Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-104-28-a

·

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-58 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ3P3
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w3 + w4) + E^(w1 + w2 + 2w4)
Bundle
O_3(1) box O_4(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_4(2)
ZL62 label
11130.px4101
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;2;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;1;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 28
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 104
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -22

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 104
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 116
$\mathrm{c}_2^2$ = 124
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 28
$\mathrm{c}_4$ = 40
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 1 28 1 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 22 0 x0 + 22 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 4 0 0 x1 4
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 21 0 0 x1 - x2 - 7 0 28
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 23t + 56t^{2} + 23t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(638)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(647)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t - 1 \right) \left( 23t - 1 \right) \left( 5t + 1 \right) ^{2} \left( 4t + 1 \right) ^{5} \left( 496t^{3} + 72t^{2} - t - 1 \right) \left( 2195008896775006304862208t^{20} + 7391712637971585414725632t^{19} + 11258592982342437225889792t^{18} + 10355296339216333210320896t^{17} + 6450799574545829836505088t^{16} + 2884122550637082152792064t^{15} + 954425690904684886313984t^{14} + 237112369366376581736704t^{13} + 44277947376769961794432t^{12} + 6139672528714400920416t^{11} + 612225108654820550144t^{10} + 40666997469260467232t^{9} + 1387210268752613256t^{8} - 24016055827259214t^{7} - 5408280710355168t^{6} - 298454036352551t^{5} - 9724552031792t^{4} - 202936813193t^{3} - 1836760692t^{2} - 8955374t + 20176 \right)D^{8} + \left( 5t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) ^{4} \left( 72117105103898703146500038328320t^{27} + 258215957929042890122445623132160t^{26} + 418478292357684693005582557249536t^{25} + 408263097925981664837143111925760t^{24} + 267406674806921190764051817299968t^{23} + 123350713941165672832590426406912t^{22} + 40452220038487185424471042293760t^{21} + 9056126548119584923403835932672t^{20} + 1127095531060563038715606401024t^{19} - 45866776956668871814585843712t^{18} - 57142700663111023850984595456t^{17} - 14238752558183606188783335424t^{16} - 2146282498524917495627755776t^{15} - 216780507695018994683113408t^{14} - 14213544723887220700717728t^{13} - 446143519154795610951680t^{12} + 21396276108398923979840t^{11} + 4413902082791937187188t^{10} + 373293628924770540870t^{9} + 17705471566437237520t^{8} + 152841253473509677t^{7} - 35687525206743080t^{6} - 2295398105981370t^{5} - 74608563274536t^{4} - 1633971577663t^{3} - 13717365452t^{2} - 64402578t + 121056 \right)D^{7} + \left( 4t + 1 \right) ^{3} \left( 21875521881515939954438344959590400t^{29} + 86527964196351364013152006381240320t^{28} + 157157430124483095095706202285277184t^{27} + 174725846985639355240897405161308160t^{26} + 133293236802694006302698641991663616t^{25} + 73905577241797483731442884249911296t^{24} + 30676171431123827857673413703237632t^{23} + 9629471386169012448417784212226048t^{22} + 2261966838365914227576300672778240t^{21} + 378455078664169175722801190993920t^{20} + 37322545617777973554232777555968t^{19} - 559973282661429798314842456064t^{18} - 982377629911832086911824761344t^{17} - 200661043372021536400239486976t^{16} - 24492185678038910476050660736t^{15} - 2007225916033583489850882656t^{14} - 110402114635794662619921008t^{13} - 4156740196565155093323264t^{12} - 186706783471216823835396t^{11} - 18403131648652875910642t^{10} - 1499887036998133642366t^{9} - 58637997505886253143t^{8} + 661627502773525405t^{7} + 190844223598975202t^{6} + 9803756451394346t^{5} + 281507361427189t^{4} + 5258326880869t^{3} + 38995450842t^{2} + 152115646t - 262288 \right)D^{6} + \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 726940419447298927716720386349465600t^{30} + 3011392718512551913841108601903513600t^{29} + 5759786330281420657904204741156536320t^{28} + 6786684408282306510430404064283983872t^{27} + 5530724552793092425644147775281037312t^{26} + 3310448962375961020491698074218921984t^{25} + 1505581869134575092830199952573464576t^{24} + 529813540507751434461361862392938496t^{23} + 145124380767293649065229071520104448t^{22} + 30723821008121632755420921007702016t^{21} + 4887507234783749175328659406389248t^{20} + 538197031134528493212047866265600t^{19} + 28678992589287294301726721843200t^{18} - 2503178991719542116995331152896t^{17} - 774582006772368225937011480320t^{16} - 92137989932789109157923977408t^{15} - 6163639582271407469888418080t^{14} - 135286368292176197024046032t^{13} + 20103855569235107219361120t^{12} + 2921208682942141264669000t^{11} + 225942441931806065952006t^{10} + 12007587613259660463792t^{9} + 418222202310271822157t^{8} + 6315341646446065743t^{7} - 177706667842234474t^{6} - 12691619095184356t^{5} - 365592149129515t^{4} - 6475774576941t^{3} - 43869036270t^{2} - 149720910t + 242112 \right)D^{5} + \left( 4t + 1 \right) \left( 14390727933132639883873594314955161600t^{31} + 62462241298987890644739771776567869440t^{30} + 125768189483990362135553271757163986944t^{29} + 156793149360467183348013468695799005184t^{28} + 135981784258204420398139698660723654656t^{27} + 87235585695709090703671261631940132864t^{26} + 42910942624679187526759549875454476288t^{25} + 16534182851179427151118905341183524864t^{24} + 5047718223302425277104364992899055616t^{23} + 1224753392083163184041345916627582976t^{22} + 234786007543809067397893445507809280t^{21} + 34881923604697475870407105158643712t^{20} + 3831187235256607287316679013208064t^{19} + 270894558573986224150590323408896t^{18} + 4348015597040855758626444260096t^{17} - 1646810669187133990540957212416t^{16} - 230373152139100016092106510752t^{15} - 15557157410214757271004082848t^{14} - 434373100946472858896114960t^{13} + 20222480925627994772441776t^{12} + 2807740212476989597968454t^{11} + 144954680597755740136342t^{10} + 3983774864273921984467t^{9} + 47464625204267754575t^{8} + 704878399525542850t^{7} + 100611429402583438t^{6} + 5235217955244739t^{5} + 144307996003107t^{4} + 2634539965430t^{3} + 17371883090t^{2} + 52054532t - 80704 \right)D^{4} + 2 t \left( 86263596441079472755717485846803251200t^{31} + 392327429760637377156756029639271383040t^{30} + 831198023618618499909243411426957066240t^{29} + 1094970221046670258135187825268067663872t^{28} + 1008104964256420256716353209385470656512t^{27} + 690214808151289546718814035514750926848t^{26} + 364678768688122698426825594499401515008t^{25} + 152145909518172475891853847276095012864t^{24} + 50821167382787153158585987194836484096t^{23} + 13686298570594316975270047377151492096t^{22} + 2973870714459736756953081596991766528t^{21} + 518188355356457353998759234749595648t^{20} + 71249121751971358515422193733566464t^{19} + 7462506713618666573269806494400512t^{18} + 545759596702764272121681102055424t^{17} + 19670115670228951560408179073024t^{16} - 1003965308372413947738264884224t^{15} - 203239458976871881720705237696t^{14} - 13859825065964641172355345408t^{13} - 327082668380506428164066824t^{12} + 26299704811901093028704144t^{11} + 3354616267876613354473842t^{10} + 202897753012973951445356t^{9} + 8214140695289365419049t^{8} + 233036139508458098153t^{7} + 4602449048347610982t^{6} + 65750768606582582t^{5} + 715568031443243t^{4} + 6576920298115t^{3} + 34387416320t^{2} - 6408230t + 34920 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 37861159659079690713231869011086540800t^{30} + 170915418376697612061830585885382410240t^{29} + 359129012459875190884680460836261593088t^{28} + 468961129701525108893276599321106579456t^{27} + 427840038158135270385173923312284205056t^{26} + 290208549923245163937251186823552565248t^{25} + 151898047847267340353937009414150029312t^{24} + 62785496491460153845185816844652511232t^{23} + 20785644578580397438470747301009686528t^{22} + 5552560101305657630504097050550337536t^{21} + 1198819196146939029146380312935268352t^{20} + 208244146864512862216664962365161472t^{19} + 28733035547610979095853666714918912t^{18} + 3064266631498774513247279123732480t^{17} + 237491406788482679919382094962176t^{16} + 11045959257769322249895759968384t^{15} - 36809507464735405213543083968t^{14} - 53548754741045234146815000528t^{13} - 4474336929337439662905658640t^{12} - 166646159400089802830264372t^{11} + 1674719363279460925247388t^{10} + 617561564694177836859068t^{9} + 42651370629903170882789t^{8} + 1796710285149893562408t^{7} + 50464783909286620800t^{6} + 945430136082899658t^{5} + 12450355055512605t^{4} + 123899491328262t^{3} + 1171462323334t^{2} + 6133115376t + 968448 \right)D^{2} + 96 t ^{3} \left( 2926992905816902031705948222285414400t^{29} + 