Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-88-25-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(2w4) + E^(w2 + 2w4) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_3(2) + O_2(1) box O_3(2) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
12040.Ax371w0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 25
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 88
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -25

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 88
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 112
$\mathrm{c}_2^2$ = 124
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 20
$\mathrm{c}_4$ = 32
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 24 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 25 0 x0 + 25 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 5 0 0 x1 5
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 11 0 0 x1 - x2 - 16 2 25
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 20t + 46t^{2} + 20t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(674)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(674)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 5t + 1 \right) \left( 6t + 1 \right) ^{3} \left( 1101952t^{7} + 446656t^{6} + 81632t^{5} + 23664t^{4} + 4120t^{3} - 28t^{2} - 34t + 1 \right) \left( 367493164583498613123833476841472t^{27} + 1053032104608271199524009878503424t^{26} + 1323017666681324726838759067377664t^{25} + 925733031716584213876506338570240t^{24} + 344533491808215180673400110338048t^{23} + 3166448308029011482748818233344t^{22} - 80390081147609561066693093972992t^{21} - 56460935495918522519349484830208t^{20} - 24043827748794147836709338080128t^{19} - 7445292845122326292217765897408t^{18} - 1773480818790966650239914768928t^{17} - 332084884630539936098161273872t^{16} - 49174513919398649259320444896t^{15} - 5730920933044859257402681088t^{14} - 516956677889235234204453032t^{13} - 34710771023971933501830468t^{12} - 1553554595153629935220630t^{11} - 23494438526576433738291t^{10} + 2981074158703741509633t^{9} + 329376205186241590830t^{8} + 19340687016409298940t^{7} + 733678438457538906t^{6} + 15771240436251378t^{5} + 67296830143806t^{4} - 4019154616728t^{3} - 53308671033t^{2} - 285724809t + 1168398 \right)D^{8} + \left( 6t + 1 \right) ^{2} \left( 874713227830089401654714622540413707223040t^{37} + 3462766447793873394807078025760775497318400t^{36} + 6283000922609599143803843248415064981504000t^{35} + 6855700404706101757151261929261291741904896t^{34} + 4884422714281098784380372221898696950808576t^{33} + 2197916447280815529719777657551434569220096t^{32} + 390908710118097372134632269708195737370624t^{31} - 281715054106544389738024583920451584786432t^{30} - 317307150544674921123679717923448967659520t^{29} - 183095233301557602911626638776772724457472t^{28} - 77031880201463968373815230532508562653184t^{27} - 25823016506724895997277636179276374081536t^{26} - 7164092761315797380585191045170836676608t^{25} - 1677860020660743684183030444182253297664t^{24} - 335394538933371414064372014766750109696t^{23} - 57535400684739693904582854234615581696t^{22} - 8482617576783222020475382310410213376t^{21} - 1073036375324287190235465408394118272t^{20} - 115959662894157528904495794936258240t^{19} - 10625861071041828704616440735523872t^{18} - 813928355313406690683610398748048t^{17} - 50297836238756359586254293194512t^{16} - 2229884313817144508407085112000t^{15} - 30845730096093371703957094392t^{14} + 6075508927922383393842326812t^{13} + 736723731098469523892229018t^{12} + 47896731134015890792293255t^{11} + 1922326984650292517007405t^{10} + 33314920711654255995054t^{9} - 1448655578512054603734t^{8} - 150398320998898053450t^{7} - 6820611103372758162t^{6} - 168822291708370530t^{5} - 1165561492546368t^{4} + 34583560778313t^{3} + 446299352199t^{2} + 2380438710t - 8178786 \right)D^{7} + \left( 6t + 1 \right) \left( 79598903732538135550579030651177647357296640t^{38} + 316342246076376916900126665623035169162133504t^{37} + 576702467106242080257589651139565522127945728t^{36} + 632013894506426332388487742131857566099046400t^{35} + 450658083650686690391304280037528211196739584t^{34} + 199944776639467057895850034779542732698288128t^{33} + 30307319443103571340105389061231979888640000t^{32} - 32039990199269870661097697811214508278153216t^{31} - 33542755861681289203595426245776099885907968t^{30} - 19115283364500983853035365100290990386970624t^{29} - 