Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-400-84-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Varieties in this family can be blown up to

Varieties in this family can be blown down to

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(w3 + w4) + E^(w1 + w4)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label
12040.wBw2
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 84
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 400
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 12

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 400
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 196
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + 45 0 x0 - 12 57
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = 118 0 0 0 118
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 84 0 0 0 0 84
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 79t + 240t^{2} + 79t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(51)
Coates et al. (2020) Obro(4,113)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(85)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 7t - 1 \right) \left( 443627t^{11} + 336845t^{10} + 111755t^{9} - 45478t^{8} - 31296t^{7} - 14184t^{6} - 2983t^{5} - 1099t^{4} - 268t^{3} - 57t^{2} - 10t - 1 \right) \left( 194091934747994266080673333136t^{29} + 453390258840555491342967617024t^{28} + 1399226159250230134047948042736t^{27} + 1546312424421072619529581715368t^{26} + 24392878487929099614232707950t^{25} - 530003239176081810866644611988t^{24} - 357069551699506782294763665533t^{23} - 69224240197568198596782976646t^{22} - 123312273077935572791928801326t^{21} - 112688539403931201211267455021t^{20} - 26514683430763083623709727400t^{19} + 4348316813011578244440956144t^{18} + 4552690037213492946955498420t^{17} + 986881732095045224841907387t^{16} + 131988445121962749098707275t^{15} + 28571231050653426912908722t^{14} + 5034461834830896379652238t^{13} + 555223508013357656731850t^{12} + 50275122336192828272112t^{11} + 4185908949047627152050t^{10} + 1041123681046012161954t^{9} + 77358377881642972222t^{8} + 7269015514346090382t^{7} + 279769245126002032t^{6} + 12789920399881192t^{5} + 668875495632800t^{4} + 29814945389760t^{3} + 899245872352t^{2} + 29825968704t - 300542400 \right)D^{8} + \left( 21698314529585009974199858927299316544t^{41} + 63240701380438763166934933820981481472t^{40} + 194095834851236656002120640042065565984t^{39} + 276533190699464004804284829837935173656t^{38} + 112808523561260765111677383154034516848t^{37} - 60434098969473930950626295870694457892t^{36} - 99360128695274868058387488325210213954t^{35} - 45713219487349655871494188397323621710t^{34} - 22300959225087871114567873851021798092t^{33} - 20440412311716825953816341418477795405t^{32} - 11668682393852731967529840030665331670t^{31} - 1121633912507350272837211785136331308t^{30} + 2431664287242305384321822214357503913t^{29} + 1432186983808747054064522436732075371t^{28} + 340887351754716106345166176030814256t^{27} - 8413437332914212723110670402789423t^{26} - 28803264419644338792658687155680635t^{25} - 10858462970423084839574269868974097t^{24} - 2780556861982835378713902612088313t^{23} - 622358984082568265020611608981654t^{22} - 107308005250067005063459963107715t^{21} - 10574214325040182380082067043624t^{20} - 1324979942654922729071536066339t^{19} - 630457423798332328094957279055t^{18} - 195698791356389456515316707359t^{17} - 32304478954601456354402677459t^{16} - 4412767101365555382578640554t^{15} - 878967679723417627090867364t^{14} - 132620986864513284117400164t^{13} - 13522619753840360354828102t^{12} - 1101910928474012920536900t^{11} - 106845208550679794570900t^{10} - 18927430574875432020526t^{9} - 1351042208253441814994t^{8} - 108672879202758102484t^{7} - 3920673106325822592t^{6} - 165685815381439200t^{5} - 7785582540100288t^{4} - 307360535522976t^{3} - 8252633407392t^{2} - 237706122432t + 2103796800 \right)D^{7} + \left( 329091103698705984608697860397372967584t^{41} + 948610184000172581032292018219668730368t^{40} + 2986870830923911397799725569874475768096t^{39} + 4215134157434532142929323154110895146664t^{38} + 1518543092975496153037743466283112152308t^{37} - 1024678376438502437527897088155821632324t^{36} - 1450683293348566421477732044910265863872t^{35} - 633548622282497311565558313555277811550t^{34} - 394205981230810515272713547143440847144t^{33} - 400906899148604484626996790095217416517t^{32} - 213935551153705497661558685321101547792t^{31} - 26592552208580139492920470024913183188t^{30} + 31124153432571826368538910248173885585t^{29} + 17730453755974758762843925878681601031t^{28} + 3763559708406068865256677790105501470t^{27} - 156680901809757425773770483335219695t^{26} - 284718890706576772259887767433918121t^{25} - 89757217240414750331650376821162965t^{24} - 19582416444261526477748409285983555t^{23} - 3678602811895565692933065457568500t^{22} - 734044632414233882707371498832507t^{21} - 144378342893911803143445432075866t^{20} - 19406617755206900025003192676687t^{19} + 647632652106025201442469909819t^{18} + 1058498194901059329874202678435t^{17} + 198746344036275636731252623111t^{16} + 26290916867990734072087496922t^{15} + 4778791279830950218476877348t^{14} + 730239898116836032472766712t^{13} + 71292792863841787896698618t^{12} + 5627185286343456922384540t^{11} + 452577157463333455557652t^{10} + 95052629646695971084934t^{9} + 6155987167218580605186t^{8} + 492147391554205056460t^{7} + 16381987544963984272t^{6} + 599684924146093120t^{5} + 26781184304485888t^{4} + 982084873949856t^{3} + 24557873260960t^{2} + 649509362496t - 5109220800 \right)D^{6} + \left( 2733987630727711256749182224839713884544t^{41} + 7807346900723559164858787814629442293760t^{40} + 25117318331201665361577257841466090104448t^{39} + 35076101375166319199388011188007872069416t^{38} + 10973224244826515581868218881175033634376t^{37} - 9622868198107578585001973166558307153508t^{36} - 12010463428404571038481471733245171611106t^{35} - 5005774853644717958638264316907744156466t^{34} - 3767247828452186681118539816823536556172t^{33} - 3992567683564553966686692822696572326799t^{32} - 1993913330571147466250628379310915205800t^{31} - 244674938818084932207741802702630117464t^{30} + 243848781176352463873880078585405910231t^{29} + 133923430013836381011641460896173325119t^{28} + 27956841941932978998550738530595848158t^{27} + 287390380066987137352385768311010967t^{26} - 1073075632366885951060811896410972075t^{25} - 304604120311757761386779630870629397t^{24} - 71093399923240112590575120709754681t^{23} - 15191945456947284304750876447437776t^{22} - 2739378840927641132394753480678489t^{21} - 341031658906626151660297006968942t^{20} - 31342961488314212207651418447353t^{19} - 12919954136855987107885689725971t^{18} - 4982689798728604630911167216439t^{17} - 907571429472341702607119258523t^{16} - 101852388725915339756512542308t^{15} - 15504863076114693229717862924t^{14} - 2050427178067632225526737240t^{13} - 182662694526682268175969382t^{12} - 12644991637988844961005828t^{11} - 673707428085486377748572t^{10} - 196880372044704532058642t^{9} - 11847688189458989463626t^{8} - 945232772726544812048t^{7} - 30403573990003022032t^{6} - 910497291467639952t^{5} - 38545425564000960t^{4} - 1198851425912160t^{3} - 30757899001824t^{2} - 689503897536t + 5109220800 \right)D^{5} + \left( 13530707302073719136411462029415065474896t^{41} + 38338202859842230512303328425166475858176t^{40} + 125561540016701066209012104467293115434224t^{39} + 173562617814893460579691362447664963962336t^{38} + 46608279355289504990174191165405526934766t^{37} - 53130980987021620652546202182714151055368t^{36} - 60086416347684964096729615485358590398651t^{35} - 23895970449134785699892235158729567441782t^{34} - 20899827011028425006525388399695024463306t^{33} - 22628223420012993831950801541061792783735t^{32} - 10669442009387436192839624822552579432886t^{31} - 1166678024236897917436485361333821911406t^{30} + 1245526595286522339463541316373163281067t^{29} + 654774583214361433274476394909484720934t^{28} + 142591400846836285084232584187397245386t^{27} + 11505541770120825012115979915951223713t^{26} - 566721587080552637955989695749543119t^{25} - 274450286240564909002361290541483054t^{24} - 138593816192888964498654100882454239t^{23} - 45320829594243205636025118613308270t^{22} - 9251621826170755563766169896958559t^{21} - 1515995151859287639699017639856540t^{20} - 157501432070411812351526269707095t^{19} - 10363675748885319457601863379537t^{18} + 1813074858479769504028325255561t^{17} + 280125556561938046269594475327t^{16} + 27212039545786462235510769931t^{15} + 5688002645397033654785602022t^{14} + 1192082487538889687216881982t^{13} + 94311100791118245371139630t^{12} + 4822092174296223624501024t^{11} - 119616233871357043041372t^{10} + 121861700174712889824076t^{9} + 7122839472511585357726t^{8} + 