Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-256-57-f

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 4) × ℙ2P2
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5ω1ω2ω3ω4ω5
Bundle
E^(w2 + 2w4) + E^(w3)
Bundle
O_1(0,1) box O_2(2) + Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v
ZL62 label
2032.4x327
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,3;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(0,2;2) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 57
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 256
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 3

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 256
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 160
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 3 0 x0 - 3 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 43 0 0 x1 - 12 55
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 57 0 0 0 0 57
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 52t + 150t^{2} + 52t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(160)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(224)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 1773799t^{12} + 522939t^{11} - 1531866t^{10} + 3635269t^{9} + 3125277t^{8} + 881606t^{7} + 157489t^{6} + 31470t^{5} + 3753t^{4} + 74t^{3} + 7t^{2} - 3t - 1 \right) \left( 202849626655584529071937390313151307t^{30} + 287676006273951384663598955516652910t^{29} + 188507240833267514019275335619528249t^{28} + 71763438827531665212380791029570381t^{27} + 20905932101812459777926498710114162t^{26} + 9231938182638923294926895107058735t^{25} + 5523917890273078010633027822094114t^{24} + 2594841245719402726858911523099431t^{23} + 743818047031403267888851472548335t^{22} + 69239689871792888723632181279360t^{21} - 34508846938521831866071581532536t^{20} - 14205362626294951066698185679912t^{19} - 1452817848987473180389104736116t^{18} + 405025643119047459678192595578t^{17} + 164130856388233999896983736659t^{16} + 25796758455983513202608764872t^{15} + 1745346483974737923945995387t^{14} - 103475875050765158145988368t^{13} - 40064645495027357287894654t^{12} - 4868783069355552370102183t^{11} - 312467664314925211925975t^{10} - 8624996520384791789116t^{9} - 6728821343423962940t^{8} - 15754789561325628028t^{7} - 2777371602021152398t^{6} - 191346802067628092t^{5} - 8366453597080968t^{4} - 194392631077794t^{3} - 2578757886966t^{2} - 30710149056t - 158662656 \right)D^{8} + \left( 12953320736833770554997844956002789107390548t^{42} + 22062677680760303151552061065358957298826520t^{41} + 9912034686665247310206342083550087842826640t^{40} + 10375357885871937127088816775870831663658287t^{39} + 22691122888650815798417290129787187290028561t^{38} + 24541307335020442805359256628328626885434117t^{37} + 15185506499527764924739926561392648594992322t^{36} + 6264485914101346963859077757741034815858906t^{35} + 2246063291986007175410779383410880829053146t^{34} + 1051854913377913714307517220669636811773816t^{33} + 597158434234686378134261197147334183991621t^{32} + 280697152961382881770732321838577130789837t^{31} + 88622184988102379670097731004827150126166t^{30} + 13588944633464809207300471325952742867353t^{29} - 1956016148489787489227776312749257682509t^{28} - 1589030124354547460518913776108221168665t^{27} - 345437272999615328163755376590895445935t^{26} - 3732913243437706433026194068830289316t^{25} + 18596070657773834677627132176710278053t^{24} + 6037236220880871661000732611236156538t^{23} + 1106617289339222955884349473799854937t^{22} + 125060571361822157361406162653889570t^{21} + 4712977050303647071523204592233339t^{20} - 1312673362690324424992400713819465t^{19} - 294403116849992013341247577855006t^{18} - 24381971877829531386045073812795t^{17} + 595233545739595808600459916112t^{16} + 323707420346468176424782213355t^{15} + 17972969275376699766802401264t^{14} - 3732894997065090108494658923t^{13} - 