Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-378-80-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ3P3 × Fl(1, 4, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
3 copies of E^(w4) + E^(w7) + E^(w3 + w8)
Bundle
3 copies of O_2(1,0) + O_2(0,1) + Q_1 box Q_2,1^v ot wedge^3 U_2,2^v ot U_2,3^v
ZL62 label
3058.6333wH
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(4;4,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;3,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 80
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 378
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 10

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 378
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 192
$\mathrm{c}_2^2$ = 94
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 10 0 x0 - 10 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 59 0 0 x1 - 49 108
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 80 0 0 0 0 80
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 75t + 226t^{2} + 75t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(53)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(89)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 1153013t^{12} + 948972t^{11} + 534434t^{10} + 405449t^{9} - 30192t^{8} - 149939t^{7} - 53195t^{6} - 9953t^{5} - 1399t^{4} - 200t^{3} + 2t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 81337345486145516319463750272t^{29} + 471029624777749998365992584364t^{28} + 1212869148627575598570964302599t^{27} + 1994156281903896089806983833442t^{26} + 2315374244854115228325078298790t^{25} + 1912987999743677995768653220132t^{24} + 1082211210043444909714556048536t^{23} + 372509709066528079498506157848t^{22} + 29259039662331226718669668295t^{21} - 48421667721432878986520622691t^{20} - 34012228283141347142385656700t^{19} - 14301420640246014822031317554t^{18} - 4704183165860245694886007236t^{17} - 1209573762209805087111772698t^{16} - 211599151318259513732871204t^{15} - 17683508975665407993764466t^{14} + 1223684832363131660972208t^{13} + 535773100569308679428994t^{12} + 77269931649637766668287t^{11} + 6802869420351257285304t^{10} + 435278878715909369337t^{9} + 20515794585999727167t^{8} - 789746175804098844t^{7} - 38912486407733511t^{6} - 3136446012247047t^{5} + 106530984484650t^{4} + 804204375534t^{3} + 183372422589t^{2} - 2767766355t + 19319958 \right)D^{8} + \left( 3376188602316615607489938855325303296t^{41} + 22410427290513465265422248304679294604t^{40} + 68041326342491364041912709126188143106t^{39} + 133390522919604487123034955202813600094t^{38} + 189687697593052079045900980603065870104t^{37} + 203491555862232444969513125462395593660t^{36} + 166565441631126018852344369715634555310t^{35} + 103363741116747991258237573226307445384t^{34} + 45840546926179885517094011525033750060t^{33} + 10529088083362157320429542845589255479t^{32} - 3477652268967290016110406754396723080t^{31} - 5206267719811817224083063979879901120t^{30} - 3003286129107965540609942585757673485t^{29} - 1054017631303613361395693136425259260t^{28} - 191335347905088469778068618456159035t^{27} + 27757584735261950112999099835496443t^{26} + 39754460485068760258757583918088241t^{25} + 19905344904303239596482705249376277t^{24} + 6869127996622081026592337784856516t^{23} + 1710618017780339666862111441062600t^{22} + 293413320176860470999466921463835t^{21} + 30247149743713401296919648751516t^{20} + 1019897207588810094632754517574t^{19} - 1757063500432767145128453715t^{18} + 85350921382396480351630175223t^{17} + 30743563417036275515101757274t^{16} + 4524645776293912326936719238t^{15} + 97046670578359241877446316t^{14} - 82352678555438832440484216t^{13} - 16983434987159396300603334t^{12} - 1909327424791634858345664t^{11} - 144594666877180097041611t^{10} - 8184392631060535574700t^{9} - 262016422135372336140t^{8} + 12763957638639740904t^{7} + 633247563192876792t^{6} + 33639445123468668t^{5} - 1188182271161682t^{4} - 11957510668149t^{3} - 1611409874751t^{2} + 22006891134t - 135239706 \right)D^{7} + \left( 51205527135135336713597405972433766656t^{41} + 340917917525736617530071701426355237320t^{40} + 1033173179341405554830802620240009527640t^{39} + 2015071731833033820836039526202933660214t^{38} + 2834586020119223964735672085668524896836t^{37} + 2980861788114552108624402789779023034670t^{36} + 2361622714727105982131059335971514796966t^{35} + 1399227351888970087709274393445520315830t^{34} + 588828390587079898311212024078802188744t^{33} + 134059206003936344175658291562790169419t^{32} - 