626773788674463707774t^{7} + 21547196245029678664t^{6} + 590281307789870616t^{5} + 24755702744103552t^{4} + 510576298950912t^{3} + 14753420417536t^{2} + 248704185792t - 1803254400 \right)D^{4} + 2 t \left( 20277074927897191820889768167561211310368t^{40} + 57086167024873461752313022570529389789184t^{39} + 189707367159700736219457660148208547596528t^{38} + 259818529303580241115089908404754511799872t^{37} + 59540148298655567761343519162483846966196t^{36} - 87056616162656286354106663924169587519836t^{35} - 91304715892101007770735851747077005072782t^{34} - 34681454103479691939462085361653991158632t^{33} - 34310617709190970817819777241753583244604t^{32} - 37658983155647724081303699661051663151462t^{31} - 16932941918406442553840297577678867232509t^{30} - 1543673195804050459766561622282729977510t^{29} + 2036299727470397560022233991431234076140t^{28} + 1017556906843918683247712059386573198647t^{27} + 231404923983558415116788584673507664445t^{26} + 31228023767160002778115813251383842964t^{25} + 4130129525637214938014632141810149611t^{24} + 657516307385146046013962912287284663t^{23} - 15734446628326885345487622993827399t^{22} - 34177282411551633666152081502213229t^{21} - 6529632803646271076255516732269166t^{20} - 750841401398913566241912570605165t^{19} - 58140479241364549585492254288178t^{18} - 18122431704964236270576050524847t^{17} - 3953500961400321422296106053585t^{16} - 661211187174826772245750097077t^{15} - 58168718616462618111462150117t^{14} - 4344237322286743491661034072t^{13} - 217647576504126221239012974t^{12} - 14758530098240066373034798t^{11} - 827079478272263593696196t^{10} - 65032130065928471009536t^{9} - 5699825440757748756704t^{8} - 323505702922871790530t^{7} - 17862247960701654382t^{6} - 816716033614387032t^{5} - 12852108365039880t^{4} + 197250382756160t^{3} + 7219823504640t^{2} - 42040510272t + 36065088 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 17799247954810414709669334277279892135024t^{39} + 49854003885027291914348906093225980616448t^{38} + 167606492907757529726328730800597163750576t^{37} + 227748757729762057623385181307678574053184t^{36} + 44594886660521243456128545305822487599338t^{35} - 81890443575549323114066590050824310833200t^{34} - 81132781672636089865555116440692003950409t^{33} - 29549970134847843868863651819822801532698t^{32} - 32366372911743217480330986833381758539236t^{31} - 35857959588274284612063298271425985242049t^{30} - 15518916787660779953889119478268642971071t^{29} - 1117944575628195843131661961510469195368t^{28} + 1985595721855672086916529160741799257645t^{27} + 942628148258875317925189055548020723707t^{26} + 219684689473042617060833838348403022329t^{25} + 37416038663362317419622125954983829095t^{24} + 6654473708363176431727055408392057628t^{23} + 1127859839080746105872329685130476295t^{22} + 92367879850122879771683014459651912t^{21} - 8414030534837139866329478428412827t^{20} - 1686039465073308094541555207879629t^{19} - 54451865041137160668787373326053t^{18} - 3584679380245665286633307225119t^{17} - 12955886016283437742997436197414t^{16} - 2656804186864055115346571047346t^{15} - 402470879899406756747739915202t^{14} - 33084529179044282600632158924t^{13} - 2103228114765896667643550920t^{12} - 92250798202019369606656096t^{11} - 2159813474412696151766666t^{10} - 245726427510869911378990t^{9} - 36064925018636890108868t^{8} - 3113472440087182082920t^{7} - 228009938792827517920t^{6} - 12000718308767251168t^{5} - 510089462179942624t^{4} - 5766310701257568t^{3} + 91275423506368t^{2} + 760283158080t - 10819526400 \right)D^{2} + 16 t ^{2} \left( 4128104339253548147591523160918694972496t^{39} + 11516977657183853728985666184803402519040t^{38} + 39064692180696657728328541069443472651272t^{37} + 52748578995459895818562455731658332454024t^{36} + 8921693106562684344874831738398693093074t^{35} - 19989821758497351119948177104058225623886t^{34} - 18990748300513500962218387563604995025977t^{33} - 6675802267234062884379902638096128375614t^{32} - 7931543908812468403408791150870340628103t^{31} - 8842722689506078599092818992008258426782t^{30} - 3715841488329075797526669402900863227692t^{29} - 203358488516770337236130574839705484847t^{28} + 507245320511898052026689309426586043513t^{27} + 230294299362213523350992700705480387692t^{26} + 54157355846948776746717112580380536761t^{25} + 10423182000382077738782022058539834530t^{24} + 2029716171237254240780743653649084851t^{23} + 340531446635398517971787224942311913t^{22} + 37721637478461649092056794678032251t^{21} + 1533971438675719929600643954580607t^{20} + 187181068903886312415605883970718t^{19} + 66030538377211566494018640125686t^{18} + 6208029698616495733345995833015t^{17} - 2250850506599737123806669966166t^{16} - 445068234554655053091260295682t^{15} - 65216955193313215773190933986t^{14} - 5225761092632151650207608610t^{13} - 290457269105951521103241208t^{12} - 10842033886616413763336382t^{11} + 582541471417342367088992t^{10} - 36502041754777056989828t^{9} - 6150311177901465965322t^{8} - 546796618763851587098t^{7} - 43644803602581503344t^{6} - 2073507381612945448t^{5} - 83860805862561920t^{4} - 583340245408608t^{3} + 9758119039776t^{2} - 129098788896t - 601084800 \right)D + 192 t ^{3} \left( 126573501422579224849499177075912679840t^{38} + 352135187926338098247223171579243603200t^{37} + 1201987194690516271712825868251129757480t^{36} + 1615555079721601068179323076703060337560t^{35} + 241685518589352569294686501845965058824t^{34} - 634972109373771326097076218881802179570t^{33} - 585937235261848287170209214674572445392t^{32} - 200501668487291055118717811215318685540t^{31} - 252892634476719918478929926208866878017t^{30} - 283089255472822462413824826480652646047t^{29} - 116487681310197986609247268822257486013t^{28} - 4801226820847941160818841490609387037t^{27} + 16748393837251564411902503462863198360t^{26} + 7354882766888054838780342006469848393t^{25} + 1732070687729442326020007614272395897t^{24} + 356860235123857050358340596023075685t^{23} + 72213145370365973692782535500903410t^{22} + 11951397285032070600210686777167762t^{21} + 1481594995932350912771357333310576t^{20} + 116602948352012436638780360659671t^{19} + 16035004861895593451537009822638t^{18} + 3349240733483099388613742909441t^{17} + 340562023429502401040875547980t^{16} - 47366228262700575266759678628t^{15} - 9513172899210151583573727916t^{14} - 1429182890366913339595656285t^{13} - 114844274290927253699396188t^{12} - 5674900827268139925493487t^{11} - 175118633039766116785793t^{10} + 29671637301639879848594t^{9} - 1309147395307764691830t^{8} - 169236005098256267376t^{7} - 15282236872528640040t^{6} - 1171629895015111128t^{5} - 49493726635060872t^{4} - 1905717879153312t^{3} - 6159557638368t^{2} + 128736288576t - 4818398400 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4

|λ| = 7 λ ≈ 7; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.085502 - 2.409086i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.085502 + 2.409086i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.4333385 - 4.589702i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.4333385 + 4.589702i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.242538 - 3.187655i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.242538 + 3.187655i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.396728 - 2.243102i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.396728 + 2.243102i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.938269; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.296104 - 1.235541i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.296104 + 1.235541i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$7$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$7$11
$-5.085502 - 2.409086\mathrm{i}$11
$-5.085502 + 2.409086\mathrm{i}$11
$-0.4333385 - 4.589702\mathrm{i}$11
$-0.4333385 + 4.589702\mathrm{i}$11
$2.242538 - 3.187655\mathrm{i}$11
$2.242538 + 3.187655\mathrm{i}$11
$-1.396728 - 2.243102\mathrm{i}$11
$-1.396728 + 2.243102\mathrm{i}$11
$1.938269$11
$-1.296104 - 1.235541\mathrm{i}$11
$-1.296104 + 1.235541\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda - 7\right) \left(\lambda^{11} + 10 \lambda^{10} + 57 \lambda^{9} + 268 \lambda^{8} + 1099 \lambda^{7} + 2983 \lambda^{6} + 14184 \lambda^{5} + 31296 \lambda^{4} + 45478 \lambda^{3} - 111755 \lambda^{2} - 336845 \lambda - 443627\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda - 7\right) \left(\lambda^{11} + 10 \lambda^{10} + 57 \lambda^{9} + 268 \lambda^{8} + 1099 \lambda^{7} + 2983 \lambda^{6} + 14184 \lambda^{5} + 31296 \lambda^{4} + 45478 \lambda^{3} - 111755 \lambda^{2} - 336845 \lambda - 443627\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 3 & 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & -1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 5 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$