Family 4-156-38-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 3) × ℙ²P2 · 12022.x4800Z (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 3) × ℙ²P2
Bundle: $E^{ω_{2} + ω_{3} + ω_{4}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{4}}$ E^(w2 + w3 + w4) + E^(w1 + w4)
Bundle: $O_{2} (1, 1) ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{3} (1)$ O_2(1,1) box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label: 12022.x4800Z

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,2;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,1;2) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	38
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	156
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-9

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	156
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	132
$\mathrm{c}_2^2$	=	108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	48
$\mathrm{c}_4$	=	24

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		4		0
	0		0		0		0
0		0		14		0		0
	0		0		0		0
		0		4		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 9	0	x₀ + 9	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 24	0	0	x₁ + 7	17
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 38	0	0	0	0	38
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 33t + 88t^{2} + 33t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(514)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(559)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) \left( 892t^{5} + 762t^{4} + 345t^{3} + 101t^{2} + 16t + 1 \right) \left( 2368t^{5} + 384t^{4} + 192t^{3} + 56t^{2} - 20t + 1 \right) \left( 336964020325782844488548352t^{28} + 2573125954834728127624642560t^{27} + 6782236421567172352504594432t^{26} + 10212333463249701107380912128t^{25} + 10617730284743847792311377920t^{24} + 8291733619443839143260225536t^{23} + 4942544089535906475093788672t^{22} + 2156187534581147047983321088t^{21} + 595764566688847972561345536t^{20} + 33198086192954968758435328t^{19} - 58394928795217797363039104t^{18} - 32692239240028585274546688t^{17} - 9996548654275409742044128t^{16} - 2022299790089804686428000t^{15} - 274181354769347603341256t^{14} - 22652151890039198328144t^{13} - 637095560871283599432t^{12} + 79421519269848735780t^{11} + 9480083838304418094t^{10} + 357949440732228768t^{9} + 8972117552656420t^{8} + 2116776595557137t^{7} + 213321989211258t^{6} + 3897728006244t^{5} - 486682236364t^{4} - 15166648917t^{3} + 236831528t^{2} - 3990782t + 41600 \right)D^{8} + \left( 307477846245854923762177377130512384t^{40} + 2823092562039968501852323718407127040t^{39} + 10029971177902125455666478072050221056t^{38} + 21095796282688983820179845225413345280t^{37} + 31069238430404897530544321406244487168t^{36} + 34898940781270599991363532916762083328t^{35} + 31268298757549867046895240964913233920t^{34} + 22800795761227047365114200482915549184t^{33} + 13575539257924982920561262590220304384t^{32} + 6519160434729354095243498094618214400t^{31} + 2429451118027037177917286907009236992t^{30} + 621645098696172114364543309234470912t^{29} + 44543293812425872266978544630775808t^{28} - 56135271743618273479418692754522112t^{27} - 38357656031689177221332374195482624t^{26} - 15438772985887872640065326546532352t^{25} - 4620332942833481224991159698907136t^{24} - 1089038135344516647543536428418560t^{23} - 206038012726741322542971322094336t^{22} - 31565628662774973672355742293760t^{21} - 3978724535853036274015654355328t^{20} - 429946393659742053638526613792t^{19} - 42058678534553468387628812336t^{18} - 3497886764484746693450784000t^{17} - 122790859357738959353622632t^{16} + 29110231351858149422322756t^{15} + 6576037705471926483484756t^{14} + 632719684938666573971632t^{13} + 22587304814018114398358t^{12} - 1457685713532619171375t^{11} - 196817167734195886192t^{10} - 7423525367198124783t^{9} - 151939909654347589t^{8} - 30200887144563672t^{7} - 2893461559534364t^{6} - 42332529332871t^{5} + 6044632172987t^{4} + 165395393685t^{3} - 2362183842t^{2} + 35667438t - 332800 \right)D^{7} + \left( 4663414001395466343726356886479437824t^{40} + 42601812594899727213692329876940390400t^{39} + 148146422315844007463339819532791316480t^{38} + 303258361033109358968476602377955180544t^{37} + 433443768322696476021079447152879468544t^{36} + 471339360985096967384806662567748435968t^{35} + 407068119351175442798025934628492673024t^{34} + 283667465658905510835829959615762399232t^{33} + 158849522425742363953805755749167005696t^{32} + 69626576965687349788483756977645355008t^{31} + 22102211663637281395032886749393977344t^{30} + 3598253323080043486753664276198932480t^{29} - 980655502367147312843001543116054528t^{28} - 1078825004002812175315149663766470656t^{27} - 510378274748131395745093404388964352t^{26} - 170489537495129471573095174771690496t^{25} - 44039124970270628428743122407997440t^{24} - 9021540757167127923262387357615872t^{23} - 1464522082113590712625019493338880t^{22} - 184338585208194031275300153164864t^{21} - 17024456959571775562133033437984t^{20} - 1006353520783360800539492722496t^{19} - 27972945560950985308080473728t^{18} - 3709306082791054006553632128t^{17} - 1701261677201493393830975392t^{16} - 355850094709448647793051756t^{15} - 43160278087692636710764200t^{14} - 2934434413720446903657108t^{13} - 37687503391184463653030t^{12} + 12493391180010445479695t^{11} + 1156830951855237623816t^{10} + 43344677909822581371t^{9} + 1259843132654499809t^{8} + 152815733396993924t^{7} + 12226319204019764t^{6} + 207000051929751t^{5} - 21938375053755t^{4} - 647702683309t^{3} + 8050653982t^{2} - 102577614t + 873600 \right)D^{6} + \left( 38742208626977720394034349518444560384t^{40} + 352424632622973706613446478048809451520t^{39} + 1203041181320064666731875816608821673984t^{38} + 2406990692294640940819221199842399223808t^{37} + 3357076221423014485834011499429124636672t^{36} + 3557434463670096199320078437874520817664t^{35} + 2983377296358897918736641001827907141632t^{34} + 2002162945235008809796537644674292908032t^{33} + 1062148809654595903664075615187213484032t^{32} + 426271882035837303907228387981284147200t^{31} + 112265223983328724131162230473513369600t^{30} + 4854378405580004086385440645014405120t^{29} - 13581052596081155332442764632374992896t^{28} - 8804308728393403997226894225693179904t^{27} - 3474186972002613896082703727165728768t^{26} - 1016322538498763686752689592413031424t^{25} - 231668892026342211457519130985946112t^{24} - 41502920198494512040954836160372992t^{23} - 5735252964235583877405805086059264t^{22} - 573407981951378182651054323138240t^{21} - 32266410766032042797944088267168t^{20} + 1244551228514551776079015971296t^{19} + 609571218668596397591994019536t^{18} + 105248569110865148045690908400t^{17} + 15016139061124313476007332048t^{16} + 1897257959960522394170776156t^{15} + 191402703140305624377023228t^{14} + 13096029944805560559857224t^{13} + 393338935721297288126062t^{12} - 20078018443710622371677t^{11} - 2447273482600366179160t^{10} - 67538353574802168869t^{9} + 961542702966212661t^{8} - 98909239066830540t^{7} - 19375122439582116t^{6} - 558311308185805t^{5} + 28088745666713t^{4} + 983156142883t^{3} - 10408855982t^{2} + 112740042t - 915200 \right)D^{5} + 2 \left( 95869030144072183104682221377817673728t^{40} + 869017324098609486127692377213758341120t^{39} + 2920120785915892379263568998839909089280t^{38} + 5732448451143734106096963836270184759296t^{37} + 7838515704304496554245549062860448989184t^{36} + 8138115781515537693471560629469536321536t^{35} + 6666594556095715401715990165114366722048t^{34} + 4336145363395565949753584194417614258176t^{33} + 2193234731627216342568108969638641467392t^{32} + 808387681514643848232049790147128786944t^{31} + 169560867658038770767799773352736260096t^{30} - 21634848389473569758691886463774408704t^{29} - 38553922716692402615590914509615312896t^{28} - 20093188687315028074356084981410043904t^{27} - 7027084674866424679402129919780802560t^{26} - 1851831986281677310728747800335955456t^{25} - 379018390926536405100230092858329856t^{24} - 59999548869771982415223847504394752t^{23} - 7059280694185374679548650100816128t^{22} - 540771595434269681381022645663488t^{21} - 10358920105954274149427715862128t^{20} + 3605010572146923906096420436344t^{19} + 516420815963666910508213946100t^{18} + 23215560293464481075715524776t^{17} - 3074024364205287025483994784t^{16} - 765751286923579789128506238t^{15} - 89069666554031369717203651t^{14} - 6560979066085071511810526t^{13} - 272503502269055909255885t^{12} - 1105991785024041315535t^{11} + 418806868584593410458t^{10} + 382043403050763088t^{9} - 2115980224631827998t^{8} - 101966483846602003t^{7} + 1821022945574169t^{6} + 238422235390000t^{5} - 2632316982895t^{4} - 247818382486t^{3} + 2149766650t^{2} - 20876342t + 166400 \right)D^{4} + 4 t \left( 143669023658375713127877379464231911424t^{39} + 1298558560900285753615833816985176637440t^{38} + 4306642908678238372975360768656430596096t^{37} + 8324031792596584086467068517414044958720t^{36} + 11204078863293247817902511211236732960768t^{35} + 11447149738260801562569008838019473997824t^{34} + 9204128521207443116964486076320582598656t^{33} + 5833786439051378407049469673776151330816t^{32} + 2830597968456267046171479578301549379584t^{31} + 961919256913189781310663155365979340800t^{30} + 150683007408425280715203785047305994240t^{29} - 60885105545073012999855104878293454848t^{28} - 59853764785111351231057225594357635072t^{27} - 27420582517404178374629696056851542016t^{26} - 8774460531424125177196391673893192192t^{25} - 2125752103814648886266632266772161280t^{24} - 397315017425239638883552157446619392t^{23} - 56547860035747723539022818097775936t^{22} - 5797763569700174337680673270766976t^{21} - 354747531473189550377463217146064t^{20} + 781600436074921027294199722664t^{19} + 2510342815680678038120492637968t^{18} + 210398061032373619521626262872t^{17} + 662940364455074364488055892t^{16} - 977748607918381240383256034t^{15} - 18465058917574034043310408t^{14} + 8457840895638223049901324t^{13} + 599506456281076673176810t^{12} - 47512575823000575869373t^{11} - 10614964472906902148127t^{10} - 810209751248516085952t^{9} - 32124087334364153122t^{8} - 531424359709472666t^{7} + 12265700586005043t^{6} + 886933924793585t^{5} + 3271397489965t^{4} - 704950714510t^{3} - 3500291623t^{2} + 51272612t - 52800 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 126112892742865857689178612833905016832t^{38} + 1137261435813992999751758107381019443200t^{37} + 3731898419941793182104191270839186882560t^{36} + 7124375055735278869428044620516495982592t^{35} + 9471819281944821038292560135484113682432t^{34} + 9558135519903965380507913496862997348352t^{33} + 7573833576460793960424094953156995973120t^{32} + 4700642377421525437444410476362961780736t^{31} + 2201422729706230772729111685362493161472t^{30} + 693700347110358132232880303946418716672t^{29} + 72852554194974532527826622432471105536t^{28} - 67969719966899137579202475812893466624t^{27} - 52474068880655725525567737600787968000t^{26} - 22046780430428552874267118513402038272t^{25} - 6593466843358515887282289448898014208t^{24} - 1492586148347491301891649379921367040t^{23} - 258656274197305261859466787513614336t^{22} - 33651971724955826569635789347803776t^{21} - 3080522801337519332433381197367168t^{20} - 161529550132328879973973306887904t^{19} + 44174674545520132625360196656t^{18} + 403781457039140604574003874760t^{17} - 55473369097197357925575400892t^{16} - 14501278207231896297408865472t^{15} - 1020831440414783828435517024t^{14} + 24197662217943084199112114t^{13} + 8360143740253345196140199t^{12} + 228107735985181129691976t^{11} - 67340636237830399832996t^{10} - 9109871894313660026369t^{9} - 543413942519943470376t^{8} - 15576400505384339725t^{7} - 47493022637640619t^{6} + 11909493449862492t^{5} + 371556108154234t^{4} - 2633255334416t^{3} - 316720648152t^{2} + 286939648t + 10316800 \right)D^{2} + 48 t ^{2} \left( 19499220082757966415251415333026660352t^{38} + 175530998519265882808120638819595714560t^{37} + 571282553667867958596295844744933670912t^{36} + 1080291086033651924362270924194535440384t^{35} + 1422907600199442417381019664790088318976t^{34} + 1422589204517884836142093827285081128960t^{33} + 1114795187311675714477750117897925689344t^{32} + 680568661150362691937615144076601655296t^{31} + 309631823339290561160282431719602126848t^{30} + 91251365080173234741710001862748946432t^{29} + 5201119348707426733636740334106329088t^{28} - 11838897460542831797087466787261640704t^{27} - 8004936296630093147461875285276518400t^{26} - 3165730368719816278402712527416078336t^{25} - 899493461509010280018811193465556480t^{24} - 193035250930882265732271466539140352t^{23} - 31485147893400824089592348418682112t^{22} - 3815117211431591253702363715308224t^{21} - 322616199165721597758705204946176t^{20} - 16596471803308174149394734097456t^{19} - 536641845175435999981477183624t^{18} - 98902514798797109653534749168t^{17} - 22772594084742679840953734200t^{16} - 2449441883270100044678454052t^{15} - 83302738575234117276414078t^{14} + 9945845330704375425170488t^{13} + 1213417611778059995257438t^{12} - 4485596914164456886710t^{11} - 11800560025294150003955t^{10} - 1217761591178356201388t^{9} - 59674108221303982524t^{8} - 1172442434574890841t^{7} + 19307613659802906t^{6} + 1421908707006627t^{5} + 19419325087535t^{4} - 628605017218t^{3} - 22309870698t^{2} + 95138200t + 332800 \right)D + 288 t ^{3} \left( 1195747179844991370186245355507548160t^{37} + 10750566200012216075262765122243788800t^{36} + 34782440301293561111142951347300597760t^{35} + 65327800407769714973545745397338603520t^{34} + 85479319392040789449178909130138583040t^{33} + 84900851927503817266493344510322409472t^{32} + 66004715650609527473647033171383681024t^{31} + 39810774906549485961885467928372183040t^{30} + 17719545363844220562623407206096633856t^{29} + 4945339296855489305371428853507227648t^{28} + 79582726211749258380861972050362368t^{27} - 774099722659466243181067302447661056t^{26} - 483734465638708949562760341266042880t^{25} - 183534300617984357176710170172317696t^{24} - 50250561646626298780587641858238464t^{23} - 10362955441624727276297778713223168t^{22} - 1614492686070570895479926225754368t^{21} - 185594096288087656666313852911616t^{20} - 14978282505149378948362445888256t^{19} - 838002016182271243573501765312t^{18} - 61187337798021274743252147856t^{17} - 11208228941476265890801907808t^{16} - 1653088222717051999464604792t^{15} - 124866584175613857893267056t^{14} - 86524399960781832275100t^{13} + 907771739888037668763280t^{12} + 70120927851505902020806t^{11} - 1752573413412930606426t^{10} - 740587148634742816527t^{9} - 64031989150969473402t^{8} - 2630334464471304894t^{7} - 28744890081404327t^{6} + 1826773018878424t^{5} + 65254077611223t^{4} + 2592066447t^{3} - 42653876604t^{2} - 649885026t + 4944576 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 3) × ℙ²P2

Show multiplicities

Sector dimension: 17
Spectral radius: $15.4108573$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$15.41086$	1	1
$7.52332$	1	1
$-5.391039 - 0.983344\mathrm{i}$	2	1, 1
$-5.391039 + 0.983344\mathrm{i}$	2	1, 1
$-4$	1	1
$-3.449834$	2	1, 1
$-3$	1	1
$-0.8840436 - 2.797955\mathrm{i}$	2	1, 1
$-0.8840436 + 2.797955\mathrm{i}$	2	1, 1
$-2.860255$	1	1
$-0.03696139 - 2.671953\mathrm{i}$	1	1
$-0.03696139 + 2.671953\mathrm{i}$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{5} + 16 \lambda^{4} + 101 \lambda^{3} + 345 \lambda^{2} + 762 \lambda + 892\right)^{2} \left(\lambda^{5} - 20 \lambda^{4} + 56 \lambda^{3} + 192 \lambda^{2} + 384 \lambda + 2368\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{5} + 16 \lambda^{4} + 101 \lambda^{3} + 345 \lambda^{2} + 762 \lambda + 892\right) \left(\lambda^{5} - 20 \lambda^{4} + 56 \lambda^{3} + 192 \lambda^{2} + 384 \lambda + 2368\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 8 & 8 & 6 & 3 & 3 & 6 & 15 & 21 & 15 & 21 & 12 & 24 & 12 & 32 & 40 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 8 & 8 & 4 & 0 & 2 & 0 & 2 & 15 & 18 & 15 & 3 & 28 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 2 & 0 & 2 & 4 & 4 & 2 & 4 & 3 & 3 & 0 & 6 & 8 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & 4 & 0 & 6 & 3 & 6 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 6 & 4 & 6 & 0 & 0 & 0 & 9 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 6 & 4 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & \frac{5}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & 3 & -\frac{4}{3} & 3 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & \frac{1}{3} & 3 & \frac{1}{3} & 3 & \frac{4}{3} & 0 & \frac{4}{3} & \frac{2}{3} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & -\frac{2}{3} & 0 & \frac{4}{3} & -3 & \frac{1}{3} & 0 & -\frac{8}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta