Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-230-52-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 7) × ℙ2P2
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w1 + w7) + E^(w2 + w8) + E^(w6) + E^(2w2)
Bundle
O_1(1,0) box O_2(1) + O_1(0,1) box Q_2 + wedge^4 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v + O_1(0,2)
ZL62 label
20602.7Bw8w1
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,6;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,5;2) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 52
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 230
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -4

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 230
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 152
$\mathrm{c}_2^2$ = 104
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 48
$\mathrm{c}_4$ = 18
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 4 0 x0 + 4 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 50 0 0 x1 50
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 63 0 0 x1 - x2 + 11 0 52
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 47t + 134t^{2} + 47t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(225)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(302)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) ^{2} \left( 5t^{2} + 2t + 1 \right) \left( 736t^{4} + 128t^{3} + 57t^{2} + 10t + 1 \right) \left( 800t^{4} + 592t^{3} + 59t^{2} - 2t - 1 \right) \left( 348471861391910067554274508800000t^{35} + 2351087442363199387930491617280000t^{34} + 7393857370418569062169997423411200t^{33} + 14378947575867801649962605456916480t^{32} + 18508736205490768682526919426375680t^{31} + 15611303816920019570975210215669760t^{30} + 7585363498921192111161942031642624t^{29} + 370003053175320694806398702268416t^{28} - 2693693434914307443014444353984512t^{27} - 2548515755607434096919510210700288t^{26} - 1425332690613941673245647580529216t^{25} - 568586314918830958527376695973088t^{24} - 167593617104549545364180337728184t^{23} - 34712937492950154927955974991448t^{22} - 3642354312720346909363912888631t^{21} + 588965204243781743693422743189t^{20} + 403413004261814366751674855198t^{19} + 115318682574246407399338367639t^{18} + 23410499892735315269036556210t^{17} + 3815996499347614542173822361t^{16} + 525885740442848977194770696t^{15} + 61927359421138894675602931t^{14} + 6123071489837626104770856t^{13} + 487532471515232925451083t^{12} + 28373802645258799278384t^{11} + 848012111269126997249t^{10} - 31374646337345827170t^{9} - 4928504324951567381t^{8} - 241664039326901880t^{7} - 7667428878186991t^{6} - 362589613336105t^{5} - 12905017558420t^{4} - 232058976102t^{3} - 5418616516t^{2} - 21651096t + 388240 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) \left( 30777034798133497166393524617216000000000t^{46} + 266412444347334450804662105498714112000000t^{45} + 1095487774558655544942244167328936755200000t^{44} + 2846885142853538051178342882901787410432000t^{43} + 5164437101249195780217700291508247828889600t^{42} + 6797916916701269032942813400638836095057920t^{41} + 6525067989177094083454064716383579159920640t^{40} + 4389685597191850689417220211987817509683200t^{39} + 1689815960051589439346420254005324528615424t^{38} - 246076608471939528193598803028890097123328t^{37} - 995552893127954857966525055193942492135424t^{36} - 925591835869291747329652757799032499724288t^{35} - 577822984854656230594483330052109334597632t^{34} - 277010353832134307447864049884454096489472t^{33} - 106052979111895479582741932517200754597376t^{32} - 32492164147030419002228528922191430218976t^{31} - 7672581497016230091025723097350514019216t^{30} - 1197592596497859373948311290160230967088t^{29} - 10633716386952133204381193124726751428t^{28} + 71023519975862664739602283186721013538t^{27} + 30073236160656563724684414152991736398t^{26} + 8353445477609161259279836647114503623t^{25} + 1836563829994773736678394069909635500t^{24} + 343160797886676700519743186681561766t^{23} + 57190325909403941888498837031865474t^{22} + 8835277617114864991607743661634671t^{21} + 1292122564087400838777407847129736t^{20} + 178430230452552956628762253499602t^{19} + 22909238824967164209258145665436t^{18} + 