Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-336-72-e

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ5P5
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
E^(w2 + w5) + E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_2(1) box O_3(1) + Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
13050.wLwAw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 72
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 336
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 6

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 336
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 180
$\mathrm{c}_2^2$ = 98
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 56
$\mathrm{c}_4$ = 14
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 6 0 x0 - 6 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 53 0 0 x1 - 39 92
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 72 0 0 0 0 72
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 67t + 200t^{2} + 67t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(83)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(126)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 43t^{6} + 250t^{5} + 431t^{4} + 302t^{3} + 46t^{2} - 4t - 1 \right) \left( 3123t^{6} + 1130t^{5} - 153t^{4} - 10t^{3} - 42t^{2} - 4t - 1 \right) \left( 302483006805253749965664306336t^{36} - 199145518224254293525011864984t^{35} - 5667777472206500897962873105014t^{34} - 13407619661745735751298377931216t^{33} - 10094331825273264788264350659883t^{32} + 11753627005757259049164652563003t^{31} + 37909501653101859068735962372015t^{30} + 47154000410559155378891431381773t^{29} + 35508961685813372449937590038705t^{28} + 14676205891749517260419049546353t^{27} - 2387518162206522822830674274302t^{26} - 9328148257827769556148029776293t^{25} - 7912936540695436020501388303537t^{24} - 3984062302078738755480426246487t^{23} - 1391895027274808821963457777266t^{22} - 445144383222678608568151058399t^{21} - 193397909998541855050873647202t^{20} - 88142764998069414452459413250t^{19} - 27060416318886922012759665947t^{18} - 3873495045352695877890222144t^{17} + 431788469413097512364329954t^{16} + 339308778321994563964908408t^{15} + 78511235746677393042581028t^{14} + 10353111995955140922322836t^{13} + 995440476645324871256397t^{12} + 98480642878215252944513t^{11} + 10847536403108495661267t^{10} + 933154213819203899967t^{9} + 62785205661690462146t^{8} + 365574940853184124t^{7} + 3616182706898335t^{6} + 1141926244823956t^{5} + 21117861083960t^{4} + 4085047938828t^{3} - 4661970478t^{2} - 188671504t + 11139072 \right)D^{8} + \left( 1218604215026121624874172821006653120t^{48} + 5191635537331536050397986991158830104t^{47} - 19653894492112914123027418148831036640t^{46} - 182715911525452353534954389600773636944t^{45} - 533019865810582468977411038511529622886t^{44} - 746825799581379049255742419748765368727t^{43} - 192817352520421012954919288461198484876t^{42} + 1341441674459141900888696245851173209743t^{41} + 3105390979558734286889799643206520170300t^{40} + 3932876046583827393177278177782886984290t^{39} + 3317362365651778180898706573430005806724t^{38} + 1759943327472892174044592404793249270372t^{37} + 204739254195180495822472521474927223012t^{36} - 683703574829858298510048174727427683216t^{35} - 830071830522808362025579790667333858752t^{34} - 573812619911591238382012155846612455578t^{33} - 280792296588869296552862385877577209280t^{32} - 108241337468170863453740735735657239388t^{31} - 39395364088493473805981221022187429204t^{30} - 16176948335269451101283424597573634390t^{29} - 6620515113877140981882851553823256250t^{28} - 2020766466374551104412735902030701583t^{27} - 300569306075312734258967294858414304t^{26} + 55816691116327082191049185197959605t^{25} + 44890523729714055670724595443029156t^{24} + 12115244486108214448101908854404850t^{23} + 1490503773708068676333445298779408t^{22} - 77544452237021339186847735026638t^{21} - 67493172696760565687751151649334t^{20} - 13664121364108934121727797984613t^{19} - 1917933843462273467744080081476t^{18} - 374873423602176934767827226547t^{17} - 102392389340589000390871113188t^{16} - 22246228990256660829812332744t^{15} - 3311958210619300718471716972t^{14} - 349232453306970684958605410t^{13} - 30188577670387816735524558t^{12} - 2668521367201497266361745t^{11} - 243326594608064515244320t^{10} - 18087449502548371698217t^{9} - 904261977828494297292t^{8} - 5169575094233441508t^{7} - 99580657667526340t^{6} - 13068885095806492t^{5} - 309481617032752t^{4} - 36743330222156t^{3} + 39607149040t^{2} + 1320700528t - 66834432 \right)D^{7} + \left( 15354413109329132473414577544683829312t^{48} + 49509817689772271132289887005625227560t^{47} - 301665561969952479353780989566611061828t^{46} - 2139069215607602902200385858534684430016t^{45} - 5425139507409373175304516238698841133322t^{44} - 6158370441084307342744001017795989055493t^{43} + 1596536715625936736638964990926875898352t^{42} + 18055117549202169124104111860781901471135t^{41} + 34252193644242719523157543582190678262886t^{40} + 39389424399968992501541141762168938330752t^{39} + 30534382161849172643771782189946836364190t^{38} + 13908512459510694683374772784805760286630t^{37} - 1205010500701978842494933864360189133024t^{36} - 8920674748416334733425403892107606139626t^{35} - 9260900750132060197204202747432783351962t^{34} - 6054230248939969469608777670503643827644t^{33} - 2921507099291783270996216869110607324496t^{32} - 1174093375352075428601724153177810516404t^{31} - 471247215165659432265345463075761698668t^{30} - 206229166986216851606009546132846589852t^{29} - 83344293594966060542920923041858560064t^{28} - 24758558499980918751561392257450544797t^{27} - 3965460586193861715813473424604840510t^{26} + 307101063260638461736076638030506805t^{25} + 363941584441365643752925329008643256t^{24} + 101191228523123995312036870140885822t^{23} + 14336681701772766659256146982036622t^{22} + 508433910775660116441460688359618t^{21} - 246670012690127724296086471046876t^{20} - 71456806153041126997884309731323t^{19} - 11760442169697662474625840206934t^{18} - 912877478025200722971537736993t^{17} + 168035202430139438372188718702t^{16} + 74424424106063857510372444552t^{15} + 13506545138144627791076170664t^{14} + 1517359018255348768674613162t^{13} + 133454355819942986394271410t^{12} + 12028808490875629447934199t^{11} + 1091315311090149958079010t^{10} + 78847470310176540123515t^{9} + 4272014269425419590844t^{8} + 16148476707789004202t^{7} - 106849356176224832t^{6} + 47088555893351840t^{5} + 733675147626072t^{4} + 108711128908400t^{3} - 89561932752t^{2} - 3509993872t + 144807936 \right)D^{6} + \left( 105774845864267357039078200863377490816t^{48} + 251747887310249384790890563921595463240t^{47} - 2317864559350004511088893566340705212472t^{46} - 13555653297655063182572310462371129032776t^{45} - 30150212504502401655556051329297111423144t^{44} - 26182792160059740399393068860164333729389t^{43} + 28385287321382038877649693555314578994746t^{42} + 124354671064575718148925156522574194269733t^{41} + 205242516312717268741095848588036506382382t^{40} + 216686265540083974721807088740365611178630t^{39} + 153504062244314847562589879888409502866324t^{38} + 56179252245234705082261603982466629975332t^{37} - 24539959036967549083591455170779407625784t^{36} - 60160805090013311250957191680504152448024t^{35} - 55480965557000720906960649297473245872122t^{34} - 34282874741213380681354436287664560510798t^{33} - 16164457445158040386048141489528627368080t^{32} - 6672082984301660023328812645937879805752t^{31} - 2880776257083731276113525369015742020980t^{30} - 1319916974506562184215158265871868467370t^{29} - 528006117940330467432569693687592057282t^{28} - 150398278671593868421766361054349168461t^{27} - 21856421862485302127750578296161774220t^{26} + 2810180704629176152423993819181894407t^{25} + 2517694485541069837179345608264098876t^{24} + 727630756476398092580836683263099878t^{23} + 129451411920841524988431366646218172t^{22} + 16621883568116655923560334790185630t^{21} + 2044713319349015753374462247264934t^{20} + 323272366675464054429426259298453t^{19} + 50059528515553449796078029761256t^{18} + 4198864418732056569167059873127t^{17} - 444588863764545349727717417078t^{16} - 223808687174130482887433399584t^{15} - 39110950535888979380130451030t^{14} - 4058571007502673198028961318t^{13} - 302786618103798299498985216t^{12} - 23331082410068431734988783t^{11} - 2072466952903996812101788t^{10} - 143766097318981521101779t^{9} - 8558890858516567711716t^{8} - 31017928364437028904t^{7} + 1224216385125232466t^{6} - 64447673782406956t^{5} - 1379707078600384t^{4} - 128137288826348t^{3} + 107077012444t^{2} + 3454199056t - 133668864 \right)D^{5} + \left( 434188681813807134942667776124670506656t^{48} + 738215508728355405795748438550651882736t^{47} - 10143022581902883353250441395689787336478t^{46} - 51120220278266417738653383335713253988696t^{45} - 100336470761490884478353806708237055999259t^{44} - 60013168076327768659756782350724644493386t^{43} + 158651389404315936780110712409572105885677t^{42} + 491155480458955649604910267136744787930382t^{41} + 730483875685911765402981548866778091947038t^{40} + 715210520268986879471884672287606369350070t^{39} + 461676365477973186458460200442376176044481t^{38} + 122043552757561712942961269420189385608286t^{37} - 136336580845825308368937941314700350673664t^{36} - 231328144558331979514600020220038358853858t^{35} - 194678432784467677105363748297731671936190t^{34} - 114102018253823944365634918988246926242078t^{33} - 52615611398703394578758651965240031049956t^{32} - 22455069687823247204623471421772188573144t^{31} - 10461836607838943792011468054265878593484t^{30} - 4992952318273362934099002904378871068146t^{29} - 1972340507740612459733516098381031355065t^{28} - 535029249498589972978895092450401234478t^{27} - 66693683093857140217218182572099757857t^{26} + 15043471769538678742566792107476910878t^{25} + 10414572296410239161008065684293288284t^{24} + 2933733552286971953435783008757415816t^{23} + 534563562960933334628757928473561973t^{22} + 72072730730129344892590580728030420t^{21} + 8251001991978981040945422529733353t^{20} + 850543713708614922930073147918538t^{19} + 61821986096442917828058091731849t^{18} + 933312840035934094100511856160t^{17} - 106242401476892435651757053896t^{16} + 78416843144644850118547715872t^{15} + 25156232199391497290958605873t^{14} + 3285976074177924524839724692t^{13} + 278628714243393614798213211t^{12} + 19816277006029996136916636t^{11} + 1512319009323993711702027t^{10} + 92360177050377560432546t^{9} + 5909805588364474341770t^{8} + 21746355474839639114t^{7} - 1389663393314418995t^{6} + 19441488567165548t^{5} + 1154953059961368t^{4} + 53847190714820t^{3} - 12139650594t^{2} - 1163423968t + 44556288 \right)D^{4} + 2 t \left( 541669573579111062256569818937457311840t^{47} + 628702501234346091335481497714500019568t^{46} - 13152936684809897774661157071761971157700t^{45} - 58855671439547177692112509720336602839028t^{44} - 102553489387505642908395554828458922771181t^{43} - 33199291743791903242031746176734774461930t^{42} + 227046063788551412598569943933064044826145t^{41} + 578207202452996538567723637170565461060438t^{40} + 792505065081760837398495529702799157938151t^{39} + 725845706252600167017361113997751911722398t^{38} + 426129960154738830863547917013904448518260t^{37} + 64273356660979103999135006914661304374162t^{36} - 189734982197716595841186314888885762642326t^{35} - 263881962566523382535983726049375103341672t^{34} - 206405285374070941177061580287911722958555t^{33} - 115336666672103031884303796557163383313728t^{32} - 52335097116688788784072138593805432508356t^{31} - 23389460333646355551101210462138542973062t^{30} - 11771500439562168547073726670505529472732t^{29} - 5790333153326882371432214872569448594388t^{28} - 2241800430821086073860563658160069658030t^{27} - 572485294748708572490573196500493300612t^{26} - 55520753186759098557336765296876178402t^{25} + 23572020357430656695733919895092454900t^{24} + 13301867950703583931879752373060283852t^{23} + 3608097562973246866742161252508925512t^{22} + 657280685016449691332762373461180282t^{21} + 91208649500424500811661941932462008t^{20} + 11100183540006296514369919277267616t^{19} + 1310183856131639700721710814811890t^{18} + 139195284242102355283454625698766t^{17} + 11407024757005643735238856277284t^{16} + 528379612977954679154782417961t^{15} - 14142672238118236458420455618t^{14} - 2431797687974347950974716535t^{13} - 53522824614060145361004730t^{12} + 4754029618361380617316263t^{11} - 169334566346669473729616t^{10} - 15895208631685870651970t^{9} - 1700374577823208572026t^{8} - 166426489793582291760t^{7} - 3788927037968471934t^{6} + 84993563500370545t^{5} + 436607533206472t^{4} - 45683568450440t^{3} - 781013883244t^{2} - 948175510t - 961408 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 399417841545061797912924711631947337632t^{46} + 295264847689047427288263115285237276080t^{45} - 9933476504351631681751213877369909749098t^{44} - 40386420965544031372198142905172885496816t^{43} - 62918879801439153347832088897292239396259t^{42} - 2977658764871736031733110925754595084718t^{41} + 178491583388998606941754732988130984469570t^{40} + 399745528173493389607536340289528280311126t^{39} + 512932197277006240582933888165145761583964t^{38} + 442813631004129320728287553055445421737884t^{37} + 236132898926727482132499380279140413306524t^{36} + 5881242105890540097509078258973609666632t^{35} - 144130052557897554321397814696020195266236t^{34} - 176486450552332821436053527818921753973450t^{33} - 130035031687467247318044721794297266700195t^{32} - 69673336084301907490161132544242389624598t^{31} - 31348393516973125974512203578036663530005t^{30} - 14812922150565226017325509077666674634006t^{29} - 7992334739169071978329422061455986200472t^{28} - 3999820735381703103679868869940636316838t^{27} - 1507826296889571860302462519275189710968t^{26} - 359318503932415004027530977727229821068t^{25} - 23172636201082025304095418116669593164t^{24} + 20172671257999391455475155412833119236t^{23} + 9828784809685453897349164615351612767t^{22} + 2563300816380117117184831535924498708t^{21} + 463150885767011183539140665060594941t^{20} + 65430729511191190631994445389269640t^{19} + 8276179878716933884480378572848481t^{18} + 1022001029344029261507307563703122t^{17} + 113868565443300445994667158182582t^{16} + 9912404931333070176032848384934t^{15} + 506370674488543090318618739094t^{14} - 4934059554614275963012584450t^{13} - 1568462375160619106601419979t^{12} - 58115816594965370145647078t^{11} - 1926387476534779642965074t^{10} - 234176622024094505114226t^{9} - 10849811519517968084911t^{8} - 1556127232828102711786t^{7} - 86458069157933788936t^{6} - 591373264644609372t^{5} + 48478858170207454t^{4} - 399583571969012t^{3} - 23117001083536t^{2} - 263894128064t - 89112576 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 52765562510631066357051683149588080096t^{45} + 21971759275977930685789862231031192000t^{44} - 1332171834473109504096431537433194014092t^{43} - 5017705649404774653516118002228031769076t^{42} - 7055100492522226336345243622523094966601t^{41} + 1586889067979367622890401666576832368792t^{40} + 24265902897164031558512854443364709479986t^{39} + 49622759068874017521587030605724509694824t^{38} + 60346796234496464406449621756600242273857t^{37} + 49463159871530220905476312464571260071904t^{36} + 23960603701207822191136136351252173475564t^{35} - 2704684483324298604406026494018305276488t^{34} - 18930779489325969622507188655014169816308t^{33} - 21216864820166510260327449133735987687160t^{32} - 14885743161817104728710577671494000542472t^{31} - 7695411250733963280514103559583118088472t^{30} - 3459160914825357851110154403741505333401t^{29} - 1734835195664079695162661807603721731568t^{28} - 990926812903431290981875361456712596236t^{27} - 499196122497686164415430195650222303944t^{26} - 182627478399543207123968825285359121285t^{25} - 40398871477343275767006033174362466968t^{24} - 1135441745034147354550418087166805062t^{23} + 2935836366176065009120786902864518984t^{22} + 1285518321198423930655172720884478235t^{21} + 324096929426343206154574061309159612t^{20} + 58236376766354883294350619455768754t^{19} + 8408748616547356553000401218684000t^{18} + 1110569600006857815963383957994100t^{17} + 143145977628159949259715898678896t^{16} + 16372385886415325970076112613936t^{15} + 1434230709918129478265579859008t^{14} + 70268923090733944576487166293t^{13} - 1013122127525354957917520112t^{12} - 242119294604756234163063908t^{11} - 11792069045152272740839068t^{10} - 660884268607265992288846t^{9} - 28163182086129675168996t^{8} - 1679730485904027134742t^{7} - 202723573297659148344t^{6} - 