Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 5-208-48-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ1P1 × Fl(1, 2, 5)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w6) + E^(2w4) + E^(w1 + w2 + w3)
Bundle
wedge^2 Q_3,1^v ot U_3,2^v ot U_3,3^v + O_3(0,2) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1,0)
ZL62 label
1142.59x4000
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;2,4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;1,3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 48
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 208
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 208
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 148
$\mathrm{c}_2^2$ = 100
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 24
Hodge diamond
1
00
0 5 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 5 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 2 0 x0 + 2 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 32 0 0 x1 32
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 53 0 0 x1 - x2 + 5 0 48
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 43t + 120t^{2} + 43t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(457)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(513)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t - 1 \right) \left( 6t - 1 \right) \left( 6t + 1 \right) \left( 7t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 356t^{3} + 64t^{2} + 5t - 1 \right) \left( 2136677001976778097917952t^{23} + 9256141786737516832530432t^{22} + 18383352312389663106173952t^{21} + 22034429391071470364451840t^{20} + 17695052829833739491017728t^{19} + 9985498603941041252705280t^{18} + 4013475140109224242210688t^{17} + 1116151946433421131591552t^{16} + 184037188956864874338496t^{15} + 41193911024518532192t^{14} - 10081910324320637761492t^{13} - 3329911637498525499740t^{12} - 638874127004407405344t^{11} - 81551103978565757932t^{10} - 6850444603218752253t^{9} - 329883066342110194t^{8} - 2279802737906852t^{7} + 872057899931828t^{6} + 67813235524162t^{5} + 2811169496634t^{4} + 70710335989t^{3} + 696182528t^{2} + 2603662t - 17264 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 82808165030979189623219413843968t^{32} + 403223533228640990241422704115712t^{31} + 898649459953097865195029246115840t^{30} + 1200975046332292645756064452509696t^{29} + 1055600057151525821906349150437376t^{28} + 621313835226662211322897539956736t^{27} + 226468892260111825223874866307072t^{26} + 26601286547410143416117575962624t^{25} - 23564555768698278847487101931520t^{24} - 17587781818221474058036351565824t^{23} - 6470124509054638003592712583680t^{22} - 1411713925907589238593142274816t^{21} - 117246963482045485189199897088t^{20} + 39010116829339664051678257536t^{19} + 18860805279006853919563082016t^{18} + 4335322906452671516627572912t^{17} + 642973336511462855624607344t^{16} + 60658377605984923880837736t^{15} + 2254811874008801750081568t^{14} - 375173017960500053015124t^{13} - 96838292616717246439480t^{12} - 13596405350060084005313t^{11} - 1375744180070958049258t^{10} - 96479336413639446333t^{9} - 3771505786656780764t^{8} + 19627619456860024t^{7} + 12011770894552586t^{6} + 761612647705489t^{5} + 27633860507304t^{4} + 625783197103t^{3} + 5499542412t^{2} + 18691762t - 103584 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) \left( 7535543017819106255712966659801088t^{34} + 42216592171562856025410941050945536t^{33} + 109984854122670502790853936049815552t^{32} + 175909721082405828565773206488743936t^{31} + 191981136406660352896155027427491840t^{30} + 149943793311184119514233538815590400t^{29} + 84904534760026394309330727197835264t^{28} + 33869258328539011703184997295972352t^{27} + 8222083381422477178903863410970624t^{26} + 131674609928135278695204942753792t^{25} - 879683322998071829203346389876736t^{24} - 429896670008224654433522771675648t^{23} - 113527530231932647224427890096896t^{22} - 14936304109387266964765822945792t^{21} + 1360390542960042321060482843264t^{20} + 1261828857836527932889457871392t^{19} + 357896208597762051269951753264t^{18} + 65246423377412119799677830864t^{17} + 8461468906180123225123427840t^{16} + 801711678646000323218001336t^{15} + 59079156433025873843475708t^{14} + 4670815151928845148152478t^{13} + 588199993298299917329343t^{12} + 81320663814663348188181t^{11} + 8546425399572920805091t^{10} + 611098705892930204887t^{9} + 26308022148544016330t^{8} + 334708499038073932t^{7} - 33867631561129179t^{6} - 2467588210134141t^{5} - 86683671210083t^{4} - 1841293080263t^{3} - 14551763834t^{2} - 45245306t + 224432 \right)D^{6} + \left( 125205945526840534710307753732079616t^{35} + 753511622276599492190596460326158336t^{34} + 2121864185898510930849319579430682624t^{33} + 3699686505828641202914437100164349952t^{32} + 4455365221749795357048185758774984704t^{31} + 3910773509310416559260233240327421952t^{30} + 2567195799155004691422806534700466176t^{29} + 1264659264833397811690227123501613056t^{28} + 454631832210528437527510390047571968t^{27} + 106380838747236077323270686906544128t^{26} + 7049755694188641823507213304889344t^{25} - 6263434039359961814502529317372928t^{24} - 3168566798651307952411425150083072t^{23} - 795840465254143419059084792637184t^{22} - 95461502606034097371755266450176t^{21} + 10333202696580641849732916255424t^{20} + 8020443595047786906083954458624t^{19} + 2130853864439220839195071942928t^{18} + 369580670425635663614730933048t^{17} + 45874833796479766922926610064t^{16} + 4050642021784392574378025672t^{15} + 221123672946235440262229488t^{14} - 287140285248006575924650t^{13} - 1760574686239454585621923t^{12} - 254354992241941318579373t^{11} - 23609579381148344483841t^{10} - 1544468271066430629907t^{9} - 66196612238776424298t^{8} - 1340081808745529610t^{7} + 28181716897606881t^{6} + 2963163351152389t^{5} + 104384526363727t^{4} + 2151409881401t^{3} + 15491937718t^{2} + 45259582t - 207168 \right)D^{5} + \left( 619653498926817275950550873794412544t^{35} + 3685995427036333610743580622650867712t^{34} + 10268754878155849246897543736555470848t^{33} + 17733669976181333898904651449346031616t^{32} + 21189655193979880410143897996255821824t^{31} + 18509703518318545945755193095549812736t^{30} + 12154238392242377547223501849753485312t^{29} + 6046931052939893385882182781252550656t^{28} + 2241330155293116352961211031892901888t^{27} + 575325004023712306478717600692039680t^{26} + 71907811211501200047393333179279360t^{25} - 15138213612868178896524790459567104t^{24} - 11336878259672259013782120484220928t^{23} - 3335049573757728502652076667600640t^{22} - 555948334757799568647121191502336t^{21} - 26556760592946229468960190626368t^{20} + 13811886167950328368238778822720t^{19} + 4768160358491465779818679838832t^{18} + 873855174794196711628333233180t^{17} + 107606714502857050017412686724t^{16} + 9063042285108731512920499512t^{15} + 466148221790384955770207260t^{14} + 5563836360999103612048723t^{13} - 1135842520619929931114947t^{12} - 71289739185427224975665t^{11} + 2171267471836244975439t^{10} + 572922961095197270174t^{9} + 38301963007001683654t^{8} + 1165789323965555111t^{7} + 1511894119034281t^{6} - 1095858305201163t^{5} - 40774090554561t^{4} - 848214854472t^{3} - 5812339074t^{2} - 16014064t + 69056 \right)D^{4} + 2 t \left( 928610762657400632434782506846257152t^{34} + 5471101126824684266128128297170632704t^{33} + 15103226045719445280040762842500038656t^{32} + 25858336363107760420571662195826884608t^{31} + 30656358268876732984927595566901821440t^{30} + 26606079721415744449715586709138046976t^{29} + 17398168452779145420159820894574592000t^{28} + 8655191764228783765484266666911645696t^{27} + 3233294674960563435352070630241374208t^{26} + 853070541920727710690895093953691648t^{25} + 121086703653073862135247082847595520t^{24} - 14688556189405124453434286125331456t^{23} - 14682007179001254094671273459766528t^{22} - 4764771448637052723533101616415232t^{21} - 943024957674968167592250441524160t^{20} - 106626454479895905185777583378624t^{19} + 264948733155118656003639367344t^{18} + 2823802470836560610917604239888t^{17} + 634347959838858925752045623364t^{16} + 82784147097181886534526530348t^{15} + 7001361495952497207046320520t^{14} + 335471419675703287751392108t^{13} - 1616318150766679498243001t^{12} - 1819407974408091585563117t^{11} - 175343225579645247503378t^{10} - 10293220382311213214517t^{9} - 426272424728832002798t^{8} - 13053090380787637077t^{7} - 318123128815889950t^{6} - 6680319213470925t^{5} - 104629692918429t^{4} - 1173097089088t^{3} - 5324056784t^{2} - 4523860t - 9628 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 815135973843282149587764170075406336t^{33} + 4765754394583977962182495333892751360t^{32} + 13057515120190820861526791247255306240t^{31} + 22191064913437121408130463276559499264t^{30} + 26120652411219881781094290046629052416t^{29} + 22518176399670773083080009828599267328t^{28} + 14638978251967420097276118645663793152t^{27} + 7250219615563664320045155140913217536t^{26} + 2702807370455425165027968323899600896t^{25} + 714870237900580869765783683575099392t^{24} + 103290801434258052344844198146436096t^{23} - 11471937347712949065372476497829888t^{22} - 12279746019558753776884920372729856t^{21} - 4149784157446131928820241550915328t^{20} - 888276202301355940871842053195904t^{19} - 125279405004497947027876746961344t^{18} - 9158456492816732902532668276048t^{17} + 524222967912525551402767416016t^{16} + 255992805587882724766560549384t^{15} + 38336846719747187901727810504t^{14} + 3352604870287764710852105000t^{13} + 