2702691778652617715436528656406t^{17} + 291950415026016678874982678968t^{16} + 28777598358633349361319372372t^{15} + 2551214482883998271714892372t^{14} + 196762332624306971652645638t^{13} + 12357953353621618470031884t^{12} + 539170799903360477970782t^{11} + 6491091881088976503814t^{10} - 1151357563028656528069t^{9} - 97209557361804263620t^{8} - 3877151632288033770t^{7} - 117599362833190374t^{6} - 4685089432260709t^{5} - 136732239768528t^{4} - 2212255145858t^{3} - 43734715728t^{2} - 153498872t + 2329440 \right)D^{7} + \left( 387790638456482064296558410176921600000000t^{47} + 3615610187272710122259563813472829440000000t^{46} + 15994398986510972289884627789752041472000000t^{45} + 44653600800083872361138057113549880164352000t^{44} + 87120508143309662221219709120241034959257600t^{43} + 123715653091134579644570111676777235186974720t^{42} + 128759773286813150630331116372067778130083840t^{41} + 94973004533398278717237997703495969223475200t^{40} + 42163678738224990625786740774477676606652416t^{39} - 1353514999598634023500467548972482644312064t^{38} - 21468731438308144367913376866531398253436928t^{37} - 22229820068856544587927067680974045225025536t^{36} - 14840772930272548231885798383973392926121984t^{35} - 7505143502870655605265202738020935280513024t^{34} - 3007977451099147584739348606311808704343424t^{33} - 958760029443997254217641645964199899811936t^{32} - 233314000758457049423317870220719991883936t^{31} - 36275332578267593713250202505775847136688t^{30} + 716381103400457153835203593361727734526t^{29} + 2897214156411279263734227542310051063752t^{28} + 1230923604094458605738434180298491300404t^{27} + 354720580308413527551632676902064709921t^{26} + 81315530265232059608475108794123862893t^{25} + 15663864753127908022057128675894751824t^{24} + 2594747493993561665532198295018032672t^{23} + 369785040669004041278054830274621797t^{22} + 44001762237103959103639923976810207t^{21} + 3975542378215206556586865648004190t^{20} + 175966407408482945230074270956618t^{19} - 23183625333239913456814665413142t^{18} - 7424751674121419169474683576694t^{17} - 1206708703300334483005971284648t^{16} - 147193385906142875640330912664t^{15} - 14504681598710746377870935950t^{14} - 1167796453924645983019405004t^{13} - 75160010219834114502057348t^{12} - 3571621652546623082276800t^{11} - 90747865117404270079075t^{10} + 2275077993478487445785t^{9} + 319829150383059640728t^{8} + 12376761979491518632t^{7} + 276920098577765337t^{6} + 11527320494427695t^{5} + 386128315261390t^{4} + 5836941778098t^{3} + 118564214616t^{2} + 387597104t - 5047120 \right)D^{6} + \left( 2671446620477987554042957936774348800000000t^{47} + 24185701049089794437113938759213121536000000t^{46} + 103862945342834676209565523006595897753600000t^{45} + 281270244771217992479770138433716750385152000t^{44} + 530047152415857439315555368473066431158681600t^{43} + 720496707488395263548714218104748509149265920t^{42} + 705496523394120365533750265779492579337830400t^{41} + 469851795880338094920731010669898494068654080t^{40} + 155969207782650255804485690318399076143857664t^{39} - 71644636701037056858046965462518888921923584t^{38} - 153461032917983112498665648280844854713057280t^{37} - 133085798143607339286438969744994982453108736t^{36} - 80328519902362718168969566315317906252722176t^{35} - 37280565480910550657741155089035210566656000t^{34} - 13643528556860928336141950729383227483618304t^{33} - 3868344821594681352233011631808500054760608t^{32} - 769171970775497372789269722504073528559632t^{31} - 55129576479776708878223782076919837299232t^{30} + 33170248991121361241975441237141499603040t^{29} + 18898224470856901935492447018322017074550t^{28} + 6159653299115875695848616588341903632800t^{27} + 1530087917508991664164704591912607565691t^{26} + 314403618166980054566305444317985379289t^{25} + 55764274963486577934051862793159612982t^{24} + 8785405422765944972147825516740409848t^{23} + 1253789466053394416033845586756583483t^{22} + 164223450457348891154657602459459457t^{21} + 19956472690173030288602834740405174t^{20} + 2274643152191057363760909542389450t^{19} + 245799040507031111221253980012254t^{18} + 25528645466720698465279802344538t^{17} + 2594829744896671992205793824052t^{16} + 258765851752829764702706176216t^{15} + 24370893165915956478630625870t^{14} + 2028674047048231799957134410t^{13} + 139236750374007444096480346t^{12} + 7218852145042020108749084t^{11} + 223871963327428331343199t^{10} - 1515498963082398079355t^{9} - 521055874216620404954t^{8} - 20670388658150902544t^{7} - 295060206557192777t^{6} - 9622106993266571t^{5} - 412835843506230t^{4} - 6410975348534t^{3} - 137834276824t^{2} - 383287640t + 4658880 \right)D^{5} + \left( 10965857498574965040386012821114060800000000t^{47} + 96905348046639123810628958559940902912000000t^{46} + 406079239753634161256682289647624336179200000t^{45} + 1072299166150634070825105304001476472864768000t^{44} + 1962482991163978070716565094698225448150630400t^{43} + 2568811351837183010716968030834722812807086080t^{42} + 2381555374541868257315671879402567058671534080t^{41} + 1435364664140175983400384781092793707968593920t^{40} + 313002331575475011755871844744160504285036544t^{39} - 414215969204895767500569389173344101356470272t^{38} - 606731310435294635332475550298577642196611072t^{37} - 472487857404117624169525137772127709365276672t^{36} - 265124039986293087957858259456513994905421824t^{35} - 114922479886691290065599699496590800587474944t^{34} - 38845416615053189727262684524441474432151488t^{33} - 9783721151519357624964526789887816410070272t^{32} - 1468720767937585510727330019656900118798008t^{31} + 110382162031293507659467004195884314386216t^{30} + 167550859238352704701019638421249535177879t^{29} + 69014607305195034878061100490352272424785t^{28} + 19936645429327874699614871815023408796926t^{27} + 4643918539211080744739432916174703511362t^{26} + 924281119777161403846949772056386914239t^{25} + 162163773861732918830886746106307452399t^{24} + 25370603154519436799235503259740739528t^{23} + 3511833646777901098934050587745805152t^{22} + 419056457921108658057327562222880070t^{21} + 41033956139404235779339790222548208t^{20} + 2941308419616204126019536971837092t^{19} + 87100604227542527893789655120336t^{18} - 14133681798647182718504867407634t^{17} - 3062853069356037057314854976650t^{16} - 361223349069306852938224820672t^{15} - 32037136448242511471384894896t^{14} - 2334119104769397898658249509t^{13} - 144800551816967865295277431t^{12} - 7533263610272717551226450t^{11} - 293082250695573467038806t^{10} - 5295147108367680756501t^{9} + 155293031639431421691t^{8} + 9284586313908147072t^{7} + 37729123316688888t^{6} - 483236102883864t^{5} + 101988470731286t^{4} + 2123206744544t^{3} + 54292429940t^{2} + 131265416t - 1552960 \right)D^{4} + 4 t \left( 6840195983885169745230960846176256000000000t^{46} + 59281013231480266403409258269305208832000000t^{45} + 243541155934648990655845519633268552499200000t^{44} + 630036616575818240501132553581981599793152000t^{43} + 1125476219672168605621951369317629199751577600t^{42} + 1426710625326384040453204210561963366515998720t^{41} + 1260372219724057170116276351197961854160732160t^{40} + 689439344372220752981386972930667328427786240t^{39} + 69816624407999756564911335455073040606756864t^{38} - 293160568709401523581726733163429390725136384t^{37} - 356753677472985540449571878831481923964227584t^{36} - 257833224101825343396842419895941792279724032t^{35} - 136677983987146971445581344672795359291299840t^{34} - 55912868459711713402175982064925473405791488t^{33} - 17542563172831646877016232083042898264641152t^{32} - 3873468553258144669726411101789008377101728t^{31} - 349134610150539948915636998657963917856352t^{30} + 164143866257062219314981767811128977490040t^{29} + 106297457387418682919816459305768701654905t^{28} + 37406442980120736686188198788566655596035t^{27} + 9960543613203420363328046990347991295772t^{26} + 2201506712720877713105441457670164890272t^{25} + 423036234213501878709240573162946758697t^{24} + 72342407960730892495561321426264779556t^{23} + 11042458755688039261504333826267702570t^{22} + 1484411532986511975677570731990835305t^{21} + 171536618020336351239170534750769410t^{20} + 16439359092663591075534887508216816t^{19} + 1220226725068512735973660984020962t^{18} + 56977250114843143422975687290978t^{17} - 462262002472091773234732191752t^{16} - 390021445787662707442789658994t^{15} - 41454871867177045965856466614t^{14} - 2684743952992147416660749192t^{13} - 126453941297136609508108541t^{12} - 5054458870398047649054943t^{11} - 