Family 3-304-66-c

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 4, 6)
Bundle: $(E^{ω_{6}})^{\oplus 3} \oplus E^{2 ω_{2}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{5}}$ 3 copies of E^(w6) + E^(2w2) + E^(w1 + w5)
Bundle: $(Q_{2, 1}^{\lor} \otimes ⋀^{3} U_{2, 2}^{\lor} \otimes U_{2, 3}^{\lor})^{\oplus 3} \oplus O_{2} (2, 0) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (0, 1)$ 3 copies of Q_2,1^v ot wedge^3 U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(2,0) + O_1(1) box O_2(0,1)
ZL62 label: 158.5557j

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2,4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	66
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	304
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	4

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	304
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	172
$\mathrm{c}_2^2$	=	98
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	56
$\mathrm{c}_4$	=	14

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		6		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 4	0	x₀ - 4	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 49	0	0	x₁ - 29	78
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 66	0	0	0	0	66
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 61t + 180t^{2} + 61t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(176)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(248)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 5t^{2} + 2t + 1 \right) \left( 283856t^{8} - 9984t^{7} + 20536t^{6} + 4128t^{5} - 1043t^{4} - 436t^{3} - 54t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 10869018835772744224625210266400t^{30} + 34949112830348825433710030340640t^{29} + 93478631062677624467947468217096t^{28} + 123925136453563069407164991277096t^{27} + 71617779398989235504969943428588t^{26} + 18780772585942410151578688242036t^{25} + 4233643891965351613632760905866t^{24} + 2488221261467284078583548224728t^{23} + 1458476806256881380222546992877t^{22} + 378988318337260019519582874847t^{21} - 106875901966474553888495187733t^{20} - 65949948960553273156939263720t^{19} - 11043024529389642038255297582t^{18} + 10447438781402029627042534t^{17} + 30920602376367168046500868t^{16} - 69184494900685599219142192t^{15} - 34779790394339830867820543t^{14} - 4645089308237670202032633t^{13} - 419217858159164467580357t^{12} - 17803157777694469712808t^{11} - 3601031360252252340444t^{10} - 113697099863975580176t^{9} - 18523768214244920924t^{8} + 164125058860285112t^{7} + 39012112284454568t^{6} - 506543140788584t^{5} + 55475547606200t^{4} - 526539174080t^{3} + 14818610672t^{2} + 515394624t - 5292032 \right)D^{8} + \left( 462785431597066212693782052806885760000t^{41} + 2042977611895533458624632054945513254400t^{40} + 6111007203997995376353792260538708572160t^{39} + 11153935198813187837627177812713913985152t^{38} + 11785688963412319305426578701732859610304t^{37} + 7684667719152293454780520454444756388192t^{36} + 3499562243302531452541868485220478198048t^{35} + 1327147110416579257034988957950049763096t^{34} + 516149925246946254357731778667752121792t^{33} + 224284425131460908949924397454093566068t^{32} + 81721309444088114887964529961489171908t^{31} + 16116085436588912360623610644087217224t^{30} - 1506814770523449975406627936669840382t^{29} - 2518263153833436367320648243435942799t^{28} - 922620791021324442359706449286588113t^{27} - 196481081049778271713133816588438097t^{26} - 25984931602353348758587075675884865t^{25} - 5375339911064385780125551220722065t^{24} - 2780470250981197439990730394136361t^{23} - 1095654939416926639209040698638753t^{22} - 216693035766633035718303082797157t^{21} - 19026554981149333528918157560871t^{20} + 1512562855075174666805759889749t^{19} + 388766946244395374710878524949t^{18} - 7379652628877464774744207899t^{17} - 600265294858376515997159439t^{16} + 4086747226226942039129352657t^{15} + 1113705328200485666603380237t^{14} + 128056031831408093318593239t^{13} + 9122289802366266247362746t^{12} + 577958309735214051890720t^{11} + 61806021440349798009320t^{10} + 2631255703895745128816t^{9} + 251226716554766601208t^{8} - 3984180363851229520t^{7} - 452295730196565880t^{6} + 3966780251431416t^{5} - 548717886424176t^{4} + 4477077935072t^{3} - 121045321024t^{2} - 3607762368t + 31752192 \right)D^{7} + \left( 5831096438123034279941653865366760576000t^{41} + 24947467158283674238853695505991438659200t^{40} + 75133379488195508535686958712621764498560t^{39} + 134046325953502164942583348924331351194592t^{38} + 133691352604814873300748005214971320098208t^{37} + 79260562674392249104374104729298634085984t^{36} + 31724275980176418632594898633340791279296t^{35} + 11181476143258073877347771187160355215480t^{34} + 4783067588206637505648429489284865405808t^{33} + 2242370736323860396799271756785876026332t^{32} + 693331869897884978284187764926956142376t^{31} + 22368599823777232319841226386297008928t^{30} - 76523181868569174957668498196659786432t^{29} - 37893674902048140241956888761549504027t^{28} - 9609706479018190848753274673731308001t^{27} - 1509960544043610340840730611223947619t^{26} - 227702748487309884291561183521392181t^{25} - 87779677180308364242565174018158909t^{24} - 31212465767735703671534970797491769t^{23} - 7984887095523263239262485629456135t^{22} - 1529933188908842561913715863804021t^{21} - 312727812050925269558340207636903t^{20} - 52452797175884184088393256771819t^{19} - 6580153633133991204494714049749t^{18} - 532206759179403066257394098927t^{17} - 79870403713172687405584062867t^{16} - 27914363705830468566729813051t^{15} - 6596010649731951981030074069t^{14} - 730656229886113549735952223t^{13} - 52010147070997557534004442t^{12} - 2570984835854030932681720t^{11} - 347356875471932669713052t^{10} - 10707530827098255994592t^{9} - 1262895319370278270176t^{8} + 10725183581533716784t^{7} + 2013774155559641816t^{6} - 22966793075716504t^{5} + 1636987866780080t^{4} - 14881424940800t^{3} + 312377986496t^{2} + 8847181888t - 68796416 \right)D^{6} + \left( 40169775462625347261820282183637683968000t^{41} + 167422258581176311903060341783663336092800t^{40} + 507564358517270215366029883829150274303360t^{39} + 886185602766136725371645354204694629230432t^{38} + 835987796074728288247116944541353808930976t^{37} + 452994955453795154582204837609474982207264t^{36} + 161439024658234154556219050270914654391424t^{35} + 55346940802298162461976645819945836023928t^{34} + 27354179331324322710494355285343696485256t^{33} + 13404513587400411984083520888183635981508t^{32} + 3270435518844815404581140956864799860044t^{31} - 615341477627687429902940141676417847112t^{30} - 715260922152273309913136044794017885390t^{29} - 255816174975180450065221159315589218573t^{28} - 51812156559201285873506916846805274129t^{27} - 6902883210198060539195312999593124817t^{26} - 1355123103148232626794792328564227043t^{25} - 631648569923812606841818812825265695t^{24} - 213292822006721437021758130678960791t^{23} - 51049442791615939601719982952359327t^{22} - 7820796874324732478161688272403137t^{21} - 834447268247747369179749151138619t^{20} - 62236562124351139252478459624167t^{19} - 11462323785007783381864911703719t^{18} - 1969961989778686251833720697849t^{17} - 162875493659036886252150111105t^{16} + 37928541843565049288956449543t^{15} + 15173908190956998491246557363t^{14} + 1722771449413456250145173115t^{13} + 133324111565896420249647308t^{12} + 4478336527613508058194380t^{11} + 737405104684854452605244t^{10} + 16856173667954425381136t^{9} + 2595894154236551268760t^{8} - 11279571770419976848t^{7} - 3587981291876629480t^{6} + 32058852058185144t^{5} - 1635381857309568t^{4} + 19532875068032t^{3} - 365575599904t^{2} - 8783433792t + 63504384 \right)D^{5} + \left( 164890449278034691582794545415093396288000t^{41} + 672680602460195349172526893148788862704000t^{40} + 2051755027263480156843533178382530567127040t^{39} + 3512052613361724000468451728353435427538208t^{38} + 3144387762261052977295411216076859972933568t^{37} + 1565462359522337635714466536450500405145568t^{36} + 504707179070963876763723018588540077652824t^{35} + 176483932560474429888474808766528714315272t^{34} + 100126418012235598014792293942088901835764t^{33} + 48624028704194718703120888439352479293692t^{32} + 7936225931307006340900984782788367463606t^{31} - 5100100336955764395953253993260767022334t^{30} - 3424525838172222172902716773613370918995t^{29} - 952871471259295210280392992495952664705t^{28} - 140190412947863424153691351327063195486t^{27} - 13187779321274861191318622573309475218t^{26} - 4766782693943948158324093581782171834t^{25} - 2728099112505110436472780467066887136t^{24} - 851406418706736975412244079767179190t^{23} - 181597040001511170023207959483102062t^{22} - 26312065557714829070151479527117392t^{21} - 3375885492706651228123007747612214t^{20} - 424334660222332504859885795172986t^{19} - 49924351758026853815669682300146t^{18} - 1918870825568608557251785753766t^{17} - 88795855600697720617110052752t^{16} - 21837899093899520372150963808t^{15} - 14794911051501004456240117700t^{14} - 1626951838473795882038150397t^{13} - 123223526792059422074040089t^{12} - 4681222147509715254868288t^{11} - 637062447780234810784148t^{10} - 10633349512068564326972t^{9} - 2015338651763084739684t^{8} + 231598306774542160t^{7} + 2159009017393376624t^{6} - 10142320810106776t^{5} + 311379911513960t^{4} - 9393160873616t^{3} + 146490674576t^{2} + 3064619392t - 21168128 \right)D^{4} + 2 t \left( 205708124344895931542386122472660720320000t^{40} + 824934983218768114752619711870559468196800t^{39} + 2529648873601753570213997639926885813331520t^{38} + 4255442078598924376280036327516550685313744t^{37} + 3633261512173368401428495947569346396009488t^{36} + 1671244665437220307400354602007532178111104t^{35} + 495169036183588754749318497609386798398992t^{34} + 183634347901743372033313418981661165898808t^{33} + 115634229826688788068149850415020234407852t^{32} + 53143151470003817114852555450744374886244t^{31} + 3302627125201300319066128819323453647016t^{30} - 9143599854534215344234893263821413591496t^{29} - 4703301320838911166093627195990267425722t^{28} - 1074401939383533741756499384051409938166t^{27} - 109594264001831567235758706237088271251t^{26} - 6204108679177747092434294427338421975t^{25} - 6804249753629910115574627841513624542t^{24} - 4013421932794656291689350146680536260t^{23} - 1144146484475858127759130756588002180t^{22} - 218704726394863989894759658133769460t^{21} - 28498091503983177880847333714314865t^{20} - 2974800845882089445543637350062003t^{19} - 291166273862390085368133154185563t^{18} - 32574073893658861847508703145703t^{17} - 2427719606739957429453158530782t^{16} - 287535124193333243140854459756t^{15} - 12452856974265580830405245928t^{14} - 1018912998841105806017130124t^{13} + 100247795445035978132970771t^{12} + 7272058457971648185741733t^{11} + 356720258526284164435858t^{10} + 28789007726232477303214t^{9} + 516150846946152895312t^{8} + 24873075410178376136t^{7} + 3993852861237540832t^{6} - 22269574247241776t^{5} - 1182545428705272t^{4} + 9138674355000t^{3} + 607518483856t^{2} + 828866224t + 522240 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 151685638296465068980598630841670255936000t^{39} + 600200101228695517772338420278125254611200t^{38} + 1848897235259825844102929151755674882460160t^{37} + 3065100175201614888501570583538818801098112t^{36} + 2510454319514483655401256063999759742602688t^{35} + 1073881220922790276913378794638078016879824t^{34} + 296465756237491221136660460377271612248344t^{33} + 119326183336030081886157219332949566786496t^{32} + 80426608628462176027479214827751639769540t^{31} + 33901891774127810046753304286435260837900t^{30} - 2083821678660878478812216170457337519318t^{29} - 8452675579237941281718312648043482648314t^{28} - 3667177100171958274409409496003267049659t^{27} - 708424387614816695359681791497492982451t^{26} - 43552584525378067653097707352475588531t^{25} + 65653640647129451132096220342242097t^{24} - 6095804051757721556826760722597569932t^{23} - 3432265921689598597337631658242877544t^{22} - 884966913907400279923589746903185340t^{21} - 149619141458739443638418997835494008t^{20} - 17545752216182453912615916645283847t^{19} - 1741464390392640939439526143633735t^{18} - 171541560450364467280315557792403t^{17} - 20613232902730082744457837745659t^{16} - 1849537268729969788911869179776t^{15} - 173303394240561726118749981312t^{14} - 4473396284158163459969915370t^{13} + 263212615746698994040747738t^{12} + 107247139024880212107876366t^{11} + 6345669605786315176012858t^{10} + 360445653876610610626378t^{9} + 16191415064981232918994t^{8} + 458000612187983393116t^{7} + 36528991378480343196t^{6} + 1520574191129178112t^{5} - 28707057584158304t^{4} - 238447330390880t^{3} + 8817948576768t^{2} + 201558213632t + 84672512 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 10019304594076483504820381443269076704000t^{38} + 39243337297953808249546737815914384418400t^{37} + 121340909454236434082097119713833616666080t^{36} + 198801722732121553046850802495417220077096t^{35} + 157248086147976802302233465566086286964728t^{34} + 63052714090925518572901692439890247552632t^{33} + 16410294966948443817999372571036054077376t^{32} + 7221147990353519502566110291500612370720t^{31} + 5064778815897581858042598114194642691646t^{30} + 1921960801852412743160845403250736803486t^{29} - 400931396970635328304116486038892035564t^{28} - 649904547961705718571143279526481742844t^{27} - 250194688079273696909167663183306234454t^{26} - 41961402844419172203804665884857187434t^{25} - 1130616450671555116846212546285416260t^{24} + 157407798464103054267697827223651322t^{23} - 484484740448747801211608170885169027t^{22} - 254561455676116068866481739312873591t^{21} - 60090639567559542704228613474788785t^{20} - 9084622537266043557308225990666791t^{19} - 974805030724873572405605092988951t^{18} - 99167901528735221045875958703425t^{17} - 10524028870066958978041693083501t^{16} - 1391170268749992613551670512745t^{15} - 130707144451882777930791403010t^{14} - 8567933735361038305490168500t^{13} + 91592828552934581821204138t^{12} + 70229856265988835300356982t^{11} + 7760420322583840398063444t^{10} + 495853387648911662608016t^{9} + 22467477980899108313252t^{8} + 920938806952342078124t^{7} + 32673817143156908472t^{6} + 2651823029713128168t^{5} + 41987662581589376t^{4} - 1543466096547456t^{3} - 1294016217600t^{2} + 519537142368t + 5877701376 \right)D + 576 t ^{3} \left( 269958168431621957404706197470683360000t^{38} + 1049507398871905678615054346873565796000t^{37} + 3254599714431014574265948042534874983200t^{36} + 5284399883354038647314680518578359146840t^{35} + 4065743832712439538035844079900096506120t^{34} + 1543636211425039893599002486480399695960t^{33} + 382831497614952107439784240799461125800t^{32} + 183190078915703765511613517612747226160t^{31} + 131259454261784793739796747717382669710t^{30} + 44596708817342039444759980499452405910t^{29} - 16630623535945948053591404719401571366t^{28} - 19422477852992547240740942474345697890t^{27} - 6867785330075036314397501061012037735t^{26} - 1025525672742982153541949241081035115t^{25} + 1849042093174275996155037815046801t^{24} + 5976475971247212856908190439571435t^{23} - 15109829450095962130438416936026413t^{22} - 7461079896032276716887515128173481t^{21} - 1641685480710946262450399205344625t^{20} - 225677264923161166168496823455911t^{19} - 22552110747800856125946128091038t^{18} - 2460182695515985263661621889488t^{17} - 284878673897272397994820843770t^{16} - 40189246297985831929309585550t^{15} - 3649463990756851725186178552t^{14} - 160437370149844353861525078t^{13} + 12088330013143707075604916t^{12} + 2901304113841020304767560t^{11} + 215615916540806731397980t^{10} + 15021192700464481751068t^{9} + 538849254440123167236t^{8} + 24226008977597111556t^{7} + 923862681006237576t^{6} + 66767600325432408t^{5} + 263857432578816t^{4} - 28483705437440t^{3} + 109731539968t^{2} + 11568747520t + 71442432 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 4)

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $8.58869708$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$8.588697$	1	1
$-6.047032 - 1.0867\mathrm{i}$	1	1
$-6.047032 + 1.0867\mathrm{i}$	1	1
$-2.96833 - 4.586981\mathrm{i}$	1	1
$-2.96833 + 4.586981\mathrm{i}$	1	1
$4.057376$	1	1
$0.6923255 - 2.597998\mathrm{i}$	1	1
$0.6923255 + 2.597998\mathrm{i}$	1	1
$-1 - 2\mathrm{i}$	1	1
$-1 + 2\mathrm{i}$	1	1
$-1$	1	1
$0$	2	1, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{2} \left(\lambda + 1\right) \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 5\right) \left(\lambda^{8} + 4 \lambda^{7} - 54 \lambda^{6} - 436 \lambda^{5} - 1043 \lambda^{4} + 4128 \lambda^{3} + 20536 \lambda^{2} - 9984 \lambda + 283856\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right) \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 5\right) \left(\lambda^{8} + 4 \lambda^{7} - 54 \lambda^{6} - 436 \lambda^{5} - 1043 \lambda^{4} + 4128 \lambda^{3} + 20536 \lambda^{2} - 9984 \lambda + 283856\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 6 & 3 & 3 & 8 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 6 & 3 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & -2 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 3 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta