Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-78-23-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(3w4) + E^(w2 + w4) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_3(3) + O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
12040.Hw7w0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 23
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 78
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -18

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 78
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 108
$\mathrm{c}_2^2$ = 114
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 24
$\mathrm{c}_4$ = 0
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 5 5 0
0 0 12 0 0
0 5 5 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 18 0 x0 + 18 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 7 0 0 x1 7
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + x3 - 17 0 0 x1 - x2 - 40 x3 23
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = x3 - 5 0 0 x3 - 5 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 18t + 40t^{2} + 18t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(707)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(704)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 7t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 8t + 1 \right) ^{4} \left( 808796t^{5} - 72914t^{4} - 10771t^{3} + 1777t^{2} - 76t + 1 \right) \left( 16415726862254927403655247954018304t^{25} + 19534074847956810372935304573917184t^{24} + 7691008664891565883088893672990720t^{23} - 911003943648373940250150730003968t^{22} - 2382407783335868563530611525275136t^{21} - 1312394848203484959393499263563008t^{20} - 448156743835229510184944159915392t^{19} - 110428572468244408132377979400544t^{18} - 20700784582553774130554013042592t^{17} - 3011902746943288052058253689704t^{16} - 341486275236261948849590733680t^{15} - 29985757882172962485589207320t^{14} - 2009004561812166088821312164t^{13} - 99934508732771409359910046t^{12} - 3476487443711244512030240t^{11} - 67325407666525353615444t^{10} + 738283712190863185297t^{9} + 117830274526835318440t^{8} + 4440518096270487464t^{7} + 56517507347785154t^{6} - 1052406068981239t^{5} - 30810921676918t^{4} - 145311483009t^{3} - 6096881196t^{2} + 1013614t - 71344 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) \left( 8t + 1 \right) ^{3} \left( 107065520136564887635853471388895469660798976t^{33} + 159809364654885209218444139367500098005368832t^{32} + 88328078191258238579750642074786689115357184t^{31} + 7519610703753811874655818604414669119635456t^{30} - 19561227184988345334148334678751303737057280t^{29} - 14782694795466618651072940953772344131117056t^{28} - 6170469389882076102091322613880401153992704t^{27} - 1796296692476803435491117389541347410332672t^{26} - 389904931140517608942663086298179228911616t^{25} - 64206955317235416590778872666916837198080t^{24} - 7889551202553571884591551597880662834304t^{23} - 673269983524240916093793247569603199488t^{22} - 29491404477914440649186016749218553696t^{21} + 1302869942787325806116255770488711696t^{20} + 345321214370345521839016011951828416t^{19} + 28660403249426606437506722869198856t^{18} + 1016185109525273047551262580901036t^{17} - 38198649237991397635057360342052t^{16} - 7720630658352759240168413640728t^{15} - 539932242519715790596170287562t^{14} - 20704312626419158353177684555t^{13} - 210856644294438003256832420t^{12} + 23013269491587632265422673t^{11} + 1356420919020851262584711t^{10} + 32335518297582885521714t^{9} + 10861083093226332546t^{8} - 29795224421391252722t^{7} - 920371510806231179t^{6} + 16498717190016t^{5} + 304175754947233t^{4} - 194406900009t^{3} + 49357100478t^{2} - 16227330t + 428064 \right)D^{7} + \left( 8t + 1 \right) ^{2} \left( 51962465772946158799267551447410601275374436352t^{35} + 91549150128971593476966297346758538226753863680t^{34} + 64230053461674647245934386061810151525306073088t^{33} + 15592008043478723968444872984590966928157540352t^{32} - 8827767879466211206856878766136750911126388736t^{31} - 10454639435448487659704922545829862454770876416t^{30} - 5520127246239983856066715745253839411106746368t^{29} - 1982798437287387470631415072247103377922504704t^{28} - 535901310028844925301060083676435299134965760t^{27} - 113331352496998785035293649833827579217274368t^{26} - 19022469945761079453296756379473962881050880t^{25} - 2529792703985760650409892413443443339045120t^{24} - 261584694413073131224228687669008874082368t^{23} - 19974737146840270783700984110760311568288t^{22} - 954014256596926247866796492619396456064t^{21} - 1654164099436562933922207339632981760t^{20} + 4556267126612286631304959270522184384t^{19} + 484106405525870377128909936746840880t^{18} + 31011630084628090299680801531378588t^{17} + 1362347388574705864186639661308824t^{16} + 34239580353720207213116045099756t^{15} - 496533457507884385728909205642t^{14} - 106505027898053642301532787309t^{13} - 5999521898118399657047923840t^{12} - 196410805628709704297787813t^{11} - 3669419525043121200372535t^{10} + 4127099075033888112606t^{9} + 4014274016326121437802t^{8} + 182213649064049508048t^{7} + 2804197099113854607t^{6} - 33638691182949678t^{5} - 1100462510043463t^{4} - 2665870608709t^{3} - 128243185826t^{2} + 14970382t - 927472 \right)D^{6} + \left( 8t + 1 \right) \left( 3453505417525037015582089573120212269378731769856t^{36} + 6209858499776604384298575939161882787427129491456t^{35} + 4493583238841973332397982990829092298785550237696t^{34} + 1177141851416663302950645015436675207595394072576t^{33} - 590543014524962534452401306474196514291355385856t^{32} - 763508805537691621760183343094315198083591979008t^{31} - 425018131508670866238973549326586372276915732480t^{30} - 161126562271157952890606755498364317339182624768t^{29} - 46264728661606433947583973576058132459597076480t^{28} - 10502277121125105249290831123702574804123815936t^{27} - 1921617964340717589038650508027170379448893952t^{26} - 285329079469896365560586084558318546537188608t^{25} - 34302052696449070138527396468021600574059520t^{24} - 3299629557410929453145468393722190305187008t^{23} - 247187204410158169711070921577379534683296t^{22} - 13514801185724905654962360459478165594528t^{21} - 429217831413808022904739336772920503984t^{20} + 5707358344066214004893762267991491920t^{19} + 1795787296504215033681048342376477216t^{18} + 134758995326750690610390824949399012t^{17} + 6652640636272397721516297940737732t^{16} + 254233488454831017222214902068744t^{15} + 9186567757294543253072881234442t^{14} + 409211161595603995696681207735t^{13} + 19854818551188481627858776932t^{12} + 730679137188736814260699935t^{11} + 14976870815014483913420965t^{10} - 14100545187612572944874t^{9} - 11361966888388831092714t^{8} - 378534150360276540722t^{7} - 4708586072276184469t^{6} + 51295882145942836t^{5} + 1462028477661127t^{4} + 2833890083493t^{3} + 132036554874t^{2} - 6189582t + 856128 \right)D^{5} + 2 \left( 68366616506190084623282476919731609554923412258816t^{37} + 126455342297427587231449532773499648421814584999936t^{36} + 95220010168600078468062913585609402503504666296320t^{35} + 27419540516182208899081564391794394894716661399552t^{34} - 11364637134430155728352482333419605824328525676544t^{33} - 16601101659068975520474385935597176718052556587008t^{32} - 9781505902055542489334822636024930610112400121856t^{31} - 3907816524218586666575411454083804844021273350144t^{30} - 1185561994477446189814441181203887940991681409024t^{29} - 285986126617159333193933915336200390789457394688t^{28} - 56083307765872919502058553204360493430249097728t^{27} - 9035022143920411820702312383070154697575696896t^{26} - 1199561919786005795324364908021351488628607616t^{25} - 130939214158344114207976517917166910172596416t^{24} - 11654673281246774630601768399688306311203648t^{23} - 831811881826374283285141957912026292847376t^{22} - 45987132140273120405941922606317462580280t^{21} - 1804965420129254997196309571915018802700t^{20} - 34513331825595667133079292102125013768t^{19} + 1221680414472493952672004372513354720t^{18} + 132697336917250691855195398995575674t^{17} + 4544634203642950988125188510727631t^{16} - 63531994643659886352407118338882t^{15} - 15932602055825640942253554971663t^{14} - 942180384356007540953616985671t^{13} - 33576464544239373392159742681t^{12} - 837502545379402325592157648t^{11} - 16648900709275120423027936t^{10} - 268099499248842403656732t^{9} - 1625488805517366052320t^{8} + 50052397229167076571t^{7} + 645325463713930065t^{6} - 16491852293998811t^{5} - 383463816553094t^{4} - 