13137728158816063654146430348138905600t^{28} + 27428042884437695641327082912392151040t^{27} + 35569017216363408406057310628094148608t^{26} + 32213708109862358498867858663173783552t^{25} + 21684765754523708821262641968822878208t^{24} + 11260656529581601328911997784972853248t^{23} + 4616847633112387317389701219339993088t^{22} + 1515919058972294633361250861442924544t^{21} + 401664643009658400906812460076367872t^{20} + 86051848452734536808756206402142208t^{19} + 14848064192605038808775903888474112t^{18} + 2039732866710645189791497328869376t^{17} + 217694565520393957221667010295808t^{16} + 17106811519761962200846655766528t^{15} + 847389368526555683826969843456t^{14} + 6044449215791625627030409152t^{13} - 3110174888539900763617357824t^{12} - 295963320278896529207824976t^{11} - 13824896148141515981159488t^{10} - 218735893985110416610860t^{9} + 17637980397533067788512t^{8} + 1655122744817172417165t^{7} + 74909089381894890435t^{6} + 2110134228199884921t^{5} + 38006780603529751t^{4} + 458646114480714t^{3} + 3827602254852t^{2} + 29748675776t + 141154572 \right)D + 2304 t ^{3} \left( 44872865397981415291155579404288000t^{29} + 200587030213244709426290701107200000t^{28} + 416831060184542499177548491417190400t^{27} + 537827558466516706392697039130460160t^{26} + 484472719927038073871945333347450880t^{25} + 324267467301141266725088348665282560t^{24} + 167378011597758139414044421117706240t^{23} + 68192230966667332337706071175987200t^{22} + 22243185536638168799793863970521088t^{21} + 5853493522494047274762506854203392t^{20} + 1245343420665148265898178138800128t^{19} + 213412153463586434719963237810176t^{18} + 29132553457836031895584513445888t^{17} + 3094257813420696775007972929024t^{16} + 242927847625912272872295279360t^{15} + 12183360312185643627215407040t^{14} + 117705613219385595043505440t^{13} - 41311820455803651969686448t^{12} - 4152870753029243635629384t^{11} - 214050062955993366041344t^{10} - 5542919520488021848020t^{9} + 68753485695870879004t^{8} + 14081426920886965139t^{7} + 703867540301936535t^{6} + 20139715897390653t^{5} + 360532777090499t^{4} + 4279760219676t^{3} + 33566122368t^{2} + 196990316t + 680940 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ3P3

|λ| = 23 λ ≈ 23; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 10.44287; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.721437 - 3.84209i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.721437 + 3.84209i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 1, 1 λ ≈ -4; multiplicity 8; Jordan blocks 1, 1, 1, 1, 2, 2 λ ≈ 4; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 3 8 2
Sector dimension
17
Spectral radius
$23$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$23$11
$10.44287$11
$-5.721437 - 3.84209\mathrm{i}$11
$-5.721437 + 3.84209\mathrm{i}$11
$-5$31, 1, 1
$-4$81, 1, 1, 1, 2, 2
$4$21, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{8} \left(\lambda + 5\right)^{3} \left(\lambda - 23\right) \left(\lambda - 4\right)^{2} \left(\lambda^{3} + \lambda^{2} - 72 \lambda - 496\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda - 23\right) \left(\lambda - 4\right) \left(\lambda^{3} + \lambda^{2} - 72 \lambda - 496\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 10 & 10 & 4 & 24 & 36 & 12 & 78 & 12 & 78 & 36 & 84 & 48 & 272 & 120 & 120 & 480 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 3 & 8 & 4 & 20 & 0 & 12 & 6 & 16 & 12 & 60 & 30 & 18 & 96 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 3 & 8 & 0 & 12 & 4 & 20 & 6 & 16 & 12 & 60 & 18 & 30 & 96 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 10 & 8 & 10 & 8 & 20 & 20 & 36 & 36 & 66 & 66 & 224 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 4 & 0 & 10 & 0 & 10 & 4 & 12 & 0 & 36 & 12 & 12 & 48 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & 2 & 4 & 16 & 6 & 6 & 24 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 & 0 & 3 & 3 & 8 & 8 & 16 & 12 & 48 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 8 & 4 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 2 & 3 & 3 & 8 & 8 & 12 & 16 & 48 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 8 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -1 & 2 & 4 & 0 & 10 & 10 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -2 & -3 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} & 0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 2 & 2 & 2 & 0 & 2 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & \frac{3}{2} & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$