900432701047778184131045009t^{12} - 95201410962277729185652943t^{11} - 5517827610905971499775488t^{10} - 146168630950114837870514t^{9} - 1104570139216990414976t^{8} - 273971326095003621330t^{7} - 36623084293200875760t^{6} - 2213281964948614678t^{5} - 85521991229739882t^{4} - 1766221974677430t^{3} - 20728857374448t^{2} - 214971043392t - 951975936 \right)D^{7} + \left( 196458697841978853417467315166042301462089978t^{42} + 332997859418423972724932961670003774113542854t^{41} + 187252277609977123401878426215626333653212830t^{40} + 106594231906869713151367045679908008339269869t^{39} + 148988090908004820297351268381665630072289623t^{38} + 151858114941273099133105048397742991035785147t^{37} + 89701504113630546301669978901873105261102256t^{36} + 34275593356626455728504351433702750850749450t^{35} + 11783350253709902929467183439068699734842616t^{34} + 6145163039067493159876616701704426121772342t^{33} + 3883208632829004153825818396346235245311217t^{32} + 1863166022167223259730165491483272192677843t^{31} + 543724394896853005347976007282350754590974t^{30} + 46119336971524419555763224785048005958041t^{29} - 32633963225206415306679260647534689497357t^{28} - 14823948575362302130682928399228923317653t^{27} - 2306824741582187081495973451776172417739t^{26} + 249494633235355003787046845242505259490t^{25} + 204674260292140946210722975228741988183t^{24} + 49632400172928125846637750519236173678t^{23} + 6719241484772111833383153665569451111t^{22} + 419847303171780447532932352040805990t^{21} - 30298725182360744194159798607586083t^{20} - 11938541142340779588079053423952317t^{19} - 2153484036159714908495277517658030t^{18} - 357202520251920724439354593962819t^{17} - 52447568566421448932625455733018t^{16} - 5496996374203010099843612272837t^{15} - 290239490167203335329837392210t^{14} + 14547666122005356597610404071t^{13} + 4684880465960434192972726677t^{12} + 483288111948883722065059191t^{11} + 26562876826260529324074212t^{10} + 624251162127452212511274t^{9} - 116980287726707539264t^{8} + 893514979849119076886t^{7} + 132574044021235061980t^{6} + 7495800287679792750t^{5} + 270459635641026834t^{4} + 5124521131665102t^{3} + 55627919481744t^{2} + 520102575936t + 2062614528 \right)D^{6} + \left( 1632118412841055089929728464456351427531209048t^{42} + 2755164447022886832335022054783047788167162112t^{41} + 1756292470282494664228306351366806264901361224t^{40} + 759549417819566657678038428582988788247997105t^{39} + 580544980797671962290885308736392460167815465t^{38} + 537057329672042205883718287361683002682501161t^{37} + 316444758538765606146586498986538454895761340t^{36} + 118297285920375166592247288546660648935063998t^{35} + 38264688390379553184427169856595203938306606t^{34} + 19608534279638617269627930842624630446801060t^{33} + 13227881554078295271118576762407449251522737t^{32} + 6616374628053720157662887625238766480781223t^{31} + 1860194975998514666336449694486767435183772t^{30} + 50468710922036988151506884729296240387821t^{29} - 172915216356398485826242577664335175940077t^{28} - 64382862299732335710504415857227207511279t^{27} - 7344090662796572442298184682612261165633t^{26} + 2045414086424803273482627719427301024760t^{25} + 1054618157514288481917158437350600461011t^{24} + 223505763552874843545555409116589571428t^{23} + 25258045158044595611665977852353269863t^{22} + 286608626018351009542999501116796414t^{21} - 489160954495792428515144990258874619t^{20} - 105158367890047935781903592076087093t^{19} - 11486674873041767445770673312509086t^{18} - 435381206143129426735577663971311t^{17} + 69348774223790777946780599581040t^{16} + 12467652863280151047558387426553t^{15} + 685039034158586090154798131822t^{14} - 46827974060771635445038529293t^{13} - 12729795574974930131862525401t^{12} - 1272976675752989838777367507t^{11} - 73262906929925236189853606t^{10} - 2320422090547481490601154t^{9} - 42530659746046866297776t^{8} - 