154854500585576617373874308t^{12} - 2137971076941309363692886t^{11} - 1012326647719208080232562t^{10} - 93399429756984113011021t^{9} - 5390983844368776008292t^{8} - 220751665357847951403t^{7} - 6611739559908112779t^{6} - 151657174154576582t^{5} - 2755752223274561t^{4} - 36464045838730t^{3} - 405859882418t^{2} - 1919036992t - 690560 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 189051040765725489909809921805778944t^{32} + 1098778307510052464131796925977985024t^{31} + 2992771150289857842092991237734793216t^{30} + 5055848561810487608463385349785387008t^{29} + 5915302774986700326229381221151113216t^{28} + 5068846948792308370970418879676416000t^{27} + 3275785245714646976839150705302921216t^{26} + 1613046760608931771206830042281402368t^{25} + 597818988306246418123760617722015744t^{24} + 156962337330601772475193458780831744t^{23} + 22217273110716640239963432493854720t^{22} - 2794806785238755427760507031132160t^{21} - 2823663136458366863454902094342272t^{20} - 963156137030323601371883386724608t^{19} - 213224962923995155522414049433376t^{18} - 32746142444754076701908558479840t^{17} - 3224952295598718487415911389536t^{16} - 107823591694529851787172090904t^{15} + 24331333772113254249699987804t^{14} + 4969095849150929444918477892t^{13} + 470930086691852279226100868t^{12} + 22197430290260263007595790t^{11} - 347188710360447671035210t^{10} - 151244656121981789319852t^{9} - 13800470350054576143357t^{8} - 787570934694580832646t^{7} - 31699082059052096703t^{6} - 921244776529511179t^{5} - 20014379602928288t^{4} - 321941982864387t^{3} - 3536093774076t^{2} - 32415999474t - 150592728 \right)D + 192 t ^{3} \left( 5796571552168543273625358969077760t^{32} + 33547782242692121667687046392053760t^{31} + 90984146098625505739302611579043840t^{30} + 153025930069150296621919547491614720t^{29} + 178220046768770766720990127496527872t^{28} + 151994294637538035138046986466787328t^{27} + 97744171932164398978149968288636928t^{26} + 47877553365859733138078857224486912t^{25} + 17634385597255752701377863141470208t^{24} + 4585953787893834921407237465124864t^{23} + 629142254670437587582626229748736t^{22} - 92938509968924657684773247628288t^{21} - 86885642726153248809188237284224t^{20} - 29565703763586774322954240930944t^{19} - 6636372390326961576322796838816t^{18} - 1057957240585012802496946543808t^{17} - 115590693627088598774601312448t^{16} - 6851575007835889733134469032t^{15} + 202340034376746032850422348t^{14} + 92049396229423155397253164t^{13} + 9853933454898123296346494t^{12} + 493592643052273510047588t^{11} - 5944216089910802562534t^{10} - 3194019151711291612138t^{9} - 295053017140357036973t^{8} - 16785664764376543702t^{7} - 665235338640259683t^{6} - 18800368904345235t^{5} - 393194130239772t^{4} - 5911805409735t^{3} - 59028620950t^{2} - 389705750t - 1631448 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ1P1 × Fl(1, 2, 5)

|λ| = 12.44287 λ ≈ 12.44287; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 6; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.721437 - 3.84209i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.721437 + 3.84209i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -2; multiplicity 5; Jordan blocks 1, 1, 1, 1, 1 λ ≈ 2; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 2 2 5 2
Sector dimension
16
Spectral radius
$12.4428745$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$12.44287$11
$-7$11
$-6$21, 1
$6$11
$-3.721437 - 3.84209\mathrm{i}$11
$-3.721437 + 3.84209\mathrm{i}$11
$-3$21, 1
$-2$51, 1, 1, 1, 1
$2$21, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{5} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda + 6\right)^{2} \left(\lambda + 7\right) \left(\lambda - 2\right)^{2} \left(\lambda - 6\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} - 64 \lambda - 356\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 6\right) \left(\lambda + 7\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda - 6\right) \left(\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} - 64 \lambda - 356\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 4 & 8 & 4 & 6 & 12 & 6 & 12 & 12 & 0 & 16 & 16 & 0 & 16 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 2 & 6 & 4 & 2 & 4 & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 6 & 4 & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & 4 & 2 & 8 & 8 & 6 & 12 & 6 & 12 & 16 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 & -2 & -2 & -4 & -6 & -6 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 4 & 8 & 8 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & 4 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & -4 & -2 & -2 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 1 & 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$