217933228t^{34} + 157633989988257235773543863840307847510t^{33} + 98875197033537021815245154374058501736t^{32} + 51847448034875022537084630415860931116t^{31} + 22334890767094829879254504011720565936t^{30} + 7622723392247674914392650605816778522t^{29} + 1883946071845071084095784380544491524t^{28} + 230495158449773143869736985263003638t^{27} - 54505619678394753077800476329411242t^{26} - 41348714613309888499726657671788050t^{25} - 12783431844541017644318770209556150t^{24} - 2225871806385957184433592587242585t^{23} - 81707728473210264668924972439318t^{22} + 79806354022688668351451296162970t^{21} + 28305830735480808822992465219026t^{20} + 5537179918384060466173143238077t^{19} + 720120963703532591866784566530t^{18} + 62913693714736059293401347746t^{17} + 3909698880282203339221521046t^{16} + 352467867733540397527933061t^{15} + 60244328192270249197661582t^{14} + 5600523015196967390442668t^{13} - 544644695771975793729526t^{12} - 256149566507096493246239t^{11} - 41228752963315406310302t^{10} - 3925647379704823027398t^{9} - 227200492925293895010t^{8} - 6759674119253346603t^{7} - 3944342599729490t^{6} + 4046129891269314t^{5} + 161594077130870t^{4} + 2844554406583t^{3} - 26485566248t^{2} - 409220068t + 1768320 \right)D^{7} + \left( t + 1 \right) \left( 1164763414684966250932502889892631904t^{45} + 12573670955888978756183754859576362912t^{44} + 67355746379344042577933239629331747200t^{43} + 242561183437822582511285119727712254964t^{42} + 665736652928136607839790283175538057344t^{41} + 1478940884368970373736702012730138724072t^{40} + 2731844038765611384906433722290224403568t^{39} + 4242390711476592209803928882501711066472t^{38} + 5567501780185171234392811923493265616036t^{37} + 6196384123051862123197690780233574745538t^{36} + 5864396626088559167855453479092676336582t^{35} + 4726139042352425329165680193059476812994t^{34} + 3240367124073679190653578737250414335758t^{33} + 1881990800212573739055023095524234160960t^{32} + 917223641334070324750408447283656752476t^{31} + 368361207475218292792762254356143262686t^{30} + 117543409399734129544957056195801047382t^{29} + 27272195669579900056529946366595211414t^{28} + 3176607700403986798499282113930719208t^{27} - 676398525381439385306415869385535332t^{26} - 499479680913251043033629789312586312t^{25} - 152181331809572312846885458216548315t^{24} - 28429453890102525561927053284984259t^{23} - 2626751910886015225121866867853080t^{22} + 266614477402688661154394004368112t^{21} + 154338068881172699903686429057755t^{20} + 30743273748845627246075004798035t^{19} + 3142411906482896196622696743040t^{18} - 71569826903216991614318575248t^{17} - 97615623064045307528088393137t^{16} - 21494308061768176118765157405t^{15} - 2918788485190937064243917226t^{14} - 260152173145589775549016850t^{13} - 11479031477432187331869237t^{12} + 669258090827540283369031t^{11} + 181646589400722419336764t^{10} + 18062976483976051657704t^{9} + 1034372593611565451959t^{8} + 30859489002418221003t^{7} + 56240183164703308t^{6} - 14221037711852880t^{5} - 533830081837763t^{4} - 9575180108609t^{3} + 63661716676t^{2} + 980963356t - 3831360 \right)D^{6} + \left( 9676496060459719623131562469877249664t^{46} + 111140404586031945504780164271017218176t^{45} + 632260313908770443694109131385620063072t^{44} + 2409959011554148525214680066260677546052t^{43} + 6978574950767676405632263428787160209752t^{42} + 16333842857153783576586848804161168812648t^{41} + 31819741800031926507942829966218681798252t^{40} + 52257171084214517372545377586282743486816t^{39} + 72786802866371197384267221589657303004580t^{38} + 86318120759613844544717190332482147999542t^{37} + 87420262387517233786356963472534692956908t^{36} + 75760282845142049752012331976196528417884t^{35} + 56193589384769925325329994489462861566168t^{34} + 35588267226299198568557831487924080175166t^{33} + 19125468902159547185193892950646208685028t^{32} + 8616740285981055566450427000248850573522t^{31} + 3180844774865577104307214943700847812460t^{30} + 916860321310047591959188809009850619688t^{29} + 180410582330384651817416756238000953280t^{28} + 9126041769779352058235668593122879088t^{27} - 9844712476598737962214426871506540498t^{26} - 4852865853998145308742324891309788497t^{25} - 1361676100232768431827412153336546680t^{24} - 264260324138604440133537604604706233t^{23} - 34763161343514460553539166835437002t^{22} - 2287803148616620355233993524022715t^{21} + 191876300382134155891914662554180t^{20} + 76465350643611605406753845451545t^{19} + 11082981238306996715204268611606t^{18} + 1034521041388962631089866795229t^{17} + 101453953795694868821702010028t^{16} + 18481335138117001080432574559t^{15} + 3444274911876008696317023626t^{14} + 426949527180289332781801351t^{13} + 28425508395351659655124448t^{12} - 275538310202622039055083t^{11} - 280303372080710908197722t^{10} - 31313652242416084625475t^{9} - 1826065423815030268052t^{8} - 54076974827934458623t^{7} - 58656900376439502t^{6} + 22692745492901723t^{5} + 732469934972180t^{4} + 13007151299441t^{3} - 61122256144t^{2} - 958770940t + 3536640 \right)D^{5} + \left( 47889695780701112394109445742123980976t^{46} + 537768181875695608571997600465780927744t^{45} + 3001844075906595637291912371198857563200t^{44} + 11279994264794743939836061676663630627448t^{43} + 32340010881918557210606995410960791739246t^{42} + 75131891855302087164344118731077294567872t^{41} + 145337233645380175231083759950111561888046t^{40} + 236787920699411894643722783191426491292680t^{39} + 326726615079022698333062598490576005810516t^{38} + 383318307376424451899005836736793371478136t^{37} + 383601652938612116073484412765641346276842t^{36} + 328123482244502188517284845417863388832260t^{35} + 239918808951393317585937207685779842995116t^{34} + 149530477039847993029129605119650533860288t^{33} + 78878206146922678354193921330715687266304t^{32} + 34731251286793301450981256280198804049508t^{31} + 12426147238289383267916251425421337531284t^{30} + 3403050555476547122169548442218635458236t^{29} + 589925014820713031054608721549366592753t^{28} - 11124070387099846701444468585387017240t^{27} - 52720074067828105697776024150296178323t^{26} - 22406784027160244017603560080345794434t^{25} - 6010307949145955465971675550042689217t^{24} - 1152698332718733684236482086807407616t^{23} - 154503762574955368862952821176454281t^{22} - 11296481932384749219112474840644534t^{21} + 611717658042990418988645415703391t^{20} + 328436719113921327722340697066236t^{19} + 52240730879288070020948576824459t^{18} + 4410550191090643772530060198522t^{17} + 36882849989868797916719779213t^{16} - 47871925261261857523700963340t^{15} - 7783645631165746937048764385t^{14} - 699092907370914888171781082t^{13} - 35878702455128268160549841t^{12} - 61003709133377883839248t^{11} + 190786273988589757650805t^{10} + 20771440971288790129714t^{9} + 1174063148525732936161t^{8} + 33849727009013913556t^{7} - 2249496839888693t^{6} - 13594453198433882t^{5} - 362684208804580t^{4} - 6350202689392t^{3} + 18741112688t^{2} + 331736584t - 1178880 \right)D^{4} + 2 t \left( 71767345781742920538225754984922935008t^{45} + 790915322815631068816800976363266081312t^{44} + 4346092175702536148222660363050237287120t^{43} + 16141222779764533686806628697928379903240t^{42} + 45902304981380742986596248232211801967300t^{41} + 105975601299360761520180985307593149156948t^{40} + 203737208308333563309632396289410394895092t^{39} + 329539650242125829961913027970247143254716t^{38} + 450803893605789776407310365085120263479390t^{37} + 523663312520939205259250357410938117764244t^{36} + 518271271868847248297322550463472720954080t^{35} + 437921257811695032587520930641928066247092t^{34} + 315869419019340358553776063676006835653412t^{33} + 193831549219299741058648715549293429937288t^{32} + 100370253004851247071250556643363990350654t^{31} + 43160067453898282856577267330755828422752t^{30} + 14926087125550970098165074989610275159318t^{29} + 3847582206600785352897374262502886204832t^{28} + 554572382043560170855309882601325511713t^{27} - 75827413048962026544450361241574392952t^{26} - 82133496479381123471745561328086930617t^{25} - 31304994464717901190941549836227215248t^{24} - 8025300138376155575259310813152631473t^{23} - 1501765159582492327996689955108810018t^{22} - 199385772227225786998701943229281247t^{21} - 14981151918747800332027449588163876t^{20} + 600674879745451526246753728046099t^{19} + 388916858870495830717543849937062t^{18} + 66440766587654546404203924256267t^{17} + 