7674110856953539904t^{5} + 48395318840319080t^{4} + 3912445721998876t^{3} - 72006549211728t^{2} - 2189377225236t - 16604360640 \right)D + 288 t ^{3} \left( 1421704917530475229019868291174428640t^{45} + 252284418614788200103972602332628000t^{44} - 36237798671865586610487265179995226480t^{43} - 128691913925489036486869794859544657580t^{42} - 165464145893511773648152751800528228657t^{41} + 79429948328965196915288831347203781140t^{40} + 661369982237665729343578750943965651930t^{39} + 1266759529918767141061911111558481436492t^{38} + 1476036887666671523671465064783450382364t^{37} + 1157660856969653273307893333410275621716t^{36} + 511259170111192808544566355554759751734t^{35} - 131921671568624368889111131036734832948t^{34} - 500363862998958756534226984031879710930t^{33} - 526382822871795404996135817691538047924t^{32} - 355094641110580141967301247098287750942t^{31} - 178277129449142770797379729189837734908t^{30} - 80514306690815572682260129880095270777t^{29} - 42724710128615749907410786872932372540t^{28} - 25475998857719726869407686874892529932t^{27} - 12832284180498701214595768138679013860t^{26} - 4558696046854107945109234163669317588t^{25} - 936234387618756107380527873080336036t^{24} + 9519380224864266439121706257917462t^{23} + 84180494275892898947302164265629012t^{22} + 34120049636519208413550341864068697t^{21} + 8373373580137956973960036692394772t^{20} + 1501486917360457239017983288921852t^{19} + 221910038801609468439982314711732t^{18} + 30502522785041315845782729499163t^{17} + 4062275000387754454081891834804t^{16} + 469809394203976698996906593038t^{15} + 40633621480745820318906436012t^{14} + 1844230818863308008088958572t^{13} - 45362566997097914239293492t^{12} - 7829460053424050326746074t^{11} - 420257491777212138549400t^{10} - 24105127261262367540626t^{9} - 672777084820526275956t^{8} - 57832286790041101462t^{7} - 5111505128208051112t^{6} - 135133002059481566t^{5} + 2717427734943080t^{4} + 55444454739220t^{3} - 1878353537760t^{2} - 43807409184t - 225566208 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ5P5

|λ| = 7.811303 λ ≈ 7.811303; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.193824 - 5.361228i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.193824 + 5.361228i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.038936 - 1.51404i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.038936 + 1.51404i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.3410065 - 4.04909i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.3410065 + 4.04909i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.968492; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.89883; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.7236877 - 0.414036i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.7236877 + 0.414036i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.2860556; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
13
Spectral radius
$7.81130316$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$7.811303$11
$-2.193824 - 5.361228\mathrm{i}$11
$-2.193824 + 5.361228\mathrm{i}$11
$-5.038936 - 1.51404\mathrm{i}$11
$-5.038936 + 1.51404\mathrm{i}$11
$-0.3410065 - 4.04909\mathrm{i}$11
$-0.3410065 + 4.04909\mathrm{i}$11
$2.968492$11
$-1.89883$11
$-0.7236877 - 0.414036\mathrm{i}$11
$-0.7236877 + 0.414036\mathrm{i}$11
$-0.2860556$11
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda^{6} + 4 \lambda^{5} + 42 \lambda^{4} + 10 \lambda^{3} + 153 \lambda^{2} - 1130 \lambda - 3123\right) \left(\lambda^{6} + 4 \lambda^{5} - 46 \lambda^{4} - 302 \lambda^{3} - 431 \lambda^{2} - 250 \lambda - 43\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda^{6} + 4 \lambda^{5} + 42 \lambda^{4} + 10 \lambda^{3} + 153 \lambda^{2} - 1130 \lambda - 3123\right) \left(\lambda^{6} + 4 \lambda^{5} - 46 \lambda^{4} - 302 \lambda^{3} - 431 \lambda^{2} - 250 \lambda - 43\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 6 & 3 & 6 & 8 & 4 & 8 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 3 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 4 & -2 & -1 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & 3 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$