Family 4-304-66-c

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3 · 112030.wFx4000 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3
Bundle: $E^{ω_{4} + ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{3}}$ E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2 + w3)
Bundle: $Q_{3} ⊠ O_{4} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1)$ Q_3 box O_4(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1)
ZL62 label: 112030.wFx4000

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;2;2) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	66
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	304
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	7

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	304
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	172
$\mathrm{c}_2^2$	=	96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	64
$\mathrm{c}_4$	=	16

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		4		0
	0		0		0		0
0		0		6		0		0
	0		0		0		0
		0		4		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 7	0	x₀ - 7	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 44	0	0	x₁ - 29	73
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 66	0	0	0	0	66
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 61t + 180t^{2} + 61t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(157)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(219)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 91t^{4} + 24t^{3} - 22t^{2} - 9t - 1 \right) \left( 17033t^{8} - 72848t^{7} - 12116t^{6} - 974t^{5} - 1522t^{4} - 20t^{3} + 5t^{2} - 6t + 1 \right) \left( 782963558276161314910027277205261t^{30} + 783951892108921967464355310570892t^{29} - 89185620423647589759038278437541t^{28} - 604301706714316308896996783395643t^{27} - 265438365299929673873796310657146t^{26} + 169638861346485383105923227754492t^{25} + 228369291753685180653474149524013t^{24} + 105217327489130862274066292618418t^{23} + 17780530089421979512845494614014t^{22} - 5589389694395987665560846316695t^{21} - 4670610152457326504452020068601t^{20} - 1465731716780306768978090106244t^{19} - 230894464983418041447066832852t^{18} - 5429884118226365104261647504t^{17} + 5058210899534610492519343324t^{16} + 1035428172190148720908569532t^{15} + 90234964731107255261607738t^{14} + 489377606314264092735891t^{13} - 940855309060844709846996t^{12} - 129829660094308724372673t^{11} - 5872718357310079543012t^{10} + 364221435306681082152t^{9} + 47432111591744372934t^{8} + 1021737311260791000t^{7} - 171392750596947562t^{6} - 9593261703076636t^{5} - 387026108207736t^{4} - 4448267551936t^{3} + 48120380544t^{2} - 1630802880t - 2159616 \right)D^{8} + \left( 43689451111874095197401532350999501968188t^{42} - 101150103772162357537424109429508448375068t^{41} - 217037077773887942538166124870851473188202t^{40} - 66917030217344135252539902852561736772301t^{39} + 137989271633558411322617329588072617637772t^{38} + 125990293828531664347419740815534717007094t^{37} - 11692595976734225831607478866051454140147t^{36} - 73124975699061754226745655862760099218455t^{35} - 45063680117912639770034199368656813709634t^{34} - 7652487976743325165771586235273244661776t^{33} + 5333260169012285827594613951575549950834t^{32} + 4144956271979403259142840633569697368607t^{31} + 1273940536935941267998293196416484476882t^{30} + 78331290637498528493673595544119056556t^{29} - 100059275568193899383056284190854751517t^{28} - 48958892684390089572667463084151096512t^{27} - 12464315838221399513105993618003729796t^{26} - 1943982286107240538787391551868288702t^{25} - 125372045314705852553492327332784545t^{24} + 30414052003558502587432846212449434t^{23} + 12195182260988236370539855402846466t^{22} + 2016392731417219851795984502322988t^{21} + 80725047801947262143368512179633t^{20} - 38688365199659389168052560354656t^{19} - 8544104480137178592498184172362t^{18} - 467757581694296696738668480542t^{17} + 101358386183718924622093968065t^{16} + 23490521651780958389971865432t^{15} + 2023755237900817218458677098t^{14} + 7753404135389241748843692t^{13} - 19741054406753468684112029t^{12} - 2431145755781129356554005t^{11} - 92433422260059312370580t^{10} + 6127474474953312963624t^{9} + 667062021671702034448t^{8} + 9443170371552822480t^{7} - 2226125303751947436t^{6} - 110510891888173268t^{5} - 3907508301578544t^{4} - 39969238989312t^{3} + 379720777920t^{2} - 11415620160t - 12957696 \right)D^{7} + \left( 662623341863423777160589907323492446517518t^{42} - 1143500532346724025402560371996008666619384t^{41} - 2645251614464799077299519222512513544321428t^{40} - 899380922103139003281973905367009263842433t^{39} + 1660066729491647862706433537051620332659668t^{38} + 1585485741166085499003910626801214047798252t^{37} - 107322193586888087242823887895067353638841t^{36} - 907181304952331241549408703964174896690015t^{35} - 598185908280840593081237942814100168475336t^{34} - 138461614605910811515139206918347340677936t^{33} + 40259755473650622621784709181695939861620t^{32} + 42150185853693789579644375481861276048299t^{31} + 14133155726168493495066724650383815640714t^{30} + 1244668597482674532468499487429171264686t^{29} - 856892945807460566721978574917931582971t^{28} - 410941481168643666671037178674273250700t^{27} - 86030498081589608486025105670460461386t^{26} - 7239946753297196634479030458322685804t^{25} + 967636170231017678847910665931341751t^{24} + 418961598030945161900984494443053158t^{23} + 75512304455468818770203958797952304t^{22} + 10929537785930580043883974789285910t^{21} + 1884606027174065469073699508421025t^{20} + 336606345806898989320112766288748t^{19} + 34184810054867287040044007790918t^{18} - 2109358283949824850336482339308t^{17} - 1233174098113459253744146318817t^{16} - 178333741140988270010741763608t^{15} - 11474889342294913352213257216t^{14} + 185646239017208179704889418t^{13} + 118959812891242017475077479t^{12} + 12454098091859446402810839t^{11} + 428767462045868639909032t^{10} - 31808497551402203085188t^{9} - 3210039356754671138768t^{8} - 58018038924625071476t^{7} + 8699757309334137872t^{6} + 399015276587521908t^{5} + 12965300801954064t^{4} + 118206352104448t^{3} - 1056784096512t^{2} + 27521653824t + 28075008 \right)D^{6} + \left( 5504870840096135994872593076225937247991688t^{42} - 6779242622817906982649393394385512634566136t^{41} - 17769968725557448246992790487910880005210150t^{40} - 6735166178478027255613493739824603417121891t^{39} + 11109616518522815547844919409355692750607442t^{38} + 11226928037450038765934692649243835049205658t^{37} - 353797858150950047110720007677042504248423t^{36} - 6192970882941398656503681985780089149760103t^{35} - 4350385567426301082745532959110000068913792t^{34} - 1198717208828890556333735153801342143318354t^{33} + 154280563991660784691474370403203605769868t^{32} + 264702531036709365462306561910485727981445t^{31} + 104029337427090719114250815488814399093214t^{30} + 16108375842352762036154009304150520044556t^{29} - 2588722985052020944163203618511069121635t^{28} - 1860806548813119707013879043162429281668t^{27} - 389861424099092975473189857561588961974t^{26} - 21167060505131869159127653614254586642t^{25} + 8551955054676479125127989625210573819t^{24} + 2516928553369024579531314299237573380t^{23} + 305871879281365129629000071964644450t^{22} - 1455161885251146358128459291664518t^{21} - 8885083869440272907403214392461941t^{20} - 2016142428830771454456800393840670t^{19} - 222199875860352350553298310142688t^{18} - 1244720383721168928609509802528t^{17} + 3618158389036172135951499263297t^{16} + 575505230418310938031760100752t^{15} + 40559927360746425531531237162t^{14} + 223783055064383283840012624t^{13} - 262843483048965711545587919t^{12} - 30185229105891884764340495t^{11} - 1320902704627846449836708t^{10} + 34482048304632484989816t^{9} + 5083595389811775677392t^{8} + 108184794762515691744t^{7} - 14125454449556143812t^{6} - 597362688074691164t^{5} - 17449564129300896t^{4} - 129130457173056t^{3} + 1188561758976t^{2} - 27346511808t - 25915392 \right)D^{5} + \left( 27244013555846154530179638881877439435662567t^{42} - 22398878976605213086377801779961463763367220t^{41} - 71690837904249694356279389613106871010647391t^{40} - 30968189300333409620431741933211521953308355t^{39} + 44157958722037950224133267253094098588014655t^{38} + 47980956935049925853078488010502643368722679t^{37} + 573668547975064164770074312619589883884421t^{36} - 25025115451309358297531541590561977815661828t^{35} - 18607574729996960272053335036748002392183364t^{34} - 5663631639750876571483205115313404578521890t^{33} + 331205733746685184552412508173467443356308t^{32} + 1078932881263996219397353263012825134604086t^{31} + 481859439168670189349073532223139120200243t^{30} + 98704166933796283346723168498139933377086t^{29} + 378736301001539109411363588142220856759t^{28} - 5179299711089171327118127239190226021435t^{27} - 1287692950267360747362737214042201884802t^{26} - 99660520051167734262506238915389875539t^{25} + 17796538144111588583334284901960268894t^{24} + 5919746239304306818984848543088838749t^{23} + 739885714581672211526229462136875043t^{22} + 35235919438258486580078866309925759t^{21} - 2074151335110118154210023869316241t^{20} - 123708276890770797105774787536386t^{19} + 54698202811268333802121022716416t^{18} + 887185962850596752362207236680t^{17} - 2226260113765320730101782986610t^{16} - 404852711514233679139404990554t^{15} - 30672015900180297775653042478t^{14} - 459631213052612576128623388t^{13} + 134341848064077003844004726t^{12} + 16527729226925637791083914t^{11} + 814051968205418386108288t^{10} - 13489725213239013346760t^{9} - 2471894508403321532000t^{8} - 60463877009710694078t^{7} + 7785418039762536578t^{6} + 303288496640747496t^{5} + 8263769655894936t^{4} + 43809183528256t^{3} - 454686937536t^{2} + 9604134144t + 8638464 \right)D^{4} + 2 t \left( 40827792064046341961971731982009034589271686t^{41} - 19953891319153847280397275340218746747845646t^{40} - 88553142629132000824965316593850325581420944t^{39} - 44480060971935472868050272781478205221868492t^{38} + 52521508889060779818126309709365335295455089t^{37} + 62726960480404385986491923730124302248573976t^{36} + 3988517429859899869319321006591198797942149t^{35} - 30209377724222122929397246488116819261244605t^{34} - 23787043913459806006917714183326107785001587t^{33} - 7728763672327953552352953733246920556086479t^{32} + 178822129547792649237133018590802141658685t^{31} + 1383318809082858430101454183801579615521934t^{30} + 672841448269021946677397574395678678343072t^{29} + 158214214823301386338634527409130988511744t^{28} + 10596698713116557050785496574264084929820t^{27} - 4648199864285331543520523563630854838558t^{26} - 1487664145041055468321883500843620549123t^{25} - 164464772560629029902406339433991060308t^{24} + 7101419016454052422659419401814376979t^{23} + 4854896413987769945214773855539985981t^{22} + 682986218760712364801548221323648350t^{21} + 22506856318262324755191293492596869t^{20} - 8735032542881138450565182679977774t^{19} - 1720136684494881736768783486998093t^{18} - 116950008382645274400371543107859t^{17} + 5554662896562253062474436776975t^{16} + 1786314329612573116248163979779t^{15} + 145485637154986475520604756492t^{14} + 3224910156232862783230374654t^{13} - 379805965764377695734936318t^{12} - 51803805981057366920952838t^{11} - 3711401604975047772779890t^{10} - 197745286344986741126368t^{9} - 8438434037500123897788t^{8} - 190547871578558220184t^{7} + 2048586591711924720t^{6} + 35496169350527016t^{5} - 2388447563080312t^{4} - 74625215360568t^{3} + 304733801088t^{2} - 1037468640t - 468864 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 35838699466243164035401795884926841461737773t^{40} - 8016729412716301653898709154643522041321024t^{39} - 65072930392334179583790129803103714260726033t^{38} - 38344642650617868116631660363328045117286913t^{37} + 36124465440085988234515765508148940483405358t^{36} + 48636818918972413998125373640326689352011721t^{35} + 5966968598620339951158542919151000810480589t^{34} - 21059994224887088722672384474570098144310771t^{33} - 17696242679183702185252954370102994455231290t^{32} - 6061120073667413621254427999107493326624284t^{31} + 88980772393121094116726846222520814660t^{30} + 1049168331004229199627925827136093472124891t^{29} + 541621787357609821129815454431731149698880t^{28} + 137414037087278491324749990065633347258470t^{27} + 13254654300297892216947628688725422370257t^{26} - 2606563958724326706928182722215800076533t^{25} - 1085273998383296661962390509279593657059t^{24} - 152087286212921722535286143151198358095t^{23} - 3822878724888053165726151742610211554t^{22} + 2182000031486434498498544177554871914t^{21} + 391179583697355040997389347480578980t^{20} + 17479270840292899080235368257623271t^{19} - 4744879289817838268684106699699187t^{18} - 959129766172932762638266404077894t^{17} - 52161484235092760015486846514065t^{16} + 5888552068660574417071984208920t^{15} + 1221786068321469665962706473300t^{14} + 84609880535966029157888832775t^{13} + 1252511777779381405389257123t^{12} - 244117971615280410040087826t^{11} - 31857441397789880733918456t^{10} - 2289404710489292842349812t^{9} - 112495964519688841823190t^{8} - 3587542929127016989990t^{7} - 33498281238377544914t^{6} + 541587920569615174t^{5} - 64315295991139170t^{4} - 2125128497934976t^{3} - 19597260665112t^{2} + 103578936768t - 34553856 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 5541278716022697740870427686518436832965178t^{39} - 116645173758015419034458516474478880047966t^{38} - 8609775707902578493717879717762416120711600t^{37} - 