Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-249-56-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2 + w5)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1)
ZL62 label
13040.wIx4200
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 56
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 249
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -4

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 249
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 162
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 50
$\mathrm{c}_4$ = 17
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 9 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 4 0 x0 + 4 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 44 0 0 x1 - 12 56
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 56 0 0 0 0 56
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 51t + 145t^{2} + 51t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(97)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(144)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 963362t^{10} + 69209t^{9} - 631984t^{8} - 426480t^{7} - 151596t^{6} - 34132t^{5} - 4205t^{4} - 252t^{3} - 4t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 2392050006207371599147875051456t^{30} + 13462306779995456073477616311040t^{29} + 38571381347689269223656630246928t^{28} + 73948172718259169563496002596792t^{27} + 103425631143305546499867292587398t^{26} + 109442110571351698712856283548382t^{25} + 89785881231936912161880347759600t^{24} + 58494528584161379790694941460989t^{23} + 31097657605391834260083908175069t^{22} + 13916711126475871665079714948004t^{21} + 5407200867484070377626725636617t^{20} + 1861920350983243824339904076335t^{19} + 567948635532026065354106821568t^{18} + 150170463512290293699201528506t^{17} + 33298819336394679955971476288t^{16} + 5974393603790212467298401344t^{15} + 833885993407125292003367739t^{14} + 85430922920939276235747407t^{13} + 5580386193016685988817571t^{12} + 89893979538155685783185t^{11} - 24554609712176287996346t^{10} - 2775314526848069344306t^{9} - 126512493690350539156t^{8} - 1196038011963007728t^{7} + 78444904225120152t^{6} + 724771809636504t^{5} + 60491367810672t^{4} + 2258098762872t^{3} + 26313327288t^{2} - 178741656t + 2246976 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 165917525621756106131877254783094365184t^{41} + 1024950459236753769889742813936943839488t^{40} + 3136433029605076019252174509497132667136t^{39} + 6231029234130768867977892192961920225888t^{38} + 8674346145911333743439690509462347037888t^{37} + 8412351426454385242883029468517108803896t^{36} + 5021674194043760618113735054855426995076t^{35} + 413921050710434783095681704784748785438t^{34} - 2912109647256853612224007959133415291288t^{33} - 3924691617223834161440633416937501867623t^{32} - 3262772940681239629153210239032960102806t^{31} - 2075027282651684002710858294473561450344t^{30} - 1090343513176974069977579741501160029902t^{29} - 493671412485534514990427346534763312487t^{28} - 197291166081352757231682982363882685891t^{27} - 70268374954672158160292533561625427918t^{26} - 22257587015066290848008563916679020106t^{25} - 6210985415017131751279817593965135450t^{24} - 1508137632560414176587616278803626912t^{23} - 314651737661864371812942080553806359t^{22} - 55732692761578646120327810374277682t^{21} - 8293162115478266071263286218944951t^{20} - 1032361126424015173124421856621695t^{19} - 109761574863251136222752980226712t^{18} - 10930621501263044362883512661101t^{17} - 1211056982083012132400728579424t^{16} - 154603639922784962295199148839t^{15} - 18612991847266347647764175346t^{14} - 1718405101323483103714257131t^{13} - 96991250816192012359953716t^{12} - 316246744701733735505993t^{11} + 500265605582915595885916t^{10} + 45889303189112870871750t^{9} + 1802997339274920508616t^{8} + 13383644359926885768t^{7} - 958283518348722912t^{6} - 8620136326941168t^{5} - 616455690037008t^{4} - 20342161718424t^{3} - 211417285968t^{2} + 1278155304t - 13481856 \right)D^{7} + \left( 5032831610526601886000276728420529077248t^{42} + 33511577442543042415706545037557067182592t^{41} + 111200561181001191554310179622802154788352t^{40} + 242398719954953548522895052065535349956608t^{39} + 380095255425614981486882319984664270777120t^{38} + 441040083322135858768643414897004961969808t^{37} + 375886943506708174426000996680782476306592t^{36} + 220932566862556460115133701824166643202928t^{35} + 64381988192290166523132584304753582201394t^{34} - 30344779310325092665254871870294946980758t^{33} - 58242660375185113123006418054137364399895t^{32} - 48615015261791275769281319876648879263392t^{31} - 