Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-384-81-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
E^(w5 + w6) + E^(w2 + w3) + E^(w1 + w3)
Bundle
Q_3 box O_4(1) + O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label
113040.wQw8w1
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;3;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 81
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 384
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 12

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 384
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 192
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 64
$\mathrm{c}_4$ = 16
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 12 0 x0 - 12 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 54 0 0 x1 - 54 108
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 81 0 0 0 0 81
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 76t + 230t^{2} + 76t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(57)
Coates et al. (2020) Obro(4,91)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(96)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 27t^{2} + 1 \right) \left( 53t^{4} + 45t^{3} - t^{2} - 5t - 1 \right) \left( 3699t^{5} + 974t^{4} + 113t^{3} + 24t^{2} - 2t - 1 \right) \left( 857947207457017080521898420714228t^{30} + 948742115122011198304771541358534t^{29} + 195896450421553697028688822712040t^{28} - 329230284952312805425252266229275t^{27} - 220308723099642922115129653118667t^{26} + 42501390643481405897557690607906t^{25} + 108478984493676356110561885036752t^{24} + 61264298256560047471852906541442t^{23} + 16775390478964663901104217198461t^{22} + 887543707428635886875409384555t^{21} - 1190675691955118367613144263963t^{20} - 476226915280829471912104258623t^{19} - 85870836035172133521461783079t^{18} - 7272475597477379589162985489t^{17} + 146651028971980331568021267t^{16} + 211421633594690817894202884t^{15} + 45961782358720124983070791t^{14} + 3541231351260630228475047t^{13} - 195690604583829473849102t^{12} - 56014163679254412542621t^{11} - 3049126107430057167661t^{10} + 49237517625767460879t^{9} + 8019236205185972519t^{8} - 4037404254284986t^{7} - 26141069210663474t^{6} - 2163200373966602t^{5} - 37559882832843t^{4} + 749010332421t^{3} + 22523203211t^{2} + 651372640t - 8896512 \right)D^{8} + \left( 136240360706063920343912061945467427939960t^{41} + 276920226484134302089919671457990384449314t^{40} + 195096423397177554069549221164557835750818t^{39} - 2938289373597673136673366981325637574105t^{38} - 88853395723175133822504304241996728072959t^{37} - 39860979777818879017859221768731261273207t^{36} + 21382571228882370555156638731353699489195t^{35} + 33598679387274782921729094093636927251688t^{34} + 18661059048274222129432126817910911462218t^{33} + 5252631229138793965244850477804995685745t^{32} + 154299039206023379105225476838551399294t^{31} - 524021150337018628953583600357672812431t^{30} - 230871107549026690720956682660109190222t^{29} - 45723915921578456233529842888008363913t^{28} - 886235899952081329076853965744778513t^{27} + 2183047234987838920073051655325016481t^{26} + 709748797541089129913769063541784052t^{25} + 119622319502452430247306008263138056t^{24} + 8856779708271520996677328632030988t^{23} - 785043375582763339655867529711506t^{22} - 208814333218092980147481495731148t^{21} + 16432991641501352394202788393022t^{20} + 12906721016743405128485499524617t^{19} + 2445756530831810403241643700962t^{18} + 207431220088235648380879260469t^{17} - 13462844704274845869607986443t^{16} - 7937213202304026423391640927t^{15} - 1191634308444239849728826125t^{14} - 49109257313904341788619011t^{13} + 7877744342619241777294757t^{12} + 1171438228053159091315264t^{11} + 46783327641607228619265t^{10} - 1106028525579368326089t^{9} - 109951850919361665284t^{8} + 1114579480591419183t^{7} + 386814080797024519t^{6} + 24839203137198258t^{5} + 360836949364237t^{4} - 7001533793415t^{3} - 185492541176t^{2} - 4559608480t + 53379072 \right)D^{7} + \left( 1716628544896405396333291980512889592043496t^{41} + 3226348971807752662044911260114227666317118t^{40} + 2040421058830581489459206209424200582204506t^{39} - 287846292022733323466352063052633411526079t^{38} - 1115206008634476894842500732419631222548603t^{37} - 399660096416340312131519122149521928180903t^{36} + 328019646806575113080413242480919147770249t^{35} + 430408727094944179436584581468525443456082t^{34} + 228683092208689182939437860259138738319230t^{33} + 63623944797867366673820697177652601917539t^{32} + 2705992086839092788492180551821741968616t^{31} - 5533589745172505613181508783362715529707t^{30} - 2439707692963534914097810596195663668870t^{29} - 492909124839375695113493318356927299607t^{28} - 29098766741655379930620083242636383143t^{27} + 11757011975982781655546435545210951199t^{26} + 4185975484851084253759369898697306794t^{25} + 747903915666043645789344460632713306t^{24} + 67360155439023248762490607316730024t^{23} - 7677669042675828765363301219527976t^{22} - 5068502778414590030333785764349792t^{21} - 1301566790671177308429297501849222t^{20} - 208904470702734120921329999489623t^{19} - 19322310148904959665813787805638t^{18} - 301247265569522148269707245389t^{17} + 233004710025089393268423794753t^{16} + 56634774556233074546947508451t^{15} + 7627774114257255764035687381t^{14} + 387782773137467764732287619t^{13} - 32956260544126996471120747t^{12} - 5899875275730522239408462t^{11} - 241807705330901527901735t^{10} + 5816018657594685185755t^{9} + 574096785291662430356t^{8} - 2174906835479747809t^{7} - 1351833533627164635t^{6} - 88487075198658152t^{5} - 1393394431707557t^{4} + 14524663634095t^{3} + 394979560168t^{2} + 11397072928t - 115654656 \right)D^{6} + \left( 11825663309286348285851566976866572745188528t^{41} + 20747315360644965967421863699245240410453022t^{40} + 11730123155287433550948330682380853923771114t^{39} - 3405124790726143283714682612140071584638511t^{38} - 7683912931391773953933721617151846447022433t^{37} - 2189553649394996012616153865377194065149981t^{36} + 2581830556529531695553829664840012584723927t^{35} + 3001595161783405643831744324147673044851230t^{34} + 1528893493218211411882598001034298914196158t^{33} + 406809693331103866113181546182446604880023t^{32} + 7561155763998664360239782563957191678634t^{31} - 40695869610109940198163058686018480383145t^{30} - 17374760278245902681479385319335496223516t^{29} - 3690531628970464561196554333073560225099t^{28} - 366723449512656051399409909918638908847t^{27} + 20700737487972831141356745041494837619t^{26} + 14388150199175310340832474507297788214t^{25} + 2565082437259525807831887127346432250t^{24} + 107742460757621599830525836016679276t^{23} - 53221305858446443808351151330234948t^{22} - 9864670271179169237495497437604928t^{21} + 772092597570458119485846212988616t^{20} + 547865583223180384592946815020439t^{19} + 90368026542582165383887902498244t^{18} + 6146131632123308468944106785923t^{17} - 256222622398520536228135276277t^{16} - 141193664925354188184154122465t^{15} - 21870204259882594808072140973t^{14} - 1392230323905738599129253591t^{13} + 45021041994797271327359155t^{12} + 12969095665834884808370428t^{11} + 611617192250206863831093t^{10} - 7635262597602408294817t^{9} - 1135270345380465973262t^{8} + 1933921273549051709t^{7} + 2065376467667541537t^{6} + 127242592503048894t^{5} + 2153973783246053t^{4} - 6250892067895t^{3} - 349638033942t^{2} - 11469739360t + 106758144 \right)D^{5} + \left( 48542440519570574818535867671170044575007748t^{41} + 80265461828740580502380430067176640857559752t^{40} + 40511026348849024466600013468682422856633488t^{39} - 18616344296335172023892431835458943563310496t^{38} - 31389191102290373714859265452036623997663495t^{37} - 6943507885568395034491991707528472571076833t^{36} + 11724832858725235136317599308955475340793261t^{35} + 12411800687241735903940522997361718531931817t^{34} + 6049368003108928642872623455597934667928073t^{33} + 1497216481200980199826991342818624725508905t^{32} - 47167259480943078542844988030491957914762t^{31} - 191909279319604406048171184805915493361361t^{30} - 77242985333365407840240348610631607777527t^{29} - 16535945362108662420008832554398257360016t^{28} - 1889275460041038878011827613138255282249t^{27} + 5749878610245131010300395618232278264t^{26} + 57346480090070996418833043284652503197t^{25} + 14806769958062955590413325658314163603t^{24} + 1855320307400597799036276696898129343t^{23} + 14058718781192369809769454024545269t^{22} - 35144146945448498840369862949134543t^{21} - 6045229667310422128111611659874877t^{20} - 498618497992864632000344304388524t^{19} - 15984321695371053909326634102126t^{18} + 1120235263807928922715690475471t^{17} + 164433013490738340836355796226t^{16} + 56434421296522625964773624682t^{15} + 13624852664466299286477026701t^{14} + 1233147254261324028388491803t^{13} - 3176111147001471899542083t^{12} - 8245901454007224349241107t^{11} - 445474499055890824492520t^{10} + 4027595356314810590727t^{9} + 803575554166253747336t^{8} - 1927747212710880167t^{7} - 1291561328719676529t^{6} - 68403519353968866t^{5} - 1209415417269685t^{4} - 6058253916457t^{3} + 104012961149t^{2} + 4041208576t - 35586048 \right)D^{4} + 2 t \left( 60558840333845412592868911534760271719312220t^{40} + 95265945074901116515149858716209702730560968t^{39} + 43005432383109069488615714272303012030618146t^{38} - 27719232423432464179897372167015094776441000t^{37} - 38778238588984992305401990429174395540783096t^{36} - 6406281921679908317506466411344469392878294t^{35} + 15812016211611895125511942012327906846265103t^{34} + 15533571867132022501848229465615073985789573t^{33} + 7245169968449356015742482630797994037825432t^{32} + 1634449732551581129506274166578747067985956t^{31} - 168505517045060455956858988649571544447192t^{30} - 273890713990287971954655960036325504296308t^{29} - 103490416075755893626639345859458639925483t^{28} - 21652457689126329718607392942367509005074t^{27} - 2487356876031292442546071380223013643416t^{26} + 3104524366171354366072447384407431758t^{25} + 79442258420456142877520839267351374771t^{24} + 20950412736966974508061646449252716535t^{23} + 2607696403092686464970254438220217112t^{22} + 38291631542052626546140469270084927t^{21} - 35134200632141378980567866255655458t^{20} - 4180138899101646501652029827345639t^{19} + 14934008420781391186587765415196t^{18} + 38546986358354821807933259373609t^{17} + 2030014693522667806612163666212t^{16} - 254958132903652802424847959100t^{15} - 46732303460759075783809586988t^{14} - 3277265340111349724321977891t^{13} - 79894092204930919757750711t^{12} + 7331199047662659630249336t^{11} + 896205923708727945136602t^{10} + 43047508894938011601201t^{9} + 528337683041277044397t^{8} - 26202393414833492107t^{7} - 843874142243552502t^{6} - 14885980759861476t^{5} + 356315656016612t^{4} + 31462830862067t^{3} + 419926771859t^{2} + 604259263t + 984640 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 44655048894090884291389576836992707297787556t^{39} + 67428602804227529740022864389960740694557288t^{38} + 27380319636231360786935894179067336688977286t^{37} - 22970293873246107666695483824158495151206354t^{36} - 28242110647486437040534994278226529253888572t^{35} - 3298057898743432618493905614113733928673448t^{34} + 12376796538047555709768992360972235432336027t^{33} + 11462603859355104531826479924537370325482323t^{32} + 5131429052922196842835932620950283112836517t^{31} + 1041262619886729173351053039025136926836033t^{30} - 201993313631082479157403372672449201605116t^{29} - 225677473340290201461640422424009616605352t^{28} - 80645976171738399619264579735421628524420t^{27} - 16352233079082689684426331854546088167531t^{26} - 1826556916280400187901593345772002961226t^{25} + 19427433539710304386672856136233116403t^{24} + 66525342261499080399804630665165192879t^{23} + 17305595230668575986241469034108273431t^{22} + 2142403836066903119882786030917575097t^{21} + 41708849495973104567104179491782149t^{20} - 25400300217745247780490966344096450t^{19} - 3205688531033632955220598776398923t^{18} - 53533620084403039299272587928101t^{17} + 18311090555028298862551522634193t^{16} + 948135115066309267441811088911t^{15} - 154186498791502932356142616378t^{14} - 27860233350894249135053703160t^{13} - 2036938785022573846717933992t^{12} - 51086466629191437462101522t^{11} + 4943450286658733375442980t^{10} + 519249508261036016595532t^{9} + 17631569143639522779509t^{8} - 49624540636243795883t^{7} - 13218356577535880236t^{6} - 80406021597031651t^{5} + 275112190912641t^{4} + 298375126915752t^{3} + 16536778044896t^{2} + 139401666176t + 71172096 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 17697622855717703252674176846716218889400804t^{38} + 25861880049377612455385074601357655422749356t^{37} + 9536609586722288698198420493509704271041072t^{36} - 9856629200193293691693256776755238286932888t^{35} - 11051022341938777667446125653470378072214811t^{34} - 841848958244103758483997105747469272112443t^{33} + 5131866933582477839670718922464203787873005t^{32} + 4541676653781980403151329298188744148105281t^{31} + 1961240774822809515061179785356454001540912t^{30} + 355638332207148675847800292642060536389062t^{29} - 107396176303682380406499402230796932735898t^{28} - 97596623763499538880367575820550928972057t^{27} - 33300675290791831967256194160091042006406t^{26} - 6537090518896136810050290902015073184059t^{25} - 701711050696329098123046492336732756409t^{24} + 16864671428390360588554996037420383585t^{23} + 29312308794600537903575743803160747739t^{22} + 7415275869261619221135865297753275881t^{21} + 892496156616490292805268514742770566t^{20} + 14437964592796887385146972180758669t^{19} - 10917227046719253581154942772870847t^{18} - 1393344490827098274043578940470983t^{17} - 36933358453038932029145259129905t^{16} + 6235964135347581790539521111844t^{15} + 431384001263552734458734664048t^{14} - 44393348559609984370704572436t^{13} - 9656660921402946387772328204t^{12} - 741691657919193691912716662t^{11} - 18466955359731491384187812t^{10} + 1763752665216963477455793t^{9} + 161596567953548704704773t^{8} + 3826716182012906979528t^{7} - 71633921716450165699t^{6} - 3109892523981995211t^{5} + 46798622236192508t^{4} + 1585152796103422t^{3} + 117098477857516t^{2} + 4467264445078t + 24639671808 \right)D + 96 t ^{3} \left( 476841262471223721203692216809135997789860t^{38} + 679529901107619528537574967999655753949140t^{37} + 230712243091526297068397097134121092646180t^{36} - 280363093445950531070041116418754156131836t^{35} - 294390544091774444211809260308071779992117t^{34} - 12912424272857886373113045949771978123557t^{33} + 142934287020255342501890325930580816252293t^{32} + 122313390087719617295264629471240141725801t^{31} + 51286901142500321097454431841432220368485t^{30} + 8335074012926910094618316150409733156087t^{29} - 3499061955998167286757757151576383365735t^{28} - 2807914431761320246825743407013072911292t^{27} - 924294186335353395546085503253398736483t^{26} - 176317035960403774596861467017312122642t^{25} - 18196051755008952949799399997541321093t^{24} + 684047809075450032561238009608857592t^{23} + 854781752346367091021180203508624882t^{22} + 210652439212510986011481047228478841t^{21} + 24534642479502612482030359262278050t^{20} + 244655048600277907254809729798050t^{19} - 326994462672661618411233663336640t^{18} - 40956682537683162181622237159986t^{17} - 1170741774498959619431758559578t^{16} + 182857648816439808635571931701t^{15} + 15549030977532076178217442254t^{14} - 857380987831369269489309849t^{13} - 247085938022048174309876514t^{12} - 19442138393732136704681118t^{11} - 452226768913836109773120t^{10} + 44624537849235585416136t^{9} + 3514283679808108035150t^{8} + 52888467754184235027t^{7} - 2185891700413076745t^{6} - 41116993543861998t^{5} + 2110768867209303t^{4} + 56165976135039t^{3} + 3064529085840t^{2} + 84675845712t + 300257280 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4

|λ| = 7.277424 λ ≈ 7.277424; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0 - 5.196152i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0 + 5.196152i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.722842 - 0.9078941i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.722842 + 0.9078941i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.08413027 - 4.687056i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.08413027 + 4.687056i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.234552 - 1.940705i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -3.234552 + 1.940705i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 2.799605; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -1.3305; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2 2 2 2
Sector dimension
16
Spectral radius
$7.27742398$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$7.277424$11
$0 - 5.196152\mathrm{i}$11
$0 + 5.196152\mathrm{i}$11
$-4.722842 - 0.9078941\mathrm{i}$11
$-4.722842 + 0.9078941\mathrm{i}$11
$0.08413027 - 4.687056\mathrm{i}$11
$0.08413027 + 4.687056\mathrm{i}$11
$-3.234552 - 1.940705\mathrm{i}$21, 1
$-3.234552 + 1.940705\mathrm{i}$21, 1
$2.799605$21, 1
$-1.3305$21, 1
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda^{2} + 27\right) \left(\lambda^{4} + 5 \lambda^{3} + \lambda^{2} - 45 \lambda - 53\right)^{2} \left(\lambda^{5} + 2 \lambda^{4} - 24 \lambda^{3} - 113 \lambda^{2} - 974 \lambda - 3699\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda^{2} + 27\right) \left(\lambda^{4} + 5 \lambda^{3} + \lambda^{2} - 45 \lambda - 53\right) \left(\lambda^{5} + 2 \lambda^{4} - 24 \lambda^{3} - 113 \lambda^{2} - 974 \lambda - 3699\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & -2 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 4 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$