5909944817799171239900136478047771205746626t^{36} + 4354690367941443167342900602475634416693592t^{35} + 6757130735640998035013594456898719543626032t^{34} + 1248432009259499831881290818433627224081479t^{33} - 2570321347211815028389209907551151652240112t^{32} - 2330340364211145961497132127962402226747847t^{31} - 838263345845926189401397561845751703240391t^{30} - 16298549348401096943250564536393599535591t^{29} + 140805395816490096047163529304838442418829t^{28} + 76186255388102167569037616450564202986077t^{27} + 20265120132352146945662298437355147944486t^{26} + 2272164746294829028182934762038222090520t^{25} - 276896324576721892604659832410422290252t^{24} - 145612968401251923603947103284184211836t^{23} - 23414750188097586214140481340955504482t^{22} - 1337940357966486362303594004412800089t^{21} + 173528024031217196750105456334299062t^{20} + 44061671933891165211762428484250983t^{19} + 2641292022874348875728085551120985t^{18} - 459148703045205651377671626081444t^{17} - 97853275672711283880532159847565t^{16} - 3883537649924183692834802349646t^{15} + 891382326389382615163098316105t^{14} + 146706740154580300742815661949t^{13} + 9043460792448090312879399043t^{12} + 103649264767859512607171871t^{11} - 26136454364922178097408980t^{10} - 3557307252099612347550968t^{9} - 264530755729980417066268t^{8} - 12624014100767607990012t^{7} - 292276847410239298280t^{6} + 2302197483275944296t^{5} + 62209568097535216t^{4} - 10182842973010112t^{3} - 236120784048384t^{2} - 1075185312512t + 4740152832 \right)D + 288 t ^{3} \left( 169903420990621481323228181364998063209620t^{39} + 20921155641212364234048212894449913311710t^{38} - 232960266304922329548600899835353494718150t^{37} - 181780093876416237969164546228790054498140t^{36} + 105841143108731071806318323016734686950392t^{35} + 190485343187730069127052590786158569928342t^{34} + 45972492693231903067939516589992600728491t^{33} - 63186776241183999613612206908101507189366t^{32} - 62172018645085461216658901701730162585617t^{31} - 23387469291014362358755612081811094617085t^{30} - 854512709303342225259590619720596566212t^{29} + 3808407438097178872709874970767219203409t^{28} + 2142076909579996739916587623945496476032t^{27} + 588192238250163802159730070607622199133t^{26} + 71301914846939770390386511617706755669t^{25} - 6297442513416331801914529960623281389t^{24} - 4004048743139983000218461699568901478t^{23} - 696807649237179993182076370024680220t^{22} - 50928998019891216550462912231357155t^{21} + 2817366466653501876331369962676809t^{20} + 1091124624148368914234807594831585t^{19} + 81084071866389320518493842817135t^{18} - 9243852000443909420723325887204t^{17} - 2142990304762620299276756415246t^{16} - 56278648923638628930141124481t^{15} + 25422104906406054804065414597t^{14} + 3675217003587479850622264487t^{13} + 210247037867534390146170895t^{12} + 2161926837284119182960345t^{11} - 595650443071858643180402t^{10} - 85079400695386219913854t^{9} - 6433393129728934029918t^{8} - 300560986680724739014t^{7} - 5155429217370241512t^{6} + 134797403829468240t^{5} + 1955195940458904t^{4} - 241050543860424t^{3} - 4639062995712t^{2} - 13985293152t + 14577408 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ³P3

Show multiplicities

Sector dimension: 16
Spectral radius: $8.64269568$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$8.642696$	1	1
$1.289571 - 4.958147\mathrm{i}$	1	1
$1.289571 + 4.958147\mathrm{i}$	1	1
$-4.234552 - 1.940705\mathrm{i}$	2	1, 1
$-4.234552 + 1.940705\mathrm{i}$	2	1, 1
$1.282766 - 4.382796\mathrm{i}$	1	1
$1.282766 + 4.382796\mathrm{i}$	1	1
$-4.25114$	1	1
$-3.761407$	1	1
$-2.3305$	2	1, 1
$1.799605$	2	1, 1
$0.225176$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} + 22 \lambda^{2} - 24 \lambda - 91\right)^{2} \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} + 5 \lambda^{6} - 20 \lambda^{5} - 1522 \lambda^{4} - 974 \lambda^{3} - 12116 \lambda^{2} - 72848 \lambda + 17033\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} + 22 \lambda^{2} - 24 \lambda - 91\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} + 5 \lambda^{6} - 20 \lambda^{5} - 1522 \lambda^{4} - 974 \lambda^{3} - 12116 \lambda^{2} - 72848 \lambda + 17033\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 4 & 10 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & -2 & -2 & 0 & -2 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & -6 & 1 & -2 & -2 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 4 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta