Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-182-43-e

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × Fl(1, 3, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
2 copies of E^(w7) + E^(2w5) + 2 copies of E^(w1 + w3)
Bundle
2 copies of wedge^2 Q_2,1^v ot wedge^2 U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(0,2) + 2 copies of O_1(1) box O_2(1,0)
ZL62 label
2054.66Bw1w1
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;3,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;2,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 43
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 182
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -6

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 182
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 140
$\mathrm{c}_2^2$ = 104
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 52
$\mathrm{c}_4$ = 22
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 6 0 x0 + 6 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 26 0 0 x1 26
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 41 0 0 x1 - x2 - 2 0 43
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 38t + 104t^{2} + 38t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(468)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(523)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 6t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 3t + 1 \right) ^{3} \left( 52t^{2} + 12t + 1 \right) \left( 556t^{4} + 204t^{3} + 83t^{2} + 6t - 1 \right) \left( 394523043079322764544385024t^{24} + 1462423395974765001765765120t^{23} + 2549965016450007493892960256t^{22} + 2772356026022385532125161472t^{21} + 2106415422885199237024757760t^{20} + 1196166620495938227048698880t^{19} + 536277042996589606560961024t^{18} + 200565300459431913387519744t^{17} + 65747247755641539974321312t^{16} + 19307432425433422083691200t^{15} + 4991217733618055921434960t^{14} + 1092620315922506325856008t^{13} + 195487260694596624203052t^{12} + 27974108021128619974092t^{11} + 3175647938117864025302t^{10} + 285006729164134073810t^{9} + 19641244585052111325t^{8} + 912561877618435069t^{7} + 15997641875328567t^{6} - 944001412254777t^{5} - 82087713222657t^{4} - 3221704315153t^{3} - 42826448581t^{2} - 290473433t + 1316224 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 14782759487076156179985408718798848t^{33} + 69841301477709262669788050502451200t^{32} + 157893636774379835170259810051162112t^{31} + 227059391812337772205312254189109248t^{30} + 233104997170377722929161304882151424t^{29} + 182110709399506485119098229832744960t^{28} + 113028100409418502598647362254684160t^{27} + 57679924720633479166598699343912960t^{26} + 24961050548502190944532494630174720t^{25} + 9418004964876843082052648846266368t^{24} + 3162082864463277550248472651666432t^{23} + 951369486329308471643050809330176t^{22} + 254323517613785695605200483726848t^{21} + 59219798143310249165342592821504t^{20} + 11715989821370811508731896732608t^{19} + 1916273154064623315481181485664t^{18} + 250225703171086421068104883744t^{17} + 24341329066153706489043065240t^{16} + 1342294067568105294146422112t^{15} - 75278932058775746798430756t^{14} - 33966982007973063541957396t^{13} - 5744052556591365113250550t^{12} - 680812451792051431709200t^{11} - 61934609018602408672539t^{10} - 4496868873521410534611t^{9} - 259150601850986046098t^{8} - 10159478115323666910t^{7} - 117434859872642712t^{6} + 11504905052059208t^{5} + 798407565202416t^{4} + 28280474197214t^{3} + 334394174199t^{2} + 2072800751t - 7897344 \right)D^{7} + \left( 3t + 1 \right) \left( 1345231113323930212378672193410695168t^{35} + 7195834495034248930141452346674118656t^{34} + 18414602456201394734586606758107545600t^{33} + 29987708132021772508423149877996290048t^{32} + 34891837810386191857083653625066946560t^{31} + 30916281538130065705320789894015025152t^{30} + 21757908326331391323758581646505443328t^{29} + 