Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-288-63-g

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(w1 + 2w2)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(2)
ZL62 label
13040.wIx301
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 63
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 288
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 4

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 288
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 168
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 56
$\mathrm{c}_4$ = 8
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 1 1 0
0 0 4 0 0
0 1 1 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 4 0 x0 - 4 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 52 0 0 x1 - 20 72
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 63 0 0 0 0 63
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 58t + 170t^{2} + 58t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(94)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(139)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t - 1 \right) ^{2} \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 798809t^{8} - 64512t^{7} - 128848t^{6} - 32856t^{5} - 5104t^{4} - 309t^{3} + 36t^{2} + 8t + 1 \right) \left( 181150716599505630472619588103654t^{28} + 386088929510440318753314204687428t^{27} + 415471769676764249933286315555052t^{26} + 310831448889408052627900359092174t^{25} + 182366167159682468040275629759650t^{24} + 85068032070441410198975264035773t^{23} + 30569283410739509863408961850048t^{22} + 8749676219004255551990590554714t^{21} + 2354329782571161468579179062018t^{20} + 681242479918664556028687396818t^{19} + 164311233353421275575205584384t^{18} + 15565859974937712135332356854t^{17} - 5881568672076875489455637426t^{16} - 2639072687290246827584402190t^{15} - 483813648830374594976420326t^{14} - 47436289210489688448603490t^{13} - 1937912768627090783359808t^{12} + 140838016450220576537604t^{11} + 27278175518702248722610t^{10} + 1649023444235391795348t^{9} + 23179887524975417416t^{8} - 3294903887760377967t^{7} - 193497014158296226t^{6} - 4388216736982160t^{5} + 185139153377376t^{4} + 6639046512774t^{3} + 68824763946t^{2} - 780859872t + 7962624 \right)D^{8} + \left( t - 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 15628120859822525262597900299777108793288t^{38} + 25946638906516108275130188319298272910352t^{37} + 16218511753411751495126194158961114517396t^{36} + 1573839479457053312096407073314814801586t^{35} - 5777828048400089301964863211959663381152t^{34} - 6566379354662693623197258922139353663511t^{33} - 4444320925015951433325849024052027420112t^{32} - 1965965925475198306153990552624857522293t^{31} - 523916909909914159487268295948796891134t^{30} - 68526217844893032025110723540524717340t^{29} - 4207856361237638034378266567386255627t^{28} - 1138491230484945402259214565788624802t^{27} + 1910669873257547224069624320414874479t^{26} + 2211672224321885710663317629683141889t^{25} + 937164669666855221927687216251190184t^{24} + 180105164669884983574485113151848223t^{23} - 1210414641101120877130544140273120t^{22} - 9583890487570026575275635787922590t^{21} - 2624461887052224263996837392719100t^{20} - 392648519571962905684122335677476t^{19} - 37940187141632562881901933514292t^{18} - 3280806671860096613008661137529t^{17} - 526719764977457203557103306154t^{16} - 101619368056367746776731355323t^{15} - 13242964822457873910803249788t^{14} - 981382642093191350923981244t^{13} - 17679259891700876809300353t^{12} + 4631415654457397870724042t^{11} + 548483672853344076714109t^{10} + 25928193091910540792735t^{9} + 151394272119276044554t^{8} - 51038997701485618463t^{7} - 2504133198302286806t^{6} - 43924990108949386t^{5} + 1965962228495292t^{4} + 60694003340154t^{3} + 547858968912t^{2} - 5545645344t + 47775744 \right)D^{7} + \left( 711079499121924899448204463639858450094604t^{40} + 872804233979111251042984778761450251886392t^{39} + 84704717507012455881130950967185193753692t^{38} - 517987867703233289486721830314838409757222t^{37} - 525467224867438605075866693027217960371948t^{36} - 296450773551396534612797322911466339756397t^{35} - 87912957525770486443876745296178662057814t^{34} + 29097593369865313033695983090029644985890t^{33} + 50007364310069231468118912094278357511152t^{32} + 27616592514145501881493099229092493562785t^{31} + 8969395846899898664313473573553667137707t^{30} + 2439520198005500929964870175756653975840t^{29} + 909506957564744380323417773258295969114t^{28} + 332663671334171007147745794018838765009t^{27} + 57064783665651997326119285445074301795t^{26} - 10367595751554795608503683960227959030t^{25} - 7397258948762432600060517811401253546t^{24} - 1276359537415147694208850754343703269t^{23} + 86416045845356444166990704992415532t^{22} + 82559216832577254544689625651658226t^{21} + 18442126944025030164075775106365660t^{20} + 2320338267774742881293623085898283t^{19} + 144077977029426242314011360455160t^{18} - 12100485776166730631746535156854t^{17} - 5494147064958284911084099427024t^{16} - 978882406430699703483060766357t^{15} - 108837540702528702644124369789t^{14} - 7273979586463389449939389592t^{13} - 155759588851845283940772850t^{12} + 24085808541686826274841663t^{11} + 2937909375025683823197275t^{10} + 142300350378812099286106t^{9} + 1730183694255536074494t^{8} - 184295170960936450287t^{7} - 9323251915884251078t^{6} - 184739642238896004t^{5} + 6147266190821928t^{4} + 182404383062466t^{3} + 1648131487920t^{2} - 13293003744t + 103514112 \right)D^{6} + \left( 5907429685012914549262006313315747123862864t^{40} + 8409170996236644130763193331593805798820736t^{39} + 3364198772724067529780128997560898619211236t^{38} - 1764752390587158171817429819707801514388950t^{37} - 3240011562013048019370656998884388506975380t^{36} - 2577953599795872472729373254099375553046533t^{35} - 1339559459182105382442098869713134773100826t^{34} - 321853838703092660554116728020046822247768t^{33} + 85984253756837315444348406292696940965556t^{32} + 95558770010133159558354309917629650954779t^{31} + 35234003477697403288215018257150813488827t^{30} + 10707021812597807228839833773274303358504t^{29} + 5063142534823311013108094305263880448072t^{28} + 2188907022927258417553482661042335878393t^{27} + 476614075037401409663358282040095613617t^{26} - 19833348421568403554547365022538791196t^{25} - 38809419521616054722718892112211614406t^{24} - 9422045318493215475361310454189722851t^{23} - 770836859170024762534460372621042208t^{22} + 93439762824085898904514124826414530t^{21} + 30275839842519114336097430522347932t^{20} + 2674033381805520395466620587354283t^{19} - 127933451112995901825761148261480t^{18} - 48141834166330774584295654444812t^{17} - 620833987487761736773094280784t^{16} + 1199141368999191224907606548129t^{15} + 216888073999510051360810617103t^{14} + 18537092992312006190317316032t^{13} + 694255187503725231736216152t^{12} - 28212546440767085768498705t^{11} - 5454684695885538614425019t^{10} - 310103818054975348940208t^{9} - 6993203648208659525086t^{8} + 180149198336675826295t^{7} + 12121656879568437074t^{6} + 295532444589678716t^{5} - 8314922758964664t^{4} - 234027407212638t^{3} - 1947871346004t^{2} + 12973918176t - 95551488 \right)D^{5} + 2 \left( 14618153549256494567502510992904013137521763t^{40} + 23182567776094950548976877800347644686490878t^{39} + 13906695403898025181839388784168278514238210t^{38} + 1545049593650864455148132479714600340735404t^{37} - 4372986198710809113036854619383155957875334t^{36} - 5183612330782649637759279052113070803510809t^{35} - 3517934882496380731556500484998754237394001t^{34} - 1382439781557125426194808086184775364595832t^{33} - 227180788904956357683338961496731163846896t^{32} + 30377365990711098432506072609944613668384t^{31} + 16444184024483919304872872718783840403029t^{30} + 5193063920743867318975454560611804202823t^{29} + 6042261405385962534234461176470062999922t^{28} + 3766130574211371265425784191203712342513t^{27} + 1018374844600226623650712834065337384429t^{26} + 29885767955143788144469683133332762800t^{25} - 58608644912146155333621530949631306586t^{24} - 17479475530867796009074181885220757740t^{23} - 2269400706848258557682111843325864726t^{22} - 83406508360540416885288566678710149t^{21} + 18784046898917614495399077246967316t^{20} + 3360031341520282822180832060180881t^{19} + 179901971577356380119046552290488t^{18} - 20486180244494187457478826499800t^{17} - 6212372937102629647394830357656t^{16} - 932611541625869773935435327040t^{15} - 94585178578577724637909950695t^{14} - 5888919425064770051690797459t^{13} - 140985758235593291665332190t^{12} + 13195718735546005648252383t^{11} + 1773290147064930980887257t^{10} + 94413613375688291039472t^{9} + 2460759196465273302175t^{8} - 33321617176878270450t^{7} - 2832760211484999114t^{6} - 82453287539365451t^{5} + 2140850922153918t^{4} + 57248505241848t^{3} + 407695644099t^{2} - 2221329312t + 15925248 \right)D^{4} + 4 t \left( 21906718415256224786846606745212562250991454t^{39} + 37638896807760002222632585036702708726109880t^{38} + 27779418981852484515267856924740414160018866t^{37} + 10156909554451804982348750177510656068258914t^{36} - 944120056190402477806224514846644101906129t^{35} - 5043193545213439082930221007206926790703855t^{34} - 4551978494741980803280961959537577425844121t^{33} - 2218756850106353417658144334894229317573230t^{32} - 611809164190414399163525589249197345952025t^{31} - 108081799105356067367081954862635469264016t^{30} - 33911131534577178002348408755404765028582t^{29} - 12108095948518273494880196356397785824787t^{28} + 2225898786852784080299982035754648053837t^{27} + 3728218612012647035259180195913123670280t^{26} + 1263213946805086216492897389814514109832t^{25} + 94237987841217426330102363770098499220t^{24} - 55580971017194643798377632057480956039t^{23} - 19948344453248503456151531449850849215t^{22} - 3173758271922993113626974443163290574t^{21} - 260854487495378038348271203178772337t^{20} - 2952779535181480423120556618633733t^{19} + 1815774118766577727438373438444779t^{18} + 162422407296715555097525695806872t^{17} - 3531281441036672960670335831866t^{16} - 1488258989948788466967463291011t^{15} - 75381126361886357629709807838t^{14} + 5261303380479190851829643666t^{13} + 978784657752493086327839551t^{12} + 62006437402263623947512547t^{11} + 1030124443981581540149106t^{10} - 148838339817343207847928t^{9} - 13477448863771178219756t^{8} - 495393040365512982699t^{7} - 8433784625248014299t^{6} - 42055533686795712t^{5} + 765787072946787t^{4} - 22952983118442t^{3} - 428780480934t^{2} - 228466143t - 760320 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 19229751546309124730407441406363241657274497t^{38} + 35061341134447477657721674597426724552299506t^{37} + 29294158173570460731060759135810217447067946t^{36} + 14698601250860955468051035133546976129367204t^{35} + 3652147746955087315019678774130398811928346t^{34} - 1905414960121125158944433980209259250693001t^{33} - 3012123626955646196224675149559235432473135t^{32} - 1761417114182956813629005915388557647062744t^{31} - 586851202730516300037734147719502150435835t^{30} - 147722468153774037659723842116001302165738t^{29} - 53626796399896958962367922949497541845574t^{28} - 20097819299458597110258647736073760678935t^{27} - 1787144771870537775133940604179789545826t^{26} + 2148200614072427961629198233126796464558t^{25} + 952675402008612291127297689388258424917t^{24} + 115384013149254593213702809360232254790t^{23} - 26931222899829363363599614949627482185t^{22} - 12475744964098820806087477382543363704t^{21} - 2214533241486854868822881148485501272t^{20} - 213468842943070107825132041286304776t^{19} - 6873861286166388895353521508797398t^{18} + 1119131438299125428101667327784849t^{17} + 178519319202890211609397084758179t^{16} + 11601772968426706216925161453798t^{15} + 380834582597981385956939524739t^{14} + 17278711111052616925600015920t^{13} + 3493620279452597251841806010t^{12} + 396161955089498326529537719t^{11} + 20614843055110611259480414t^{10} - 224457402407339220322542t^{9} - 110774571081980103078057t^{8} - 7136696954446367624684t^{7} - 205026519611721254800t^{6} - 2722620146761911624t^{5} - 3101212517010918t^{4} + 37263615932892t^{3} - 16217578842480t^{2} - 136368221760t - 31850496 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 8919749980743706293627751596097784843769126t^{37} + 16980283496919827414898105544482822935171424t^{36} + 15346768108425372899168190489910566703659834t^{35} + 8945154689551169431762814986030798781640720t^{34} + 3419743420806769207046780985976752732640335t^{33} + 159242318810212156804940558434368703103928t^{32} - 932686895136414331006263631799362919278719t^{31} - 681395039023520683869729863863851863681226t^{30} - 256050316186104863064574398922981152681436t^{29} - 73937360658900351389346569103898658565509t^{28} - 29087760508368440110938445457321319919620t^{27} - 11558186134754504970426585786759032841143t^{26} - 1892275437973013040993092181576824357063t^{25} + 654950769881451611048870691119643300874t^{24} + 396213519526729140705027750080381741805t^{23} + 65677364189689935335783723247103911582t^{22} - 4832291558549968319984674012520558436t^{21} - 3934732380019219799791460288912775558t^{20} - 775129193470362252391559718159589254t^{19} - 80650585018690254941520339709252600t^{18} - 3016116303694354781175516732990277t^{17} + 430792328509908028760396530757114t^{16} + 82766322375839809241463569647015t^{15} + 7266300717085187156944857281512t^{14} + 391859257790779494502413497212t^{13} + 13519555262429636927292120393t^{12} + 730462260574864079848978636t^{11} + 73070420750508315685524059t^{10} + 3701722533420414382184867t^{9} - 184905685738222716329348t^{8} - 37558913370795505755989t^{7} - 2010069850922619926196t^{6} - 47407786471547935058t^{5} - 464266531710000662t^{4} + 1260369125028420t^{3} - 70896114673476t^{2} - 5088525939702t - 25252046784 \right)D + 192 t ^{3} \left( 273492115046894192095463255246099403882540t^{37} + 536282681900355721848912481928121220698660t^{36} + 509173099257788166279156403964904674100810t^{35} + 321732830685105052092244122184201697876400t^{34} + 144362811332504600864719626505582061032173t^{33} + 29656380518693891502966838929241440914898t^{32} - 16899925004486279655843898409966919887853t^{31} - 16994823363917861244977540505141221070690t^{30} - 7043125663189657234740367898213375081901t^{29} - 2205849643301520774102313725159497249709t^{28} - 926523548435876940814758999798313882620t^{27} - 388080646260746205789682501826162843227t^{26} - 77691863310796531444741574058173942624t^{25} + 13424326814401543878004920755871915003t^{24} + 11307490898882710034799285487470641675t^{23} + 2296149043656714855448809033296366520t^{22} + 18603842303900201868099059318673985t^{21} - 79969808821573510603695156670166778t^{20} - 17932164279854539494543905514504710t^{19} - 1982543930810757660776114509701802t^{18} - 78731666327996108511179442782867t^{17} + 11211899850371057702281848479208t^{16} + 2330263551511020510932719292389t^{15} + 226709476942310318104651111050t^{14} + 13194301859648197826583166329t^{13} + 378422902124301897153713355t^{12} + 5275768692036852678409712t^{11} + 628971942387599453984261t^{10} + 43454485179072613994742t^{9} - 5253081258710130310821t^{8} - 847219572679854637323t^{7} - 39823631249642823504t^{6} - 795669649787229129t^{5} - 5057351282216664t^{4} + 30251995665840t^{3} - 2718958178304t^{2} - 101531377152t - 322486272 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4

|λ| = 8.610692 λ ≈ 8.610692; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.355114 - 5.844829i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.355114 + 5.844829i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.9296218 - 6.666827i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.9296218 + 6.666827i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.928751 - 0.7255469i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.928751 + 0.7255469i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 1.816282; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 2 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$8.61069223$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$8.610692$11
$-3.355114 - 5.844829\mathrm{i}$11
$-3.355114 + 5.844829\mathrm{i}$11
$-0.9296218 - 6.666827\mathrm{i}$11
$-0.9296218 + 6.666827\mathrm{i}$11
$-4.928751 - 0.7255469\mathrm{i}$11
$-4.928751 + 0.7255469\mathrm{i}$11
$-3$21, 1
$1.816282$11
$1$21, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda - 1\right)^{2} \left(\lambda^{8} + 8 \lambda^{7} + 36 \lambda^{6} - 309 \lambda^{5} - 5104 \lambda^{4} - 32856 \lambda^{3} - 128848 \lambda^{2} - 64512 \lambda + 798809\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda^{8} + 8 \lambda^{7} + 36 \lambda^{6} - 309 \lambda^{5} - 5104 \lambda^{4} - 32856 \lambda^{3} - 128848 \lambda^{2} - 64512 \lambda + 798809\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 6 & 0 & 16 & 0 & 16 & 10 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 6 & 0 & 9 & 8 \\ 1 & 2 & -2 & 0 & -8 & 0 & 2 & -4 & 0 & 18 & 6 & 16 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 8 & 0 & 0 & 4 & 0 & -18 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -3 & 0 & 0 & -3 & 2 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & -2 & 0 & -8 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & \frac{5}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$