Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-240-54-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × Fl(1, 3, 4)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)ω1ω2ω3ω4ω5
Bundle
E^(w3) + E^(2w5) + E^(w1 + w3)
Bundle
O_2(1,0) + O_2(0,2) + O_1(1) box O_2(1,0)
ZL62 label
2034.92a
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;3,3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2,2) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 54
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 240
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 3

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 240
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 156
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 64
$\mathrm{c}_4$ = 16
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 3 0 x0 - 3 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 36 0 0 x1 - 9 45
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 54 0 0 0 0 54
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 49t + 140t^{2} + 49t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(383)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(458)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 91t^{4} + 24t^{3} - 22t^{2} - 9t - 1 \right) \left( 24503t^{8} + 35216t^{7} + 5628t^{6} + 5710t^{5} - 158t^{4} - 196t^{3} + 67t^{2} + 6t - 1 \right) \left( 15141907758550666470934865767800t^{30} + 84915894573982029416892053104232t^{29} + 86932731909454384240119931249952t^{28} + 44433799277106921930356200633152t^{27} + 37259860796328219201805986099850t^{26} + 52823683489942195758196239673160t^{25} + 46882670268273776004888588622907t^{24} + 25192006770937400400349470105874t^{23} + 8832563548020539854705453339915t^{22} + 2133049115743563583982938921204t^{21} + 413767749850095852813621079334t^{20} + 104116890324876357347176142012t^{19} + 37621256753114352723428313657t^{18} + 11575369598732064979839710908t^{17} + 2437470306212865992599271808t^{16} + 339901928814332289986049103t^{15} + 31291756735097714545313573t^{14} + 1753064371320600846388388t^{13} - 8766718225613639282598t^{12} - 16002383331095900104858t^{11} - 1590261856524498672216t^{10} - 19393566438836845515t^{9} + 7425534758765503260t^{8} + 607148508344418185t^{7} + 19938799543169568t^{6} + 266755595647006t^{5} + 22159787006532t^{4} - 698769023130t^{3} - 15482564064t^{2} - 75788592t + 407040 \right)D^{8} + \left( 1215468615186244628240250544115929538400t^{42} + 8728571378578900936411966372489456627432t^{41} + 17647242040186191987055826478893618001024t^{40} + 16059068300762130241078646870701809279136t^{39} + 10122291743634569931684421787840788084504t^{38} + 9624064359889427981601027280779451704448t^{37} + 11383019959785555655407425525747168817126t^{36} + 9395893786363489057681003100920616487178t^{35} + 4831298138390360290935652329275398758880t^{34} + 1340264718981873413814594458432374255368t^{33} - 57499590521283052269292338693304302732t^{32} - 255230608221231288929413105855634152904t^{31} - 139129908211525677794377880694155722394t^{30} - 46884854634721685969808305321495614402t^{29} - 11655095296427215218937845064414718390t^{28} - 2566285762682879403750676896549529547t^{27} - 691871612200018341753934954069927364t^{26} - 239272437006629612420236301014876774t^{25} - 76635982896381528268560287105299623t^{24} - 18505778342099097790349348707584141t^{23} - 2989488444594185616882278480356628t^{22} - 217607232858575809122883044437614t^{21} + 34414228535612673987191171736732t^{20} + 13338963950249993310122785936306t^{19} + 1718230228456653625831135085940t^{18} - 15342813728159766275469576432t^{17} - 41942786739065723322975598480t^{16} - 7376711412427270823461376265t^{15} - 710282860269698905451614510t^{14} - 39823264690157043016302582t^{13} + 121412708014005465511565t^{12} + 300890349312064561653686t^{11} + 25835402808149283910894t^{10} + 109255414070493717732t^{9} - 117612200938703943815t^{8} - 8383927395921551933t^{7} - 244242445228967004t^{6} - 2906151975288704t^{5} - 208704824050830t^{4} + 6416581983354t^{3} + 123846096528t^{2} + 530520144t - 2442240 \right)D^{7} + \left( 18434607330324710194977133252424931332400t^{42} + 130391192987422225693786075508631208494064t^{41} + 249029412693340465243383929659137603019240t^{40} + 220329474464671945699820301688980258074992t^{39} + 146779770196617151842252563382323930406272t^{38} + 154105762160628915153203116638350950603352t^{37} + 182209092425486577473086039413162671582342t^{36} + 148428168427666960816208351647745537518874t^{35} + 78308687718326830901640437294795537129660t^{34} + 26115656031910480315344355625458814310568t^{33} + 4439918935575071510035930324277993796802t^{32} - 383848152752607334754088568820237103060t^{31} - 451015534317035663570513653564441432714t^{30} - 130993447487035121310331121441928531734t^{29} - 28454534665390534827451825777382333652t^{28} - 11544850253752758172296968314466726803t^{27} - 6339957180383467048234760507835805030t^{26} - 2619580651003294104862383055736326288t^{25} - 769441752517186260407855641618993231t^{24} - 163678460226477808685176562211270657t^{23} - 25293446828574685573195484620220640t^{22} - 2761455912944802641072269183356346t^{21} - 166284981014510873582174478805370t^{20} + 19528595498908829833276164742410t^{19} + 11281834204932675771097028653112t^{18} + 2926413306602750396731059342044t^{17} + 499554943893529928031301175108t^{16} + 57282291913933591162986506515t^{15} + 4327959855704148572652485788t^{14} + 188083422517889744417719052t^{13} - 3084662032744129047281045t^{12} - 1519926926551845880020246t^{11} - 122276025549536363109928t^{10} - 648108691671128768918t^{9} + 508744416206858593585t^{8} + 35539073231193426767t^{7} + 1072724581052876400t^{6} + 10486769553818308t^{5} + 759350985724434t^{4} - 19796166483414t^{3} - 355213695792t^{2} - 1252220208t + 5291520 \right)D^{6} + \left( 153149045513466823158271568558607121838400t^{42} + 1069374589088931911676850523692481311447888t^{41} + 1933315243791624527286510486563045152778088t^{40} + 1660855556835802003721375659765468221575072t^{39} + 1158109052862968597296719667542799108109436t^{38} + 1307594537885246235741001766045925509331896t^{37} + 1538885049463146302013206002079636675170292t^{36} + 1236927456330755575386745445940244031151694t^{35} + 658494320379643820114734476623484919537598t^{34} + 235866497680173110402610004877067347201054t^{33} + 56158679137205749477343633618593702946136t^{32} + 9009666150786259052592545376654483864594t^{31} + 1724093711551297229664672494465917868440t^{30} + 771093819981776589254960019386736815916t^{29} + 280153870862639637650244044298944626256t^{28} + 40880733433441225950747636789021400159t^{27} - 11829667156171219233233624288461550360t^{26} - 8922671628714625378412121800043142710t^{25} - 2939618722121018653644805622190094883t^{24} - 665912845969018921055501666336666507t^{23} - 115086381171528328112517473268971494t^{22} - 16039580641206571344814269027015548t^{21} - 1975105516353975424122950516925934t^{20} - 269505238565101693683339770452528t^{19} - 50004959065332080123409583320192t^{18} - 10125247357301086521317260552992t^{17} - 1664468471821063857733529042290t^{16} - 196455528367769268500678868249t^{15} - 15951187528943853087704160224t^{14} - 838768605567332768960115492t^{13} - 14248385200686267204675391t^{12} + 2489839540389174475991090t^{11} + 248274182893492036059238t^{10} + 3322988960872091150544t^{9} - 815673346993576247405t^{8} - 60305267885100124223t^{7} - 1839450112096660404t^{6} - 14590573115472968t^{5} - 1074368912964522t^{4} + 25251198610590t^{3} + 432482872176t^{2} + 1210824240t - 4884480 \right)D^{5} + \left( 757945970619889046093482901801625061320600t^{42} + 5235537462973963189708775914071172940830024t^{41} + 8993048587606556708319901344620823218457928t^{40} + 7501079373315298440570264126723577415696536t^{39} + 5444472237822062353806450580317796814888870t^{38} + 6513980557009270687949296312574587716259000t^{37} + 7617852596919635887491792348326048914782435t^{36} + 6037990215988283954479385223735246775216278t^{35} + 3212909517073714917090652430167002840435613t^{34} + 1184874528782645172468474704336317310609219t^{33} + 313597637279723749361049510276845842135985t^{32} + 68614207665169720285087369391700354311309t^{31} + 18987612375741599712202226647573489102785t^{30} + 7252638231697133372790834568516652387866t^{29} + 2358056045863473927603072306408884646814t^{28} + 486625082585133552025902504003381324220t^{27} + 37006478160185658224839956678471737666t^{26} - 11701798340129285331307844308028273432t^{25} - 5077395396761808826462903320405511531t^{24} - 1083708175262028449707897912998240212t^{23} - 159737403438763145582074049333185081t^{22} - 16995692715301603591076953998194965t^{21} - 970605238970802642329037008620846t^{20} + 132928917266228703192077805608221t^{19} + 62109311784760688173423621098658t^{18} + 13587138728794602329461035751679t^{17} + 2037589910603030768533323336853t^{16} + 218979602046046824989262225931t^{15} + 17219832428821158661636397199t^{14} + 1039330409374883088571681718t^{13} + 45094848166614240507510292t^{12} + 345767458526064335287614t^{11} - 105097421302911444834196t^{10} - 2369401490317684742552t^{9} + 383910129911953757362t^{8} + 32479448704539403016t^{7} + 1120045652939627772t^{6} + 7737224121025780t^{5} + 533116370411544t^{4} - 10428013728528t^{3} - 182394725088t^{2} - 414231072t + 1628160 \right)D^{4} + 2 t \left( 1135855420891545605090514133476336153634800t^{41} + 7776532395631862846188767084576519423228404t^{40} + 12756084687194428503742100118861307897597788t^{39} + 10342767345204412681016022855891760572670912t^{38} + 7782597948978312057229616413205290712162718t^{37} + 9762252933479348323252720860418266123501924t^{36} + 11331144342855587502878554578550581867841247t^{35} + 8851009052341000327457931243688327016491372t^{34} + 4681647370056558301593831992765647667235005t^{33} + 1744594022047693990866867297813839786276921t^{32} + 482618316769743738844311686831373362043610t^{31} + 117182893554727850435452511949918715153543t^{30} + 35438844701410179710997286758724194710549t^{29} + 13279403934890923599604589922193619505489t^{28} + 4246090277957593556001803283906838556343t^{27} + 942806035023415101964104285040412692948t^{26} + 123315248943170728999068595182677676056t^{25} + 2483841036623357910446100809918385420t^{24} - 2814021485076296279512329338014661869t^{23} - 748379327899312985372681503297819828t^{22} - 119658392542381157828152824357649311t^{21} - 13457314315276658690598692476478175t^{20} - 881396915494317746953478076051789t^{19} + 22397869452769327235708481112647t^{18} + 12866956178888263125614079464954t^{17} + 1244160918660253345779612658884t^{16} - 5189342032162034859832725773t^{15} - 12976542112010916695816424669t^{14} - 1413057299880168644249053341t^{13} - 80372242024737405705826635t^{12} - 3743875211395710899017091t^{11} - 300732559395050271086960t^{10} - 19591706623369615606870t^{9} - 179273024660625301074t^{8} + 41041282008219447962t^{7} + 2486732833385888390t^{6} + 34696106393593920t^{5} + 622003843514132t^{4} - 5731220549100t^{3} - 152319380292t^{2} - 96340032t - 162816 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 997055657640694169904523300507986533291400t^{40} + 6777807456625923320536313352325266794758704t^{39} + 10684117245735951931332309588014544640290080t^{38} + 8441359052373826830360005406785626236439552t^{37} + 6558374821765174145029146554710957423870062t^{36} + 8546631014819023533495228003908728005047536t^{35} + 9840895135428208364830710783563315430123467t^{34} + 7577148485019209354778898366665602559095378t^{33} + 3973297088338484915711655890868487391981625t^{32} + 1483250791843407882201500186575695766756935t^{31} + 419547882158111094693982436714759910118976t^{30} + 107891847959245263416112306189564097268073t^{29} + 34472129338374550582035246399600763739899t^{28} + 12966158077547922415623360361379420452249t^{27} + 4133644304105460381104388435148884490972t^{26} + 946505019372547644367815777765991444088t^{25} + 143064667971093464736661120500276114048t^{24} + 11563841207617025409024966913173393595t^{23} - 374516297252025704067827171850529082t^{22} - 286030751972113463176986089742406588t^{21} - 53075388471006534201232839902232457t^{20} - 6169374865586436395606933935959375t^{19} - 412455393310403741296513930945316t^{18} - 6979420322733382448768836892231t^{17} - 725307357815521429011611589060t^{16} - 689693302466948067637094167391t^{15} - 151200242824487556499072222025t^{14} - 18474239160495608327952768107t^{13} - 1549665359974678945110686504t^{12} - 101723071631310818208633800t^{11} - 5706755051593582096214854t^{10} - 275490034205772100133345t^{9} - 7172194228653365045907t^{8} + 279496354858957848736t^{7} + 30631868550200083092t^{6} + 1028845132495021278t^{5} + 8603809145874342t^{4} + 198698675035152t^{3} - 2365099469328t^{2} - 50918271168t - 13025280 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 462485808078366081045415332036111189361200t^{39} + 3126716144351067537387637282440343602954684t^{38} + 4771193203245278463815374557739534354936644t^{37} + 3686779241104074529881296828226764265060776t^{36} + 2943128100865115741051248404829472359810378t^{35} + 3951023624854726105264137711261593241273960t^{34} + 4514927419890800658893313179079307443796041t^{33} + 3431448715123328572270073708869523562375148t^{32} + 1783010016938312062155662583659105017306921t^{31} + 664329271515987188841470787062789689803975t^{30} + 190351220366670807802775675367253612574750t^{29} + 50940693887162253111336905826827884257519t^{28} + 16972764895703688040037657727605495990565t^{27} + 6435229568760352701999771972182012590661t^{26} + 2048374985543746147358271013994804267673t^{25} + 475010212399128458907137026816075173454t^{24} + 75882827504182226080082461658871836289t^{23} + 7659044774854267451412091993591303106t^{22} + 279700501546934885667716111954417990t^{21} - 63140104499766812623782612558597883t^{20} - 16544047504989665895636744949930887t^{19} - 2290893458107344919054461549923934t^{18} - 234707134739969195183999102956795t^{17} - 28811859213551260885297663024890t^{16} - 5312463683861954675041564346963t^{15} - 883869392717556214657765989903t^{14} - 108059921129360370709891473048t^{13} - 10003781274657826121023232043t^{12} - 760375854527701749127733502t^{11} - 50313722636173270462061667t^{10} - 2761066311255700405987377t^{9} - 105097045826186656826283t^{8} - 457285504105213121457t^{7} + 217455009128766673074t^{6} + 11979769732258218570t^{5} + 258652557066339486t^{4} + 1698793637946174t^{3} + 22484086346448t^{2} - 540107505360t - 7809799680 \right)D + 48 t ^{3} \left( 28360934354345707992272512696038355896000t^{39} + 190989413578503685886672032340924728136520t^{38} + 284450046035030684387987757609407682528120t^{37} + 216028022314777716641591043111777688580080t^{36} + 176112752576904179795025077817599684312612t^{35} + 241563955431395406800430617792874369601980t^{34} + 274334666943712058451928643201468517894894t^{33} + 206347796170156814732326826639207687291960t^{32} + 106378769897190375328342733195850106245608t^{31} + 39521139984533793699603915618971946337710t^{30} + 11415327761478666538392940763540179570771t^{29} + 3143099324272660528776097483012397887308t^{28} + 1079935771465080226950478738913937509589t^{27} + 412304661647138417472866515913868916495t^{26} + 131038039876724999236451375714299826433t^{25} + 30538154852445678054182518044178468625t^{24} + 4998759299504701232011476268970540124t^{23} + 546222092943657708636007733198535982t^{22} + 30770251090564736278485101719326562t^{21} - 2089323676687677890570684407133141t^{20} - 863347668744378444433415373002622t^{19} - 142115308398896001984495393270234t^{18} - 19074835051054610523736626525218t^{17} - 3044275097622304976162651993505t^{16} - 530981184335043952878871248265t^{15} - 75035687808272286667441737954t^{14} - 7903163220538648223533476390t^{13} - 654120547249673317517295870t^{12} - 46822833458146929143830032t^{11} - 3011839615887143816878764t^{10} - 156997569779169761590380t^{9} - 5062773109581938214078t^{8} + 55852040756824610274t^{7} + 14489373810142503108t^{6} + 614612282906806164t^{5} + 10155100474641384t^{4} + 72775231580592t^{3} - 228345002496t^{2} - 24926783616t - 181336320 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × Fl(1, 3, 4)

|λ| = 10.85631 λ ≈ 10.85631; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.384665 - 0.02336815i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.384665 + 0.02336815i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.48595 - 3.261267i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.48595 + 3.261267i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.234552 - 1.940705i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.234552 + 1.940705i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.3305; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.1703079 - 2.174118i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.1703079 + 2.174118i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.799605; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.7182697; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$10.8563139$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$10.85631$11
$-5.384665 - 0.02336815\mathrm{i}$11
$-5.384665 + 0.02336815\mathrm{i}$11
$3.48595 - 3.261267\mathrm{i}$11
$3.48595 + 3.261267\mathrm{i}$11
$-4.234552 - 1.940705\mathrm{i}$11
$-4.234552 + 1.940705\mathrm{i}$11
$-2.3305$11
$-0.1703079 - 2.174118\mathrm{i}$11
$-0.1703079 + 2.174118\mathrm{i}$11
$1.799605$11
$-0.7182697$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} + 22 \lambda^{2} - 24 \lambda - 91\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 67 \lambda^{6} + 196 \lambda^{5} + 158 \lambda^{4} - 5710 \lambda^{3} - 5628 \lambda^{2} - 35216 \lambda - 24503\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} + 22 \lambda^{2} - 24 \lambda - 91\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 67 \lambda^{6} + 196 \lambda^{5} + 158 \lambda^{4} - 5710 \lambda^{3} - 5628 \lambda^{2} - 35216 \lambda - 24503\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 4 & 8 & 3 & 0 & 3 & 12 & 8 & 8 & 8 & 20 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 4 & 8 & 0 & 4 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 3 & 3 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 4 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 4 & 2 & 8 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$