31065613475602244537391777967058766612t^{31} - 51943984426547647125664716757344898304t^{30} - 31459852333523590578667186136977784163t^{29} - 12698535478818182556077525633876583574t^{28} - 3630899514071072598559891999752664965t^{27} - 644828166519939908027620874126804643t^{26} + 23199688925226746041408220984891771t^{25} + 75381159849278955380968738731552239t^{24} + 33854046889431792988879491040864386t^{23} + 8654485215286576996695147335625556t^{22} + 1192590671447161411944318136870189t^{21} - 9315667862011400656435234642770t^{20} - 47529617199036795043254298377488t^{19} - 13894854961104544913080005997625t^{18} - 2802821527944080562101280630465t^{17} - 453187621423368828738791438514t^{16} - 52832740298454667120310861976t^{15} - 2613767547438011890073701224t^{14} + 363665250618840153352129542t^{13} + 92281004205674380274549568t^{12} + 10385199565198939586763510t^{11} + 741095649245169702051873t^{10} + 39091514376943850809902t^{9} + 1414293038447326152318t^{8} - 61875414544049029710t^{7} - 2630673257591737980t^{6} - 164783073374741106t^{5} + 4717239403152294t^{4} + 26010814333545t^{3} + 5130456112431t^{2} - 61607231586t + 328439286 \right)D^{6} + \left( 425399763891893566543732295770988215296t^{41} + 2839390330249736827875581209962758139992t^{40} + 8595719038681169467422115298905175635622t^{39} + 16716369206111132325984128370205809955670t^{38} + 23355683595916261854756827094684561674240t^{37} + 24203353404937211338384005219412034615940t^{36} + 18636721233395766829459086789207088533386t^{35} + 10487897320228736663455066559791140766132t^{34} + 4004387764511281092071069708215570015712t^{33} + 665922941448236905972308139712483739929t^{32} - 373143658112503449860453261066426108082t^{31} - 417347596943978863887950736112581848036t^{30} - 238562020084010655891147515453926401891t^{29} - 99704611177828498803383150231389807130t^{28} - 32430914577088067964243176241248076927t^{27} - 8142384570521728537004782500890721245t^{26} - 1376371799329499110633551562918408825t^{25} - 31798451951026870558977186453835729t^{24} + 69232319438950513272893530052637694t^{23} + 23546315277542764170660779576978504t^{22} + 3775333155762580043781550302505311t^{21} + 240580083530279579329896286494418t^{20} - 10500257780200262520276032716096t^{19} + 2460194843758474532831661572729t^{18} + 2873945849660264228351807761755t^{17} + 834219278131473819367457573052t^{16} + 130525914340405496236115016312t^{15} + 9351799832697415598541752010t^{14} - 501594989824316198707459104t^{13} - 189108656997108163523223210t^{12} - 21945176309916596247749148t^{11} - 1456373286948222063449835t^{10} - 68139364856472940136604t^{9} - 2877992146799141680854t^{8} + 118699599252173179338t^{7} + 4201829464683376962t^{6} + 319362830047056654t^{5} - 7696987248015234t^{4} - 32211196407747t^{3} - 6417461123019t^{2} + 70034011344t - 328439286 \right)D^{5} + \left( 2105334942594602882570601037866603713664t^{41} + 14081658363024792870913419573499256443964t^{40} + 42605069232414857527265345816809817936537t^{39} + 82733703095191900062117207626983182050612t^{38} + 115131878242841747003112194651470563632316t^{37} + 118107296003436562568214457378313842508319t^{36} + 88948539419844475497955323248928190016476t^{35} + 47803879591769232881505752069899078240177t^{34} + 16327523079715109821562577585749385752636t^{33} + 1246257185727574343336626692649939956903t^{32} - 2644902182486283520993063520913641766273t^{31} - 2240872554291251557104928913403814362071t^{30} - 1182991482780965932437881966444431696410t^{29} - 482518810569208556006527774031920875256t^{28} - 158015720441267440333380560546476321794t^{27} - 41276366104958515562236114227169977357t^{26} - 8123924401175833002109414418117130091t^{25} - 941336667159300601166878065063089452t^{24} + 46649307951692630757804871102659663t^{23} + 45341287179544518786650693860659325t^{22} + 8422645190094909992863620750315208t^{21} + 371445270536914304972494311725619t^{20} - 169448790119218901106358675430360t^{19} - 52798945073766896408277562540208t^{18} - 9853834210707803608403414365134t^{17} - 1530395323582399011610313126280t^{16} - 186728697826885522909396170702t^{15} - 11863859295092349397643985138t^{14} + 503382102702610203188425872t^{13} + 183277742840028465489770574t^{12} + 18966749269760570030913276t^{11} + 995228157187111525542105t^{10} + 29920787085256601080812t^{9} + 1552130348211327633975t^{8} - 82984910238770909787t^{7} - 1815269107434213546t^{6} - 202888025575083468t^{5} + 4131644600276694t^{4} + 15403003236396t^{3} + 2754029496717t^{2} - 