177109204332101398195394t^{10} - 3702071061733091503590t^{9} + 10804479384506272367t^{8} - 1964640526091564082t^{7} - 370002377711313628t^{6} - 10849190818658777t^{5} + 12674221571402t^{4} + 3514614834828t^{3} + 45502228492t^{2} + 32111844t + 38824 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 10087686105668222587904917585369497600000000t^{45} + 86097000394940888954995569334671114240000000t^{44} + 348209562064557539080666614110839898112000000t^{43} + 886225972623528208407020087509349639913472000t^{42} + 1552364239264646702616856139549087643572633600t^{41} + 1916125198541709794418468675270007010015313920t^{40} + 1623601750187505155444561731854732530538250240t^{39} + 809764417282658252419168139906840821025996800t^{38} - 14143710513551562201003663075529967794192384t^{37} - 455266491740320244118172950032071893973991424t^{36} - 495122306454763260384205246170439979445800960t^{35} - 338616655726267848405295049609713896735739904t^{34} - 171440129823379082166883597338679614310627328t^{33} - 66686639325114770800651012978840345898736640t^{32} - 19480927577191646373819725135744966367827776t^{31} - 3695139973293970097770648841810646954590464t^{30} - 43794086077632326405676176716681260749832t^{29} + 305482793496269577241965540108788758193304t^{28} + 150826146398143936449039706864284056866613t^{27} + 48362528281625110815427508713946048561911t^{26} + 12218510113263545773805778860600019804918t^{25} + 2615249620618480287787356165016980756992t^{24} + 493036354606007906445053825509016544773t^{23} + 83139620625287192202172820319669075825t^{22} + 12472832495169365079345511831402997886t^{21} + 1633507098599253288478791581130033934t^{20} + 181827851459172482182665182346794992t^{19} + 16528352566900849668786713410764960t^{18} + 1127380165361807152613520262984854t^{17} + 42423077451189744299491482804134t^{16} - 1621761460931815540395091653268t^{15} - 419899704000270291106165298056t^{14} - 37042581098911675382156685250t^{13} - 2054676356747602398304620510t^{12} - 81847977660559129855276161t^{11} - 2550593678667163341516251t^{10} - 35779825792493140819452t^{9} + 2677516052215286619490t^{8} + 137559567046732147719t^{7} - 3303461706682520145t^{6} - 366190162273514876t^{5} - 6342697607322192t^{4} + 96761234214564t^{3} + 3209540655148t^{2} + 29205722552t + 6211840 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 1998968410138770640957259423888179200000000t^{44} + 16861965268254322371607277530119143424000000t^{43} + 67378469416279366003484388062294074982400000t^{42} + 169328798054718074890651875352738181152768000t^{41} + 292055198906878774090950732316687093622374400t^{40} + 352826578655336134473655285854457699793633280t^{39} + 288707765721224250280411403333004056041881600t^{38} + 132227038836693222525211629209506506664837120t^{37} - 17831129058979939499528376240194630926925824t^{36} - 92096550267526062967588861267466252857163776t^{35} - 92949205779172546602896219518536260281151488t^{34} - 60963324797703811011245206347042790637875200t^{33} - 29730552715356659924121363889720745081190400t^{32} - 11066098079392609876211907048158427365395200t^{31} - 3017748562585791697010661507363653970499200t^{30} - 477146474541996376210156406947899079038976t^{29} + 46659553624634758745860352300959252016800t^{28} + 66285445148961978837673306476924678708328t^{27} + 28401105022587673586436205476051173847433t^{26} + 8560404805762277111430479430721924565179t^{25} + 2085552958923010713353313738761795251210t^{24} + 437042287028113946945729629936211021368t^{23} + 81415141814942821970524530986192386462t^{22} + 13592954327167449497751839937370003894t^{21} + 2010354227245093055614946391967202440t^{20} + 257686682342713680417413463774632090t^{19} + 27847353534846653734539051014392271t^{18} + 2430865944111067174720730546636961t^{17} + 155536805873025258292176314280871t^{16} + 4916940054807675198726246744009t^{15} - 303846668400810906945528893005t^{14} - 57375968443827232693789139091t^{13} - 4359317339297366905092126093t^{12} - 200098021206753995645182015t^{11} - 5486576443685768066504742t^{10} + 910002987540743007586t^{9} + 14638292071783930150791t^{8} + 1095279370433583512675t^{7} + 26373837866242679483t^{6} - 788318313458137359t^{5} - 49928247618809655t^{4} - 