2521485503634472505846t^{7} - 221354805492932536140t^{6} - 10604142969624475754t^{5} - 346739519051436234t^{4} - 5936649426502326t^{3} - 60946427282988t^{2} - 520142551488t - 1903951872 \right)D^{5} + \left( 8077474922810592088587406150480739240883622557t^{42} + 13589277711662803038272030686527749655200118907t^{41} + 9326726577944821936151766401011481539353018531t^{40} + 3731557162238765336094151201966246204945225162t^{39} + 1664200599534498735627976153222166504797032633t^{38} + 1286945478255041873292370116618891453529422331t^{37} + 805077881907604428789096995668858022401632616t^{36} + 327026199288365054575488955753639071615857156t^{35} + 99862058073242213776817854313368106842054519t^{34} + 37139857242499332947548182632385898718465863t^{33} + 23752938272368172907873748762907471260965716t^{32} + 12958597101996665099586489821255047881084660t^{31} + 3723434504399616262909245533952794242052111t^{30} - 94028677512253603146071566501835042873649t^{29} - 477444990063560454878670863434886985577697t^{28} - 160169689191541407160619939310106730302915t^{27} - 13618718453323962689035781585447427000162t^{26} + 6642284899542758384690056941002369362490t^{25} + 2795527530256073625001423716529420398412t^{24} + 525575156400352036847844891135843979906t^{23} + 48385561863934288249395021432750864524t^{22} - 1509215557074535843622064026149163699t^{21} - 1248872548724992684216654980526659044t^{20} - 215655263584125159259370558654449139t^{19} - 23100112612542442901460489412452863t^{18} - 1927706696157622281261005676164437t^{17} - 162789826346879790545820832713861t^{16} - 14443569337234585917518075672069t^{15} - 942104031355608097034340785762t^{14} - 12793859245618838249174890044t^{13} + 5060089661085278219224261905t^{12} + 643698612526685645277596189t^{11} + 41198721317415631855066733t^{10} + 1470398278333325123084592t^{9} + 33925183305602290967372t^{8} + 1703985330611553483590t^{7} + 121929701179650549436t^{6} + 5193462406459110712t^{5} + 157819140965526330t^{4} + 2421723888298350t^{3} + 23851555521882t^{2} + 183930863616t + 634650624 \right)D^{4} + 2 t \left( 12104878228571158583645486111384606420856467106t^{41} + 20308410533259111235618680572425685202191140340t^{40} + 14569362395949262316425940224062658603836175220t^{39} + 5832493305058124572362601233447044790332294284t^{38} + 1921200580750686184199803813100542250206306367t^{37} + 1187772172653241735743696806708379010934467157t^{36} + 818042639714282771372413511667844522415478241t^{35} + 386206176417888617774445090408405220266491708t^{34} + 118589761248552142172550918558680137740387204t^{33} + 23831208777083922154786853759069867440771426t^{32} + 8794851543237015162411409807557770594371877t^{31} + 6224559235173495788361765822137420672447122t^{30} + 2187844560350438941504240672418916575928267t^{29} - 102604926449602424001851942519424609073843t^{28} - 352973343538519081436826350745496761047175t^{27} - 115482595680380770455988495785931555260712t^{26} - 7183343541967099059922194136192970100700t^{25} + 5983111705987284055804523218597874880074t^{24} + 2261323478473455421571513230727525863480t^{23} + 398911575789111227274184452238155895517t^{22} + 31433973211277942565205329296173352316t^{21} - 2764201258705464714728226626666912376t^{20} - 1267718978703353117917813174078213196t^{19} - 205556243763768785492720079514752281t^{18} - 19798415273535067265251649152317374t^{17} - 1102068317702403796534706639915251t^{16} - 25344252678313017442822210214996t^{15} - 626400329307151585514777026706t^{14} - 315890272760234282284972579567t^{13} - 48935130885741310287381301864t^{12} - 4221267099337358610516627739t^{11} - 256521836194878305761243947t^{10} - 12197713628090395135334929t^{9} - 469501628851580348366050t^{8} - 13804620493593930410512t^{7} - 291533129733110307628t^{6} - 4786340396209141434t^{5} - 67240593884890584t^{4} - 947247254849094t^{3} - 4087050944778t^{2} - 47699472258t - 52990848 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 10625680963317724396101148872103287920287507583t^{40} + 17787373419984907817268687911284951268338830669t^{39} + 13104006806420785765264574923005675849616211365t^{38} + 5354323580409065946156101174084476916916340914t^{37} + 1584814553052382129983054863508798627516632508t^{36} + 832182817193173710321992882724966574994619156t^{35} + 615020748226772555636977832277074508766074029t^{34} + 327370701753737387206450335390564462584048572t^{33} + 105497574931406347293288750113327907742106231t^{32} + 12852561411586291733620700180881827031059397t^{31} - 2207888815629692145894374921519321323207106t^{30} + 160259690765914556172454419497881383449347t^{29} + 603346279291587760416633157527148070246224t^{28} + 2984748454025400568941309979590675344717t^{27} - 128661234070243269237184704663449642770749t^{26} - 45354766572966453910975100184180263638749t^{25} - 1910590319267590621153633432762240301707t^{24} + 2953007421836220485384278690382903216064t^{23} + 1041441254571907514863793829521568815151t^{22} + 173525816966421428209087346008027516695t^{21} + 11163976307486379970615008385826454983t^{20} - 1918811452972261938717476624407764760t^{19} - 666032055152053386385744625387593459t^{18} - 99882470718482553710220048469934934t^{17} - 8887227376899243986284234724086151t^{16} - 429938637638888635134986825195142t^{15} - 6109353532377977568167273141557t^{14} - 407697938827773415940202758707t^{13} - 204034918037593036165612373099t^{12} - 29280151520019244152963058824t^{11} - 2485633493338692625744737112t^{10} - 147176527653645042290750702t^{9} - 6350529855911861143593500t^{8} - 210222101510266557177880t^{7} - 5883031608098762268550t^{6} - 158103083447506726266t^{5} - 3720800680075659462t^{4} - 55372178938575240t^{3} - 443329091317728t^{2} - 509153361408t - 2538602496 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 4928738540365249696176680005759061255362103514t^{39} + 8236734700573183410160693611728355793781658216t^{38} + 6164411724874107498852665844275526495478498872t^{37} + 2569416530545498565598781459614735190097139310t^{36} + 745660264603593069063747593452077497798090000t^{35} + 361455518098072551004273474851625004773746900t^{34} + 275225547063753487281254931851218152354896116t^{33} + 156622239966737647492005753860538004190020096t^{32} + 52905124267769283561964466862031588834811620t^{31} + 5562920961503787699549098760297390983307880t^{30} - 2916137411183295645912405634952811901875479t^{29} - 1082327536651192538863525376737040756043593t^{28} - 8755102574936613123886884898126028326878t^{27} + 32924443086078944019852498314832787487995t^{26} - 14024954405688309207761678046537609989459t^{25} - 7743003052623471156783253911095082016948t^{24} - 94454550478688992666727325914186164583t^{23} + 746161845411696964159388136925585043382t^{22} + 250886986786187659306295218956115417911t^{21} + 39755808422772934718150592376333813826t^{20} + 1898735319546020609610649693603664763t^{19} - 637746775923093454176292078995611209t^{18} - 184265333738491079772294477239030559t^{17} - 25578162995972644955827394286299408t^{16} - 2079905597422944067691392237705290t^{15} - 85686208261329237160094984259530t^{14} - 833625808917444071526102658978t^{13} - 242545315728228856224474758080t^{12} - 74596303523849068368455871312t^{11} - 9601207665712812539936991782t^{10} - 799105922456615126125815900t^{9} - 46524338155477790474381832t^{8} - 1859272769005828382046024t^{7} - 52716224188440445249008t^{6} - 1353913369888234098972t^{5} - 43875179725572832444t^{4} - 1249300305063640548t^{3} - 19465713214560036t^{2} - 144358895963688t - 220760985600 \right)D + 480 t ^{3} \left( 30224415052612131294994971564006507917244612t^{39} + 50449042057069400488599074175330032385387738t^{38} + 38104256129396793948549462947139954566810106t^{37} + 16113073564236080662971514457166527109992150t^{36} + 4702097698822299661807749189269496111248596t^{35} + 2207441070392629172698548816794396611482492t^{34} + 1694873668433215086291271567294055352919196t^{33} + 997199869847846084063588917000168514253050t^{32} + 348097909642006794244648889982575060327855t^{31} + 37495489432596212495864757311106290416531t^{30} - 22543293499038604710293918188795316252577t^{29} - 10075240539538095274963180094474419310194t^{28} - 944622355950766487270783046727235997515t^{27} + 310936487292068956419806435171420700065t^{26} + 62194989548542511402650844428275092410t^{25} - 5460570770916491795709646131741481808t^{24} + 1466113791832332146143639082844580957t^{23} + 2465333497399524746990166856802479921t^{22} + 793416751859942223078948691870623074t^{21} + 118852940708890214103875130930706224t^{20} + 2848146743483975406802280631121401t^{19} - 2788846133007718110318955459520337t^{18} - 691594036017910589973159628338054t^{17} - 87704526394767363972719448013298t^{16} - 6257953334183001701872677484077t^{15} - 189065001858500516182826448972t^{14} - 875115651303287121602660773t^{13} - 1669993052790106553230305363t^{12} - 384016088987042436492073449t^{11} - 45126028231051100178405270t^{10} - 3675372410211425240233674t^{9} - 210553325888104700460654t^{8} - 7928722932247545874164t^{7} - 195425137889912238462t^{6} - 4469521320637778682t^{5} - 166539462145285440t^{4} - 5302379164088952t^{3} - 82585248681024t^{2} - 602789411808t - 1070972928 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 4) × ℙ2P2

|λ| = 9.666068 λ ≈ 9.666068; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.368762 - 6.173997i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.368762 + 6.173997i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.6873518 - 6.010053i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.6873518 + 6.010053i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.863851; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.670499; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.763716 - 0.653905i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.763716 + 0.653905i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4948092 - 0.5392993i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4948092 + 0.5392993i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.7061321; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$9.66606845$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$9.666068$11
$1.368762 - 6.173997\mathrm{i}$11
$1.368762 + 6.173997\mathrm{i}$11
$0.6873518 - 6.010053\mathrm{i}$11
$0.6873518 + 6.010053\mathrm{i}$11
$-4.863851$11
$-4.670499$11
$-3.763716 - 0.653905\mathrm{i}$11
$-3.763716 + 0.653905\mathrm{i}$11
$0.4948092 - 0.5392993\mathrm{i}$11
$0.4948092 + 0.5392993\mathrm{i}$11
$-0.7061321$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 3 \lambda^{11} - 7 \lambda^{10} - 74 \lambda^{9} - 3753 \lambda^{8} - 31470 \lambda^{7} - 157489 \lambda^{6} - 881606 \lambda^{5} - 3125277 \lambda^{4} - 3635269 \lambda^{3} + 1531866 \lambda^{2} - 522939 \lambda - 1773799\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 3 \lambda^{11} - 7 \lambda^{10} - 74 \lambda^{9} - 3753 \lambda^{8} - 31470 \lambda^{7} - 157489 \lambda^{6} - 881606 \lambda^{5} - 3125277 \lambda^{4} - 3635269 \lambda^{3} + 1531866 \lambda^{2} - 522939 \lambda - 1773799\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 16 & 0 & 20 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 8 & 8 & 0 & 0 & 9 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 2 & -4 & -8 & 0 & 0 & -9 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 2 & -4 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 & 3 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -12 & 0 & -8 & -6 & -12 & 1 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 7 & 2 & 4 & 3 & 6 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 7 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$