581946431542t^{3} - 22680958174t^{2} - 79086t - 142688 \right)D^{4} + 4 t \left( 102453994053242764795601990669232963991569042505728t^{36} + 183374548219052149882108407223118410852641565310976t^{35} + 131886308974322644671925612160376363137794456944640t^{34} + 33056974557403629466575052497278883781340062810112t^{33} - 19801293836961520101131970955273767594868842561536t^{32} - 24745282753421702067517201010332829875919045943296t^{31} - 13983659078373644311845086224550390306709212000256t^{30} - 5446928987472189122407284791903647803152186265600t^{29} - 1620891972056544913419362447817449432863611542528t^{28} - 384719462109913737023064936989045852384980181504t^{27} - 74392328276820717558759678205927422590553217536t^{26} - 11841310552853007287613404233691625121027556480t^{25} - 1557474558437738109010745013836457902518548672t^{24} - 169124003721659308515491504469286159858918336t^{23} - 15081910238477324206900223968298949749946672t^{22} - 1092376928392015645446852977675240467291160t^{21} - 62871324886310176834584263667959279367696t^{20} - 2735667015770069367878837418363024589880t^{19} - 76974901264553539791199730980271576012t^{18} - 224277698980106111700758594180365854t^{17} + 112714977412303092234987173891453824t^{16} + 6463703167394682839360223190671264t^{15} + 157051254989118195576033868832294t^{14} - 1366712117615943601919570971221t^{13} - 225531432748815458470611328733t^{12} - 6559700199263078758202545743t^{11} - 56554051879466805926312012t^{10} + 929397878454296519303449t^{9} + 32466850597521512446506t^{8} + 948861230033524873551t^{7} + 14252199519762111124t^{6} - 143568382695680399t^{5} - 2695463494972513t^{4} - 11898801073901t^{3} + 65264621415t^{2} + 104499360t + 131712 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 89934275559904645597138172119764540147286885269504t^{35} + 156688379516336063385318101910916495853418065166336t^{34} + 108389478147836806864412361573918506423437536264192t^{33} + 23687168600202213510723826749819490107045821022208t^{32} - 19108488189365593684649242157224415671544964186112t^{31} - 21542435951688136025509966427820147015515453865984t^{30} - 11784851832338774079152817558879989822632421965824t^{29} - 4495624643548888065172378865258971445484592103424t^{28} - 1315665368394203715352854344697682772304195790848t^{27} - 307714476097014604239086338806042169839507447808t^{26} - 58699148423678562873243758386889670658369245696t^{25} - 9225468643514669531026305388876692524796051200t^{24} - 1199432531076465947048245675580708595886175232t^{23} - 128975597966201010061474854432973220251627328t^{22} - 11424891005964297853433179243415869971770656t^{21} - 826398176913290764630222666354807653295024t^{20} - 47954881606363538368477115995419973860552t^{19} - 2144754027065324133070602053846306793308t^{18} - 65726704206121112401569800813980888000t^{17} - 657453041637045101202981069157200936t^{16} + 64079252320166420253298496611350082t^{15} + 4427303238100426075049817203596377t^{14} + 134095344493987373290068450236368t^{13} + 1097466471808793721832847225252t^{12} - 57834385608368191317527513395t^{11} - 1444736550357574117513345746t^{10} + 22702085387848853256344437t^{9} + 1449163039418727608426663t^{8} + 30749982442008007394214t^{7} + 644443115126529812932t^{6} + 8855391833483945480t^{5} - 4723384716150484t^{4} - 451633446487696t^{3} - 2065942976608t^{2} + 5149194792t + 9702784 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 41716152741850050299332859764198119634876426616832t^{34} + 71162979478924720084480158802133213668441206030336t^{33} + 47701540663951273660973009901547233163325133029376t^{32} + 9168437834149606977671519550122422647433329115136t^{31} - 9422791632771999008163230996236508806691486302208t^{30} - 9907060958676062175481866854176137253848704737280t^{29} - 5288004761482238945162707506090046759977290084352t^{28} - 1984179078578126432812819993341311364737589956608t^{27} - 572795693796704614164870970714889646661193092096t^{26} - 132309486237140526892015118325142812348404335104t^{25} - 24939598100552822900253131196245567467093936640t^{24} - 3874157817419800695886378504930049690882010752t^{23} - 498006096531679215745628329053435770555782592t^{22} - 52980353370798056498145466145048141997695936t^{21} - 4648872553954639750378754183162677762503920t^{20} - 333816168147860556877397748637799764947864t^{19} - 19295541786373664623731385735109767043632t^{18} - 864234211242208915253328650318911871848t^{17} - 26808461232213773510028456176618891052t^{16} - 295243615012888189960772720284281230t^{15} + 24482394815917605678533076149474464t^{14} + 1781670446926172000250520287825226t^{13} + 58967295946641121873041640965034t^{12} + 893786054766250662812576887813t^{11} - 550945293940855183754553864t^{10} + 107550220496910775514511626t^{9} + 21082987410283763961702593t^{8} + 694901918617938083281665t^{7} + 12746369172614871001537t^{6} + 220256034913458246532t^{5} + 2617172657244373703t^{4} + 10216482573682113t^{3} + 55224710813118t^{2} + 277606529298t + 363044136 \right)D + 96 t ^{3} \left( 2558152161129657048579325609718675755095356866560t^{34} + 4297715061370273867550432131301130507737188270080t^{33} + 2814044380213270033518820798612406737523787694080t^{32} + 484908933369985181692539997234753808032391495680t^{31} - 600725181374345725905460652849089355118468136960t^{30} - 603182189557066223979885571824532548729490849792t^{29} - 316364174150150383690817691457900591120375889920t^{28} - 117272679264249408083818060020483701310979207168t^{27} - 33507248455564941305356466958332056951420051456t^{26} - 7665705087252991934046873227004537545935663104t^{25} - 1431360076259365230860310988369487615263471616t^{24} - 220250698569104589598546863610981784689602560t^{23} - 28043306373523006303406402116981624858220800t^{22} - 2955283058102257256673077376828348910824576t^{21} - 256964262853754681607087314045902847271936t^{20} - 18296203372629006982710916678076445733232t^{19} - 1049495955208534286744490315184715323360t^{18} - 46647106016717635030432789877686336120t^{17} - 1428848192064457150878617164272579840t^{16} - 14357564277492934742025899533256252t^{15} + 1421695166770702204618555521105760t^{14} + 102014185096919276617313791830986t^{13} + 3537294196499000601124649105070t^{12} + 68585392650937710957913701087t^{11} + 869551228486007635460799406t^{10} + 32292122361019570624040246t^{9} + 1615219536552955946698463t^{8} + 43075959756204273763758t^{7} + 741469911857886869977t^{6} + 11227665591050538307t^{5} + 110390003846986906t^{4} + 623270393096890t^{3} + 6274446790192t^{2} + 33427719248t + 8668296 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4

|λ| = 36.18289 λ ≈ 36.18289; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 26.17658; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 10.30107 - 4.068312i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 10.30107 + 4.068312i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -8; multiplicity 4; Jordan blocks 2, 2 λ ≈ -7; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.961597; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 2; Jordan blocks 2 4 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$36.1828857$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$36.18289$11
$26.17658$11
$10.30107 - 4.068312\mathrm{i}$11
$10.30107 + 4.068312\mathrm{i}$11
$-8$42, 2
$-7$11
$-6.961597$11
$-4$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda + 7\right) \left(\lambda + 8\right)^{4} \left(\lambda^{5} - 76 \lambda^{4} + 1777 \lambda^{3} - 10771 \lambda^{2} - 72914 \lambda + 808796\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda + 7\right) \left(\lambda + 8\right)^{2} \left(\lambda^{5} - 76 \lambda^{4} + 1777 \lambda^{3} - 10771 \lambda^{2} - 72914 \lambda + 808796\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 14 & 120 & 18 & 18 & 342 & 1134 & 432 & 504 & 3600 & 3960 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 12 & 120 & 12 & 0 & 324 & 1134 & 378 & 3096 \\ 1 & 1 & -1 & 6 & 0 & 0 & 108 & 144 & 0 & 0 & 810 & 72 \\ 1 & 0 & 1 & 9 & 2 & 2 & 32 & 138 & 45 & 45 & 369 & 432 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 6 & 6 & 0 & 108 & 144 & 144 & 810 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 8 & 1 & 0 & 30 & 138 & 30 & 324 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 8 & 15 & 0 & 0 & 108 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 14 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 8 & 15 & 14 & 106 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$