392657085552487t^{3} + 19554608990722t^{2} + 400437120110t + 2506368420 \right)D + 384 t ^{3} \left( 26929905448366810020594334040064000000000t^{44} + 225206006728865993841783673328762880000000t^{43} + 891884892487640641182435096435621888000000t^{42} + 2220349733103378548436117571516088975360000t^{41} + 3785074969762150149749405994875971698688000t^{40} + 4497388376289746553552532431409318566297600t^{39} + 3578926018058718664604752374144010852761600t^{38} + 1521379891285117133698233596621868432097280t^{37} - 372259236340907966740019302567109243371520t^{36} - 1249790453140971487175397755576444453101568t^{35} - 1198527834711670038579566106876264319029248t^{34} - 761784916626398010349078717308619136053248t^{33} - 360577690668382411064477423978850574764032t^{32} - 129283548182715414917241040906896408558720t^{31} - 33062373859871433507596726287733590657632t^{30} - 4198476161283709049934424774439352712384t^{29} + 1084676581415164121169382049110360285468t^{28} + 928670546375829010090097476697205527168t^{27} + 365008760490978996216057269834144013178t^{26} + 105407002811859975053788139513714185840t^{25} + 25036258101963203666087174320941971263t^{24} + 5173994773743708179231771312465936151t^{23} + 956735188589590535514898363040487211t^{22} + 158617585958267765974598287892993457t^{21} + 23201704878598412554150767950832419t^{20} + 2926288896170959905242097444858481t^{19} + 309664238535752473175466555817313t^{18} + 26316871405320933685448593674355t^{17} + 1622581586716833280780447314523t^{16} + 47918715079237222183486664089t^{15} - 3012289656311284619969222285t^{14} - 502973071131352473351722571t^{13} - 32395463281173082596353349t^{12} - 1007069936775095249348983t^{11} + 11790430790697113413133t^{10} + 4064777844800380807093t^{9} + 352664480069938582338t^{8} + 17133337869918361212t^{7} + 277558328911061542t^{6} - 11179747434101722t^{5} - 463948702582238t^{4} + 440047237914t^{3} + 236893453812t^{2} + 3675448668t + 15723720 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 7) × ℙ2P2

|λ| = 10.20975 λ ≈ 10.20975; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.328427 - 4.536345i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.328427 + 4.536345i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.298086 - 4.5267i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.298086 + 4.5267i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.3284271 - 3.862845i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.3284271 + 3.862845i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1 - 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1 + 2i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.613577; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2
Sector dimension
13
Spectral radius
$10.2097489$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$10.20975$11
$-5.328427 - 4.536345\mathrm{i}$11
$-5.328427 + 4.536345\mathrm{i}$11
$-5.298086 - 4.5267\mathrm{i}$11
$-5.298086 + 4.5267\mathrm{i}$11
$0.3284271 - 3.862845\mathrm{i}$11
$0.3284271 + 3.862845\mathrm{i}$11
$-1 - 2\mathrm{i}$11
$-1 + 2\mathrm{i}$11
$-1.613577$11
$-1$21, 1
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 5\right) \left(\lambda^{4} + 2 \lambda^{3} - 59 \lambda^{2} - 592 \lambda - 800\right) \left(\lambda^{4} + 10 \lambda^{3} + 57 \lambda^{2} + 128 \lambda + 736\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right) \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 5\right) \left(\lambda^{4} + 2 \lambda^{3} - 59 \lambda^{2} - 592 \lambda - 800\right) \left(\lambda^{4} + 10 \lambda^{3} + 57 \lambda^{2} + 128 \lambda + 736\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 4 & 0 & 12 & 12 & 12 & 12 & 6 & 8 & 16 & 8 & 20 \\ 1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 6 & 12 & -6 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 2 & 4 & -4 & 4 & 2 & 6 & 12 & 24 & 8 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 8 & 4 & 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -3 & -2 & 0 & -2 & 2 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 2 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 8 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -2 & 2 & -2 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$