12563350364839142762781169822576164864t^{28} + 6123178009425319322653311827941539840t^{27} + 2585567366697174323566066300315729920t^{26} + 966942327776860915087211388409344000t^{25} + 324691082613954035853772042534088704t^{24} + 98111934267868506176461864250808832t^{23} + 26462057514568115388337774706844928t^{22} + 6285354395070662332179579017078400t^{21} + 1296950494611983640534143515764800t^{20} + 229985080176277602291837549320672t^{19} + 34799240639098162676350094039600t^{18} + 4478340799147701985851496734288t^{17} + 490898592176957537270092232704t^{16} + 46380242578294266037599969612t^{15} + 3940289531660721272065919448t^{14} + 335126545272117848499598334t^{13} + 32306168283397434225758330t^{12} + 3379524351630494794503685t^{11} + 323550627294379119849406t^{10} + 25283887210692242335727t^{9} + 1516737222312519023132t^{8} + 62434342090263032174t^{7} + 1186853278146857516t^{6} - 24467334954113908t^{5} - 2340005058794198t^{4} - 83296983034015t^{3} - 900087395186t^{2} - 4948777033t + 17110912 \right)D^{6} + \left( 33527298516688722216206906974235787264t^{36} + 184651804893116585033238009395577618432t^{35} + 487123192351498034653725212860758884352t^{34} + 818773087803051919441780678669126336512t^{33} + 984561499175590006199126575877107482624t^{32} + 902740931563195596550074054276661641216t^{31} + 658225770941070644891485068066928066560t^{30} + 394163773515998559174024233761178124288t^{29} + 199358230746383498393764133541633810432t^{28} + 87377300676046877637606987953995272192t^{27} + 33922309802539025979614162982364575744t^{26} + 11833804491411118028434398763505759232t^{25} + 3723135513663649719809388761137280000t^{24} + 1049895422511467148553150094463888896t^{23} + 262299405648387945334418642514049280t^{22} + 57356648812672097258585581856397696t^{21} + 10868994979442409545297445289242464t^{20} + 1771978179876447571829011639264112t^{19} + 247064953610889016838579133387152t^{18} + 29226632731211473167578766884208t^{17} + 2883041098443102118811477759340t^{16} + 226892176036968118073188341592t^{15} + 12431642993196034694603717346t^{14} + 165528535731254997337862934t^{13} - 59808438444576661149850629t^{12} - 8902251344710093029063931t^{11} - 807414172014535008289453t^{10} - 55524038124795577070543t^{9} - 2970424106756550783294t^{8} - 112871449522928478990t^{7} - 2169907978044429216t^{6} + 22152519290146576t^{5} + 2733040211523367t^{4} + 98702870152017t^{3} + 994102087211t^{2} + 4857896105t - 15794688 \right)D^{5} + \left( 165929083862686315042246220164157669376t^{36} + 889808808822621118211313047322653884416t^{35} + 2285086039701662888546099234613824323584t^{34} + 3737381408482156244790196047378640404480t^{33} + 4370968540860778295666588812451628515328t^{32} + 3896813375437886150090328655376374333440t^{31} + 2763702688903752393716549436183963746304t^{30} + 1612244856741010068094928651234973229056t^{29} + 796849390221225845764852662175657930752t^{28} + 342813769482856650032153699175183845376t^{27} + 131217995609055567024468174826883902464t^{26} + 45239517483367081752117696540475034112t^{25} + 14052597776501000692562766934306610944t^{24} + 3897364100734702641093443468062569856t^{23} + 952907741667296517684075535121960512t^{22} + 203050321203634127589207738945354336t^{21} + 37398643893832285515899263847084064t^{20} + 5923344246835724985901751338971552t^{19} + 803671940093596178145641913032320t^{18} + 92886300006621521022426429076828t^{17} + 9035287239869004432785815286176t^{16} + 721863049993777940075444137490t^{15} + 45360545556781301688523819404t^{14} + 2093530783175404833577972551t^{13} + 66512930906674686833595583t^{12} + 2211087219866630561864327t^{11} + 225767932014230758256907t^{10} + 25078519593124398623532t^{9} + 1859050070536407075534t^{8} + 86492535110007647048t^{7} + 2079713900599542890t^{6} + 12058446602294951t^{5} - 748203444712941t^{4} - 37623921088481t^{3} - 383299137057t^{2} - 1695134710t + 5264896 \right)D^{4} + 2 t \left( 248660797332108023103534560058915422208t^{35} + 1304111689946529384896594943229756440576t^{34} + 3274681148215979689410793896424239267840t^{33} + 5235139429316271360442029802466272739328t^{32} + 5982164021890512062622348476684677742592t^{31} + 5209881222515760555927065852870699384832t^{30} + 3611062265997448781816739373873665294336t^{29} + 2061903068034188293255023199140920819712t^{28} + 1000421962777654747326495332215014850560t^{27} + 424178144722236467173486483225358223360t^{26} + 160583079560396958577005225164318423040t^{25} + 54827237099545304640594661302370269696t^{24} + 16835799590647942678048170669634753792t^{23} + 4597393185952886013393844918408111360t^{22} + 1101678614946555932065730606313902656t^{21} + 229167721223788739533682446259516352t^{20} + 41091963794992184961459085318551680t^{19} + 6325724159041423319700856674999200t^{18} + 833143072954962229822293738363708t^{17} + 93245382658328427778784944542916t^{16} + 8727135522227866988625887038116t^{15} + 660122358768619051938047383708t^{14} + 37505974548342857558790697656t^{13} + 1288998239145501170658178642t^{12} - 9206678602671155809742188t^{11} - 4712800094405653184328541t^{10} - 355276398062799580058625t^{9} - 16254729321477153976296t^{8} - 500575920856763509916t^{7} - 11071530856638272358t^{6} - 216576713617295322t^{5} - 3354303507371110t^{4} - 68049659373764t^{3} - 722299737793t^{2} - 276914865t - 788288 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 218274835206422984075574552437424390144t^{34} + 1124269471266272548854528348083436650496t^{33} + 2772041833937792887317660712986824933376t^{32} + 4350028814247865605854888948493194625024t^{31} + 4877513958323438541673610117159446806528t^{30} + 4167506890997728927766070758616594972672t^{29} + 2835141125437038679325854131610761117696t^{28} + 1591174609067792698710602473092507181056t^{27} + 760829313602197737364409022877872758784t^{26} + 318984497483654884251270452225558575104t^{25} + 119735030531838182787678613059562746880t^{24} + 40556127305134882173922262583859305472t^{23} + 12329747753793221812294596156428463232t^{22} + 3321402425603714785281607497569837568t^{21} + 782146841391413450834416187036482112t^{20} + 159387659875124518859811134390179616t^{19} + 27939628454877524571483171737139808t^{18} + 4199353754229828144720655036838048t^{17} + 539301095949763257852063220834688t^{16} + 58682687088489499830474071762300t^{15} + 5303158180709429869238139451188t^{14} + 381570460904357992269868990842t^{13} + 19866613450252194074000638820t^{12} + 522015981361244180984025777t^{11} - 21754112800646358733643659t^{10} - 3585784027235959209756788t^{9} - 239556718739432592841752t^{8} - 10486969958677962290594t^{7} - 322394941167314507402t^{6} - 7282135813577687230t^{5} - 127688619710106212t^{4} - 1672625631001507t^{3} - 28431338195623t^{2} - 241114827504t - 52648960 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 50623559863492296838360032157526654976t^{33} + 257115262562896664780404457595634188288t^{32} + 624998082857640563708398882223079948288t^{31} + 966626290786449130693794104797820878848t^{30} + 1067843662646294273048112002789209522176t^{29} + 898797029295013886620441584251296432128t^{28} + 602542965733989283956283143639170605056t^{27} + 333645664826045764705219811050854703104t^{26} + 157750784748633320236879986541613303808t^{25} + 65577996351408798734569515620438381568t^{24} + 24456491076415448927692286507624690688t^{23} + 8231179594368023086238722529276659200t^{22} + 2481707734857459812476707770334955968t^{21} + 660968769440769860340852603275961024t^{20} + 153417398428496827614294412873411360t^{19} + 30740571942136235720953770046619104t^{18} + 5289839025636129426682991085362864t^{17} + 779604938324325365036945438035792t^{16} + 98022081967067914204452506843790t^{15} + 10405898902731002373690756479558t^{14} + 910332354603588501544502959482t^{13} + 62359737064848530400740803006t^{12} + 2954790941835009341202842432t^{11} + 50800865328816219370240777t^{10} - 5944143544060594310169007t^{9} - 697422163722569967920762t^{8} - 42541261951183664021630t^{7} - 1764084330921117506352t^{6} - 52174003413650969196t^{5} - 1145420487828534282t^{4} - 18575574873000736t^{3} - 224241089871727t^{2} - 2951307306463t - 19290728730 \right)D + 384 t ^{3} \left( 776094873071498199449233957736939520t^{33} + 3902141072145883566912839320096604160t^{32} + 9388164643208893519346031375216476160t^{31} + 14366987751552235834615819245948764160t^{30} + 15699631838849477412793008377444425728t^{29} + 13069198359335400076168309150748762112t^{28} + 8667303735592392490297180117557633024t^{27} + 4752132796314533058910493531258253312t^{26} + 2228527610167738989267276521400474624t^{25} + 920747425252048822471905349522186752t^{24} + 341768407482257887005324992013889536t^{23} + 114475755884616027532474825343068416t^{22} + 34293344483824730759314159753792224t^{21} + 9053355614153796735830682476130336t^{20} + 2078050543997053652995846049756288t^{19} + 411007201599437896794385640437616t^{18} + 69725025359994592473813416884360t^{17} + 10120254100371343691263574787752t^{16} + 1251191157025457854083160146999t^{15} + 130140582734332663556914640617t^{14} + 11069306002416205607077413123t^{13} + 724982756409577000031783168t^{12} + 31214134876238970542157661t^{11} + 228859309363392096198866t^{10} - 93384345506518449031244t^{9} - 9186368703346275034264t^{8} - 523744474370418818191t^{7} - 20702579793678276735t^{6} - 586857941962440201t^{5} - 12421110460601448t^{4} - 192736287045029t^{3} - 2340695158892t^{2} - 24114282038t - 108835272 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × Fl(1, 3, 6)

|λ| = 13.49609 λ ≈ 13.49609; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6 - 4i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6 + 4i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 6; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.561257; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 4; Jordan blocks 1, 1, 1, 1 λ ≈ -0.9674187 - 2.544008i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.9674187 + 2.544008i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 4 2
Sector dimension
13
Spectral radius
$13.4960947$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$13.49609$11
$-6 - 4\mathrm{i}$11
$-6 + 4\mathrm{i}$11
$6$11
$-5.561257$11
$-3$41, 1, 1, 1
$-0.9674187 - 2.544008\mathrm{i}$11
$-0.9674187 + 2.544008\mathrm{i}$11
$-2$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{4} \left(\lambda - 6\right) \left(\lambda^{2} + 12 \lambda + 52\right) \left(\lambda^{4} - 6 \lambda^{3} - 83 \lambda^{2} - 204 \lambda - 556\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 6\right) \left(\lambda^{2} + 12 \lambda + 52\right) \left(\lambda^{4} - 6 \lambda^{3} - 83 \lambda^{2} - 204 \lambda - 556\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 6 & 10 & 4 & 30 & 18 & 12 & 18 & 0 & 48 & 0 & 24 & 40 \\ 1 & -1 & 2 & 0 & 8 & 4 & 2 & 8 & 0 & 12 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 2 & 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 12 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -2 & 6 & 6 & 2 & 10 & 8 & 30 & 18 & 12 & 48 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 0 & -1 & 2 & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 & -3 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 8 & 8 & 2 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 8 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 2 & 1 & -1 & 2 & 4 & 0 & 2 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 6 & 6 & 2 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & \frac{9}{2} & \frac{3}{2} & 2 & 5 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1 & -2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -6 & -3 & -4 & -6 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$