6974688749059528492462517520108t^{16} + 469777931961819469457233789823t^{15} + 17308950184604318371669255414t^{14} + 121810799843096757193550551t^{13} + 6936566734654272432279824t^{12} + 4171057829576183465392261t^{11} + 414669726985527864303642t^{10} + 22011911761730286143687t^{9} + 907527409550142534840t^{8} + 21848556788803875539t^{7} - 150103434506251202t^{6} - 12006003907724313t^{5} - 54625997521820t^{4} + 2932629721504t^{3} + 58492252810t^{2} + 27199840t + 78592 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 62997487910369484169025170039229510544t^{44} + 683812363154805977854607047428377213376t^{43} + 3710174432545978389191879712748128864672t^{42} + 13650752000228782459785599283404339274264t^{41} + 38568230492026918221127488991864943297358t^{40} + 88589169300308402448916105043141262963936t^{39} + 169417355200427310438046100771207683230570t^{38} + 272307297435987285275090825073232212875028t^{37} + 369706172927716431975636839907566086921416t^{36} + 425723893491974063381655090982898949290592t^{35} + 417227847651980090656732307598342304234548t^{34} + 348715454542281149784802108475968747166912t^{33} + 248456618352318540080263322311572638418580t^{32} + 150312513824817929494558822412346658700508t^{31} + 76502363636711416465983873454555126240218t^{30} + 32159556982417973831726104252564616628520t^{29} + 10751590546688001996227427996556526804484t^{28} + 2596177014524965469130451199878955713496t^{27} + 288275969029427186019842188323658173617t^{26} - 99015910976805202432845777867994012168t^{25} - 72209961236322059670452928947666045923t^{24} - 25463860513118155818870972494312991644t^{23} - 6266816469103517500661206912252317999t^{22} - 1136578574226929308402305201450371372t^{21} - 145781898142370187336707750576845201t^{20} - 10098901266056027196537326359974496t^{19} + 640564531755010194113310728139835t^{18} + 316219569182870110331162028401960t^{17} + 52945023908253245097079592112825t^{16} + 5697762956022546127868417572724t^{15} + 423856111248636210062721412117t^{14} + 21724928210838371002990903728t^{13} + 820410598888680842466164311t^{12} + 38415129803377831190016904t^{11} + 2975708466330289121300751t^{10} + 189516534670597901966696t^{9} + 8509278545951939388633t^{8} + 285286283880370643608t^{7} + 2521847150701285391t^{6} - 160430536683212324t^{5} - 2616351730904703t^{4} + 56416177126296t^{3} + 1606326391380t^{2} + 20372591248t + 4715520 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 9740494050277574911644337353937284384t^{43} + 104493308332776241798337898721219354656t^{42} + 561399027369679602223461446995747387152t^{41} + 2050634298667182772435603825650217196112t^{40} + 5764780649156174077061673326361378540672t^{39} + 13188247713579774697141094256178456473708t^{38} + 25113759194234403233243200846482989638092t^{37} + 40157044956189555622862955595290572145600t^{36} + 54180387648180524309767950177958218173166t^{35} + 61938675562412820282924649617244306800800t^{34} + 60207486337137976874953525018363755798318t^{33} + 49861076965615831946603543589391449670112t^{32} + 35157170495798394422667492399134534310756t^{31} + 21011276350177857638825092600765365500968t^{30} + 10533633868660574390625179574877629483518t^{29} + 4339253591299941561499163596129208443836t^{28} + 1405826234770841801033358689128571557722t^{27} + 317847521904979908748759531239435683224t^{26} + 24138980085240210795651132287037674199t^{25} - 18279451127876806251354218064543429788t^{24} - 10976726615735290726793486575852180799t^{23} - 3661018249425266918441611394212100208t^{22} - 871121400850867741965918600775465141t^{21} - 153392680619235904564432890192847216t^{20} - 18934596114692847738173250819146433t^{19} - 1172229691074003228421139005834352t^{18} + 116655232564775550737394308219069t^{17} + 46122851372298579448734449824372t^{16} + 7453347639084504147967679302731t^{15} + 795995305806955189411372824892t^{14} + 60258762932112190945229755205t^{13} + 3279971632956770347172746500t^{12} + 137191967104269838941457237t^{11} + 5848146400326830410476312t^{10} + 318848320900733479068611t^{9} + 16548613806472615134184t^{8} + 729489861990991691273t^{7} + 20143942132609764944t^{6} - 149567450910037343t^{5} - 18330830511024632t^{4} - 57619607126609t^{3} + 9007518782808t^{2} + 148782143964t + 1185770880 \right)D + 288 t ^{3} \left( 298657285816658013059616125613495360t^{43} + 3176950269068184967940098861986630240t^{42} + 16947791255090556541352633242819996080t^{41} + 61583728065681324933550479647258578080t^{40} + 172501040406726186381337678577409674340t^{39} + 393477192878780955165472077553617583860t^{38} + 746900068046164345183295669062199721180t^{37} + 1189638045316537927731109192252569722400t^{36} + 1597482182888867171575390615615516939950t^{35} + 1816174547535345235053465416365764923432t^{34} + 1754387495251390829476592503739874699714t^{33} + 1442666509571261565215031735762819851656t^{32} + 1009020835499276939697111029841836861648t^{31} + 597266844122745884239707201515759185540t^{30} + 295846760509919159579366268997509505885t^{29} + 119877709206812594944656668005295212078t^{28} + 37822303095440534214711950316947351429t^{27} + 8052928911191708653444777126008499208t^{26} + 339577680815948374586716554486459271t^{25} - 612334125196923937075054160477930530t^{24} - 329474945663411207705252565578624227t^{23} - 105691558495738196738314015519959752t^{22} - 24504476436727152509615638321962817t^{21} - 4209839370447010740170628103435910t^{20} - 501773496346495255844034547457533t^{19} - 27509895845899139895112510448988t^{18} + 3940835346040474414272640920805t^{17} + 1347169713524987579454668449970t^{16} + 210702702822105539623113943663t^{15} + 22159617506611649469226150824t^{14} + 1669885002249816660275540141t^{13} + 91625681162148670550863976t^{12} + 3868660472657370565144243t^{11} + 152635363990592990815256t^{10} + 6725042988835851105707t^{9} + 301764036283599632004t^{8} + 13847269022143154223t^{7} + 329576115836490348t^{6} - 6106560596168206t^{5} - 368182368223558t^{4} + 1078953851662t^{3} + 204984141936t^{2} + 2698478424t + 13925520 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ3P3 × Fl(1, 4, 6)

|λ| = 10.09017 λ ≈ 10.09017; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.5 - 2.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.5 + 2.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.474527 - 5.734048i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.474527 + 5.734048i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.050946; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 - 2.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 + 2.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.09017; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 1, 1 3
Sector dimension
13
Spectral radius
$10.0901699$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$10.09017$11
$-5.5 - 2.598076\mathrm{i}$11
$-5.5 + 2.598076\mathrm{i}$11
$-0.474527 - 5.734048\mathrm{i}$11
$-0.474527 + 5.734048\mathrm{i}$11
$-3.050946$11
$-1.5 - 2.598076\mathrm{i}$11
$-1.5 + 2.598076\mathrm{i}$11
$3$11
$-1.09017$11
$-1$31, 1, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{3} \left(\lambda - 3\right) \left(\lambda^{2} + 3 \lambda + 9\right) \left(\lambda^{2} + 11 \lambda + 37\right) \left(\lambda^{2} - 9 \lambda - 11\right) \left(\lambda^{3} + 4 \lambda^{2} + 36 \lambda + 101\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda - 3\right) \left(\lambda^{2} + 3 \lambda + 9\right) \left(\lambda^{2} + 11 \lambda + 37\right) \left(\lambda^{2} - 9 \lambda - 11\right) \left(\lambda^{3} + 4 \lambda^{2} + 36 \lambda + 101\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 4 & 9 & 9 & 9 & 9 & 3 & 32 & 16 & 20 & 30 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 6 & 4 & -12 & -6 & -9 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 2 & 4 & 4 & 2 & 0 & 6 & 3 & 3 & 12 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -4 & -9 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & -1 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 6 & 4 & 2 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 4 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & -3 & 10 & -5 & -4 & 0 & -4 & 10 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 & 5 & -12 & 11 & 8 & -1 & 4 & -12 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 5 & -4 & 4 & 2 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{11}{3} & 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$