8000615887382747417322203608579452268462080t^{28} - 2665733120481288438974925198033477348753408t^{27} - 732175536053651485513364656856026818523136t^{26} - 168830144400024983595902991357586592804864t^{25} - 33014537062041288572338275161131439541248t^{24} - 5502295440297423914573680790431076129792t^{23} - 782248865453433206805647598721322148096t^{22} - 94545707061111473499607761219975495680t^{21} - 9628497412389415065812316340167646080t^{20} - 811543929232718423235428285422477056t^{19} - 54590390771921722402520225045223712t^{18} - 2683636499843962810589253497967408t^{17} - 67441992094774396880411818427376t^{16} + 2767008110024807998629656797096t^{15} + 443332818398892305137290266192t^{14} + 29113138769581531097093795896t^{13} + 1372259733473938762603923024t^{12} + 68021182329890447953984019t^{11} + 4809964915975063496217639t^{10} + 366932241664652983379790t^{9} + 22956404624051566967766t^{8} + 1083571543036103033478t^{7} + 35918370583013141790t^{6} + 699054905033050338t^{5} + 3101474118791982t^{4} - 131734482207147t^{3} - 1440887414979t^{2} - 5999652882t + 19862766 \right)D^{6} + \left( 3967699201437285525905785527843316575963709440t^{39} + 15926741143552569139961993402462636903101366272t^{38} + 29366548681596191964610032926991272201410314240t^{37} + 32585296495566207755847147851921529652377550848t^{36} + 23529457456788459748438207830520977218554822656t^{35} + 10539861047585953816719939472006726291384434688t^{34} + 1543789260370052626330355019680751609995329536t^{33} - 1834754033636152491669215985083466262583181312t^{32} - 1920623640577038438406963979468402333460332544t^{31} - 1109276089340305417609816072481352630152200192t^{30} - 471430062779344680757096982959502653478567936t^{29} - 159450832053766665415278306817627869397598208t^{28} - 44397267321309394443156508184175054343102464t^{27} - 10355757299993223142229818660871309512679424t^{26} - 2042625716193052659894152198903728430680064t^{25} - 342217279380105106105010712018402819263488t^{24} - 48722036599535917603695837277604735327744t^{23} - 5872268699761993308954244883254537582592t^{22} - 593087072570135717752489448591828201984t^{21} - 49050539005961993886848963585939614720t^{20} - 3133116952345894481266471591559384640t^{19} - 124566204929193748543284930412846016t^{18} + 1972745234857617772882518101284304t^{17} + 956611138176573684625334082575456t^{16} + 111213425908374321025039541353440t^{15} + 9025811678077555159578241606296t^{14} + 570566191652837646449303603896t^{13} + 28119921572635263741030761802t^{12} + 1015288262846384096231316165t^{11} + 21377583288668291139968625t^{10} - 175410264868529917670316t^{9} - 38316926035508487373938t^{8} - 1918796329180916801718t^{7} - 59133935524797164514t^{6} - 1036202462851615326t^{5} - 3318818946978864t^{4} + 180093383500671t^{3} + 1729889272971t^{2} + 6096591288t - 19862766 \right)D^{5} + \left( 19636437251557676977746688561409747313450024960t^{39} + 76760821038538364461066232443528111568109699072t^{38} + 137318738718323188143999203798674264302091763712t^{37} + 146912125411381057579961880988391956148347994112t^{36} + 100869073767905833539195944885848603465052848128t^{35} + 40953315684705047445882367765068109486210416640t^{34} + 2345037599994982729609153065628952349486219264t^{33} - 10346328720750394439940318091777891306797465600t^{32} - 9174999955112056462307109333438361678683111424t^{31} - 4957786340454623245556008743547412812994936832t^{30} - 2008717460755178421636989834212301981867917312t^{29} - 650966346466357360972658611158436973234528256t^{28} - 173706218923874489245404656545121664186255360t^{27} - 38742356815847990623222311965024901343228928t^{26} - 7277706245714547281807223300255035111464448t^{25} - 1154737365745553468942383939347111162267392t^{24} - 154565063295511606560172755129430637826560t^{23} - 17347901454019828423796900362735646759424t^{22} - 1610265966647654255246229146440227119360t^{21} - 119917126119000413664835830169908639744t^{20} - 6620772708970793948934346875210422688t^{19} - 193752725058069406488639948978778864t^{18} + 8735300970643505627118174119194272t^{17} + 1778626270387549497969122996905584t^{16} + 149368875275377730424388498295440t^{15} + 8328517322402464763783729418800t^{14} + 299958281735480810399337973540t^{13} + 3458839954364340330274516170t^{12} - 365935234296056927729982112t^{11} - 28731366561158935172659755t^{10} - 1083256034836376868448005t^{9} - 20632778661318552946896t^{8} + 81397953140893095528t^{7} + 16634773069382866722t^{6} + 416017586010059778t^{5} + 2123428699231800t^{4} - 74064371874030t^{3} - 690655928421t^{2} - 2190377691t + 7010388 \right)D^{4} + 2 t \left( 29427102410659867650467909331504597938397511680t^{38} + 112516749672073914370945175823945380117883125760t^{37} + 196203643217944476921138946166787298822214123520t^{36} + 203443596120116676883567440984880761045465956352t^{35} + 133586433117742984880941805597176988370058346496t^{34} + 49264558634597571188756688727499951552516587520t^{33} - 1794415353868364406858994915399401797756387328t^{32} - 16471910924848736933663171189666811599209955328t^{31} - 13170156753940322118401580023813647307804934144t^{30} - 6775597667861229011888276985764900164604100608t^{29} - 2645248988931556998762935162071428882431574016t^{28} - 828782936049081205243900780351538025967239168t^{27} - 213836944427451009634076725827312543972009984t^{26} - 46040922257915587890742438696794696221678592t^{25} - 8325632504910019396229068299741758014044160t^{24} - 1266652033070066250637965399360318038425856t^{23} - 161716464973578826229505772549851774480256t^{22} - 17187506335885000427348965526711483287552t^{21} - 1493812724171803138177515833642769753664t^{20} - 101866393181148387916692870858716890112t^{19} - 4813035864148689949729264823405335488t^{18} - 63055273624653672236666918811643840t^{17} + 15530479428942561975051630921035464t^{16} + 2005293973433596078257948121195432t^{15} + 151368207043732317509995460364300t^{14} + 8075053582527501997740401121168t^{13} + 286998110242758721300286839736t^{12} + 3624556255485471398244237762t^{11} - 308620360156350193900939176t^{10} - 25045827706441400814648147t^{9} - 983456026583161436909361t^{8} - 23268597623341562547372t^{7} - 309518200138248140700t^{6} - 1456095465163010694t^{5} + 8115981177525498t^{4} - 101816321769732t^{3} - 1832471190522t^{2} + 5221419219t - 5895099 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 12915578165525185060132688759120478594001797120t^{37} + 48505616880831899428207776560047707528313700352t^{36} + 82826523109745890271359048092512114340293246976t^{35} + 83671208863252735147784613883968697483435966464t^{34} + 52871369252172676318521498907493861710516518912t^{33} + 17792481712102932996928900140823673238655893504t^{32} - 2360908345632071395344549648600471114964385792t^{31} - 7434663145179232609532997630667074289410777088t^{30} - 5542455422145541808872369554490355494228688896t^{29} - 2747925105757718757633842535311976929894854656t^{28} - 1042152738705235696655670054507658342725322752t^{27} - 317896286988625421849471859938014422646285312t^{26} - 79857775271187709299578426263712963616418560t^{25} - 16720972467701829633700533617678733567952256t^{24} - 2934607554792617412664876554265389783762624t^{23} - 432131857107303773543999988768593975131808t^{22} - 53208449048231672147381752462900710003552t^{21} - 5427212713202803089879199178523967342240t^{20} - 449218210287941470809436109889153900336t^{19} - 28713931534391725030713853529908247152t^{18} - 1204238286936216915112442666769531052t^{17} - 1526565983777793032387235423127594t^{16} + 5284688693630547287372779281835718t^{15} + 573214876010248966691199934808608t^{14} + 38205731474767321204059120885720t^{13} + 1689725846067102506683140875799t^{12} + 34733910050425376605411776205t^{11} - 1542658021481549826633076116t^{10} - 187907471253046613963906226t^{9} - 9688835587276412560585812t^{8} - 313521599369267852633688t^{7} - 6517160259839189595606t^{6} - 78289623706605840162t^{5} - 294806461927795047t^{4} + 3995050768897455t^{3} + 1356441136140t^{2} - 298152616122t + 432307260 \right)D^{2} + 48 t ^{2} \left( 1996970299136094103977713483259764493590200320t^{37} + 7396002794802843733104472289917408959598166016t^{36} + 12422614922455738979166954574729279072276316160t^{35} + 12290805256405173834607852466093695267403464704t^{34} + 7525256365513050479190976031557620850924781568t^{33} + 2330821737309980302444533049725792206194573312t^{32} - 528643776922186991036630359853866571690000384t^{31} - 1163576473529821480029630331128586400609722368t^{30} - 826333064211002121675732694277511657803694080t^{29} - 398544355639528352421348575747943344315715584t^{28} - 147820025362343333651156050475442223157790720t^{27} - 44162622393818474962158165154101604691794944t^{26} - 10864903318198888750576827545477121675807488t^{25} - 2226001203719249978532359685088823353204864t^{24} - 381721160678726518756732328640545750553280t^{23} - 54818041035757083211241416600672377429344t^{22} - 6566926548990929110837494505740190684704t^{21} - 649618957333895904940499161104978249696t^{20} - 51890141785073551231154168015675705232t^{19} - 3166401106122032489879641693827627200t^{18} - 121517063564741063189056803033248556t^{17} + 918933636983280605772442266150466t^{16} + 628542529084446195457393323389914t^{15} + 61254771632912683651721690271592t^{14} + 3646281649849575269407717312348t^{13} + 126054940029452332256213195694t^{12} - 418123662412086260172816562t^{11} - 380254251200115554655380901t^{10} - 27677539188362699245090897t^{9} - 1192972558085642587323862t^{8} - 34186208354268232675414t^{7} - 641495253194915303570t^{6} - 7047891107784818594t^{5} - 23611832125004344t^{4} + 410363241520872t^{3} + 2095729859733t^{2} - 8954020299t + 14799708 \right)D + 576 t ^{3} \left( 61229925948106258115830023577828959505612800t^{36} + 224507311935233787765909600507344969992765440t^{35} + 372590897883771791085732168915994129937203200t^{34} + 363013607846263234263540931501108739608412160t^{33} + 217003499510314790307637180999733190488555520t^{32} + 62750101783460067773825045834572507633156096t^{31} - 19472800004372400310629097960180753077649408t^{30} - 35847648302227493401230708952692863283691520t^{29} - 24637335709408350434133690986261814147530752t^{28} - 11652010907420226052429315216297912376758272t^{27} - 4252337540974625061102297228100580378261504t^{26} - 1251135651554940894246225325125365983182848t^{25} - 303087137589997803628307376358120041624320t^{24} - 61102153155463884449934225920809017096704t^{23} - 10299317323357444353311032283924644981056t^{22} - 1451904036482236554013961653071688537088t^{21} - 170462381515550457149607521898804113952t^{20} - 16492322549463713308102942529274066896t^{19} - 1284276790983323404434367784831981648t^{18} - 75824828460779945149417483047785856t^{17} - 2722542650328295718450351285143572t^{16} + 39543655860747704492266498908276t^{15} + 15743825186974983593071616737186t^{14} + 1427792374482107983273287784075t^{13} + 77359110170729222883523790045t^{12} + 1996184758631468714983955493t^{11} - 78590277169342771381724924t^{10} - 12200599604107296065554274t^{9} - 745822074053927039148133t^{8} - 28999116370129832203252t^{7} - 757920942440847419372t^{6} - 12872159594025789789t^{5} - 124447475730595005t^{4} - 282428757142455t^{3} + 7814695972380t^{2} + 48891880080t + 6856245 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4

|λ| = 28.92544 λ ≈ 28.92544; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 18.21979; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 2 λ ≈ -5.368504; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.777279 - 0.5122206i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.777279 + 0.5122206i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.8889154 - 4.010186i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.8889154 + 4.010186i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 3
Sector dimension
12
Spectral radius
$28.9254419$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$28.92544$11
$18.21979$11
$-6$31, 2
$-5.368504$11
$-5$11
$-4.777279 - 0.5122206\mathrm{i}$11
$-4.777279 + 0.5122206\mathrm{i}$11
$0.8889154 - 4.010186\mathrm{i}$11
$0.8889154 + 4.010186\mathrm{i}$11
$-2$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda + 6\right)^{3} \left(\lambda^{7} - 34 \lambda^{6} - 28 \lambda^{5} + 4120 \lambda^{4} + 23664 \lambda^{3} + 81632 \lambda^{2} + 446656 \lambda + 1101952\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda + 6\right)^{2} \left(\lambda^{7} - 34 \lambda^{6} - 28 \lambda^{5} + 4120 \lambda^{4} + 23664 \lambda^{3} + 81632 \lambda^{2} + 446656 \lambda + 1101952\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 18 & 56 & 24 & 24 & 276 & 444 & 352 & 336 & 2128 & 2560 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 16 & 56 & 16 & 4 & 252 & 438 & 246 & 1792 \\ 1 & 1 & -1 & 6 & 0 & 0 & 48 & 64 & 12 & 6 & 318 & 160 \\ 1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 2 & 34 & 64 & 48 & 36 & 288 & 352 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 6 & 6 & 2 & 48 & 64 & 64 & 312 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 32 & 64 & 24 & 252 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 3 & 8 & 0 & 0 & 48 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 18 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -\frac{1}{4} & 3 & 8 & \frac{15}{2} & 47 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$