29756914400374324551538619137559040053686t^{30} - 15007802113132251506113870791085753283138t^{29} - 6550281662944732350528790043145978249799t^{28} - 2523493977929727279565903801695007737255t^{27} - 859349554476386380985246919384013729116t^{26} - 256368756721397070461579200301289812360t^{25} - 66128803760556389584791498910313327902t^{24} - 14538813164975664705234896585713909938t^{23} - 2680331069658861475444711408936386869t^{22} - 404642595823759924620202865468390040t^{21} - 47681929010604215546370205827327741t^{20} - 3784402529975509928992659377117227t^{19} - 37527828492942103673111035468068t^{18} + 52003051936339866059577646894779t^{17} + 11515224295577656607639868264780t^{16} + 1632102705245799256727080686037t^{15} + 173703504712602744829882480542t^{14} + 13744583192774130284658080797t^{13} + 700828380276363694647962880t^{12} + 6461341897272518013910785t^{11} - 2472243057815420933882352t^{10} - 227049665769963438279822t^{9} - 8812773244971156709456t^{8} - 75818079409134750528t^{7} + 3831399161244523344t^{6} + 24967335435288216t^{5} + 1965986777682192t^{4} + 65694091690056t^{3} + 604964330640t^{2} - 2962508760t + 29210688 \right)D^{6} + \left( 41811216456682538745233068205339780026368t^{42} + 277742179846230433571790536060197650123776t^{41} + 926250385008804740652634921664764816675328t^{40} + 2044981292334884519959331635111061063962496t^{39} + 3277728634672464666717878192681018929227968t^{38} + 3949095210567989134228607944189217888442304t^{37} + 3616378220630319926541030993390230616481816t^{36} + 2500411157522465586794164135071722843159644t^{35} + 1253209001354394450491780704546448782101890t^{34} + 381679951965985264720800654784869041484990t^{33} - 20145007217572817488751937620773289927625t^{32} - 118071951335960300577572943991389875278606t^{31} - 96281967984393153310501639984256772665172t^{30} - 55151696441102218245416090229719480743104t^{29} - 26001453065678401844081858963222634712267t^{28} - 10536187651616529807479213010063040960153t^{27} - 3691073514732826215692981037355818907090t^{26} - 1109019947127378861369363136028939260858t^{25} - 282539229535743157374713118601326145446t^{24} - 60321434812186680063593804465044048454t^{23} - 10653944756284177867341411662525750853t^{22} - 1530156249342750712461279440485030888t^{21} - 174073722210830831074439073691670923t^{20} - 15083694577196497871235210657644637t^{19} - 980305141261745382777835997036990t^{18} - 69005262024984125701231801507235t^{17} - 11584042923881808963741582650874t^{16} - 2283466109691079610366991750709t^{15} - 320788936873439902160277493520t^{14} - 30470110213494877825522858013t^{13} - 1806421436201984812176199454t^{12} - 37750103569272259137526091t^{11} + 3950272008513356684112936t^{10} + 422962081607004117564010t^{9} + 17002151183310573468368t^{8} + 160887719878311929136t^{7} - 7043820960721901880t^{6} - 37107811888693584t^{5} - 2486177270415168t^{4} - 91912936598712t^{3} - 714505248144t^{2} + 2812854744t - 26963712 \right)D^{5} + \left( 206926807371266823697472916256982522445312t^{42} + 1371854258110495737643616181115101022305536t^{41} + 4590151777558366855540543435410903551108864t^{40} + 10218968500052320941239144421500305612195904t^{39} + 16601365283728956304433555656670173186128688t^{38} + 20433853535657667981979646339360579875900664t^{37} + 19411329677238244799775081074642207112257932t^{36} + 14376692635363309724175156896262609400484710t^{35} + 8323734918493342022825146154427959156581164t^{34} + 3723051437381159233211146141950572090629828t^{33} + 1214237182136686173929305216895443383792396t^{32} + 208770195316027110070064553002787933729323t^{31} - 65636689546670008916983336400632849503250t^{30} - 86751231161700671513717485555655613303855t^{29} - 53620382282369001483786568545816497599928t^{28} - 24957583814043637568847802425205753668284t^{27} - 9421848991992291949956622511852433881059t^{26} - 2927893903876061720777992206775783775250t^{25} - 748669564729040880608109213765186318947t^{24} - 156510474990326016465545643462988762625t^{23} - 26398742297774029140734870145696284065t^{22} - 3494614692252332395913758852207990119t^{21} - 338893195159937219250494604739499501t^{20} - 18515300551992791272673867212368490t^{19} + 749726864317077949793376996240921t^{18} + 328178364531054436100858020792554t^{17} + 46894567722820186889785254573595t^{16} + 4755719098352890900757764885024t^{15} + 394446202550491061962860012797t^{14} + 27304335420295835523434603126t^{13} + 1402762268166513197627166181t^{12} + 30035412663256422381603094t^{11} - 2565427281956104939737022t^{10} - 286296995044617450414408t^{9} - 11669376505981637432860t^{8} - 120518601022014566040t^{7} + 4593112062826510368t^{6} + 25210399886910456t^{5} + 1105362357696192t^{4} + 47639523087264t^{3} + 300849820344t^{2} - 939120336t + 8987904 \right)D^{4} + 4 t \left( 155049927693531081180239294594801684264448t^{41} + 1026272767317432027220576887205336813631360t^{40} + 3441208125542371806781434243864990398736320t^{39} + 7703065522302121619088808803235370029455152t^{38} + 12619775070657286455201456149627641275478424t^{37} + 15729010595022754380463072834985491116153076t^{36} + 15245075515625002961892269626266238318413042t^{35} + 11684510999258217155998797671351554500336485t^{34} + 7189813319710767573371683939029135794929552t^{33} + 3602391841998267052502318821791558971182030t^{32} + 1484708432464157898796479600631385039459739t^{31} + 499514880576634808757167449380174898866553t^{30} + 126877940339382222880079590543858823874216t^{29} + 14181753217678685582491373697913298227031t^{28} - 8483894696823724263451338669721410623054t^{27} - 7333292709733161708981416179531691767242t^{26} - 3420182213861799232362228175671332325407t^{25} - 1166737349552654455405470316732871321780t^{24} - 309950507608170612341416874610128491681t^{23} - 65181670038572980490978230775071035781t^{22} - 10807882120826254540028053649649165137t^{21} - 1376761547902546649341630079447844010t^{20} - 124834131381002003151618992240724174t^{19} - 5904473691022522505204078876268720t^{18} + 307736312520751252310635723032022t^{17} + 90841756168331067392638317297523t^{16} + 8915150076060650461951383636526t^{15} + 451263999387795950274190053647t^{14} + 4443667255149835569299565288t^{13} - 929801862303084900244631797t^{12} - 58988802517251710399767885t^{11} - 1603156377365008544030083t^{10} - 58065176447038331950852t^{9} - 4296718216706284947332t^{8} - 161479095820829483542t^{7} - 2873090183982824586t^{6} - 35710408061065074t^{5} - 51464381862912t^{4} - 2693740832952t^{3} - 117067120740t^{2} - 64460268t - 412848 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 272206136063115531676692622833308872124928t^{40} + 1799417404292093445400406051422039381523712t^{39} + 6041890322178572995403348009898766144036352t^{38} + 13573118882500606421400137337764717270265568t^{37} + 22354256167723762288664252143917980365685600t^{36} + 28070476083035463842241797575873475218350664t^{35} + 27518172199999325538621943342422919379064372t^{34} + 21482809682393393177276375695368444781132838t^{33} + 13625225528322654892207045836218499491779272t^{32} + 7173280881282448206194561852803761533057294t^{31} + 3203712959218351812962471442012509976997796t^{30} + 1231942986724401047934673594114058051327567t^{29} + 404459695620429788229529206912213178164664t^{28} + 106452395903921139512481226733310249727605t^{27} + 17631296027642878737749775849530999517836t^{26} - 1296032976887197385687472058351120608696t^{25} - 2347237634043321254528519069305079273049t^{24} - 1037364746395619001416107653806026585268t^{23} - 303945315289671754337085180658861421745t^{22} - 66346025473235582709742168539663270185t^{21} - 11051504677140252088303285581420801897t^{20} - 1379472737320263811498303501014416149t^{19} - 118674564976189747325211623234218375t^{18} - 4738416158059699069741100399760928t^{17} + 380830904691058316103961864716509t^{16} + 81495900718530201585158620524638t^{15} + 6181145743980546975393587627727t^{14} + 134010780625752165669963959852t^{13} - 16383403245955340635540008833t^{12} - 1632335646654488125395493130t^{11} - 61055848529074626322366175t^{10} - 896020194432451837581982t^{9} - 28920341651735207242590t^{8} - 3192502257092603939388t^{7} - 136240310339205155520t^{6} - 3037725818216688732t^{5} - 28541408515529940t^{4} - 120061715567352t^{3} - 7820719898400t^{2} - 74084850504t - 17975808 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 21043872833026066127726431814989135317504t^{39} + 138973873260366727517888616971174363372928t^{38} + 467030800437358348497636650250638657786304t^{37} + 1051627859154906252210705872121451769238048t^{36} + 1737716551780958646731824957630522461585264t^{35} + 2191808740559624601794349391478253153065580t^{34} + 2162771153533615138166163632367783517076934t^{33} + 1705814225342651150109075934037054980152453t^{32} + 1099608828157612834793608900940878110836300t^{31} + 593618011212062572253292995949567188101297t^{30} + 275149832483489269683401851339822115352920t^{29} + 111596200039908365564392079123243048710250t^{28} + 39655585867763663286671086186412605874987t^{27} + 11996421464348614537813679642390350974408t^{26} + 2861739684823370593495649692270581662977t^{25} + 429568910131437306463697326903531113618t^{24} - 16220452783346171886240252817994300023t^{23} - 35354301838660702630291573689078668040t^{22} - 13099723574355083864229904409316372349t^{21} - 3111297603621711824416965471188785080t^{20} - 535030999090681048518305548821735336t^{19} - 67116166248387736805411074540876784t^{18} - 5700606500966608293007451620113178t^{17} - 224447337842855267924205416501620t^{16} + 15206817774946683961880609515038t^{15} + 2888222948162146120642945738604t^{14} + 138741188080140884551707094512t^{13} - 7863501043958172539921363512t^{12} - 1521867000601112976582496486t^{11} - 92607094672375397349349622t^{10} - 2487028437177264046529472t^{9} - 22492339011564859524396t^{8} - 1563167743822133156816t^{7} - 156676009453183319936t^{6} - 6182999801909811712t^{5} - 134022207743835264t^{4} - 985051678922112t^{3} - 10623136430112t^{2} - 449135870352t - 2405734416 \right)D + 288 t ^{3} \left( 1290469643724769714359045314979622840320t^{39} + 8516311719414026274860773213486729655040t^{38} + 28634528963914453017229040073709536571520t^{37} + 64571942341102169827552454835161049293440t^{36} + 106915717779482708785803103293660109074464t^{35} + 135208707030898094721761927220163110752632t^{34} + 133916733021371253621007421338649335687740t^{33} + 106231826500061564880822278151143071088714t^{32} + 69096771453805313595833887899914772419840t^{31} + 37809220078545325137738662239359463107306t^{30} + 17865340911525231758449188161061526896076t^{29} + 7436463672875567048538569716246080111132t^{28} + 2736976613192642174817327832039912658230t^{27} + 872926315538913809711064584140029681116t^{26} + 230008184240479190525876587195411551002t^{25} + 45496707521298702239049003632500194071t^{24} + 4917138975602243882513627875573722344t^{23} - 587231418244936815325324386981509275t^{22} - 443655586982236219288879739195948476t^{21} - 122642598724536680607854102462570574t^{20} - 22353733948213952906652704577264047t^{19} - 2878743251021587158376874721137270t^{18} - 249874239436084756714984802840131t^{17} - 11133555071210914270869275306708t^{16} + 287597220254484762436867922291t^{15} + 59716089811241280775624523570t^{14} - 1654595208390676487132307223t^{13} - 912771433304153149914510314t^{12} - 89026380683930314681799242t^{11} - 4111618593183858134314004t^{10} - 77389279813977341000360t^{9} - 301683510322907568748t^{8} - 94446561515062558380t^{7} - 7741041713160707568t^{6} - 268096457426453400t^{5} - 4812567401993640t^{4} - 27908947530576t^{3} - 601446938112t^{2} - 16600225536t - 60668352 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4

|λ| = 9.735371 λ ≈ 9.735371; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.8729936 - 6.993136i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.8729936 + 6.993136i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.331541 - 2.011427i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.331541 + 2.011427i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.133687 - 3.334441i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.133687 + 3.334441i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.740111 - 0.2647169i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.740111 + 0.2647169i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ 0.9293189; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$9.73537118$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$9.735371$11
$0.8729936 - 6.993136\mathrm{i}$11
$0.8729936 + 6.993136\mathrm{i}$11
$-4.331541 - 2.011427\mathrm{i}$11
$-4.331541 + 2.011427\mathrm{i}$11
$-1.133687 - 3.334441\mathrm{i}$11
$-1.133687 + 3.334441\mathrm{i}$11
$-2.740111 - 0.2647169\mathrm{i}$11
$-2.740111 + 0.2647169\mathrm{i}$11
$-2$22
$0.9293189$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda^{10} + 4 \lambda^{9} - 4 \lambda^{8} - 252 \lambda^{7} - 4205 \lambda^{6} - 34132 \lambda^{5} - 151596 \lambda^{4} - 426480 \lambda^{3} - 631984 \lambda^{2} + 69209 \lambda + 963362\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda^{10} + 4 \lambda^{9} - 4 \lambda^{8} - 252 \lambda^{7} - 4205 \lambda^{6} - 34132 \lambda^{5} - 151596 \lambda^{4} - 426480 \lambda^{3} - 631984 \lambda^{2} + 69209 \lambda + 963362\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 6 & 6 & 16 & 16 & 24 & 40 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 9 & 16 \\ 2 & 1 & 0 & 2 & 2 & 4 & 2 & -2 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 3 & 6 & 16 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & -\frac{3}{2} & -2 & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 2 & \frac{3}{2} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & \frac{5}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$