27792864261t + 115919748 \right)D^{4} + 2 t \left( 3155048248864877285199347860301495930112t^{40} + 21138500448547835845941815085387388556038t^{39} + 63939079304668392918549677861434445848372t^{38} + 124085824460006471421096523987598851639318t^{37} + 172297087157894165044367280243583910896348t^{36} + 175562506290688788307133483103559981348944t^{35} + 130084992598778854228176636192247468313068t^{34} + 67352237598386744570363991781993009296494t^{33} + 20615376450471335127500481800823217389958t^{32} - 558868987323993323160363391138391446562t^{31} - 5031616128437824002924611168098094219475t^{30} - 3673045590003310904078290915317179401192t^{29} - 1823435413402023039431053778891547589494t^{28} - 717732066262311909752886798067396441051t^{27} - 228821645800227928668484425722916668883t^{26} - 58408500186960663646658902225469015869t^{25} - 11555827612781010667084568049422146898t^{24} - 1572130134786400860773589765491305976t^{23} - 62728100014838162613642376640346325t^{22} + 32396732630434979019857440784293330t^{21} + 9207966492669386088628339528406421t^{20} + 1235645482472520302765327822248319t^{19} + 76018287227291373224732118399619t^{18} - 2681168951240149092382231058591t^{17} - 744767116018000445791790676141t^{16} - 37672127280491781057995872449t^{15} + 6056378575512082844419274457t^{14} + 2438161249346125177784948985t^{13} + 280336341018946915917741624t^{12} + 18172635302037198899891484t^{11} + 712003734512640409310580t^{10} + 15941405939767094274729t^{9} - 703294139250402196314t^{8} - 91221391320129406809t^{7} - 3315805395728678001t^{6} - 61425885528880713t^{5} + 2572403364855639t^{4} + 13351335307614t^{3} - 810415502244t^{2} + 2175621525t - 4139991 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 2769506267083665986244038453794764767616t^{39} + 18580369482672951443308599043166267187720t^{38} + 56196438467375229148327667132760540612175t^{37} + 109045221488160038499670916325831831405564t^{36} + 151244059709309410138949844701819784889976t^{35} + 153438136663263200940566025180015478841217t^{34} + 112387208062266880754164961001403085968569t^{33} + 56549235404574090197204395614468309879637t^{32} + 15673408952237355433880626423900275278031t^{31} - 2094865627434529362856813942315291289934t^{30} - 5176642982043906108653165074557656083242t^{29} - 3481749958203645245101027278227967578561t^{28} - 1659507099075827137076557076847685989171t^{27} - 633619322106919900325518681890343459939t^{26} - 195400385017128439205417311839293514960t^{25} - 47703639044838350636241620191443269211t^{24} - 8971290969105919136491290547088925694t^{23} - 1187870408377718338984359945877738960t^{22} - 55550466925886177483283752057288918t^{21} + 22602098177793801936909358436019899t^{20} + 7628198141708702233520230489526402t^{19} + 1337190080227220366673327975199646t^{18} + 155676098115234964807928154997335t^{17} + 13873562250899863029056472368937t^{16} + 1331715332075249350222026462588t^{15} + 130297621833893555514488155257t^{14} + 12847972906786490279007528438t^{13} + 1860572592038331712450803405t^{12} + 169341185896063483668794334t^{11} + 11600694396960796483253220t^{10} + 519551951989638102102480t^{9} + 8552785117683102567291t^{8} - 924480108397505442807t^{7} - 60068966794564570749t^{6} - 1750668763252598343t^{5} + 7077728669522751t^{4} + 1094315448386781t^{3} - 13344113405934t^{2} - 174881921670t + 540958824 \right)D^{2} + 24 t ^{2} \left( 428213254393824079549973911483759301376t^{39} + 2875795051876103042038146211400596443702t^{38} + 8697884807728933895190701390149790776812t^{37} + 16879189953769670530693332942253330708590t^{36} + 23399447837962657578475418303797106636040t^{35} + 23673003082003857759531934904335281179982t^{34} + 17202047000596948438504749642757119328407t^{33} + 8475841032140742427352731189057093466066t^{32} + 2160392812998031209125887913006406057122t^{31} - 505514623227271817697329797230657753303t^{30} - 891415555960603519212333683977449327141t^{29} - 572309157247073581111061181170186214787t^{28} - 266014317238431350016355770364591357923t^{27} - 99387441785313197384071229479235296374t^{26} - 29780412960105566326661589517750351737t^{25} - 6942090599955885540284727146062351701t^{24} - 1217421085889917476926247055407282150t^{23} - 146020187301522492728415994799707896t^{22} - 4196269331841109624176463361815422t^{21} + 3617711940007242712751830545721461t^{20} + 1178873968871138123860794293032201t^{19} + 222486286204862088872442847057356t^{18} + 29769863236162533854682251500488t^{17} + 3241369909126084343880290015682t^{16} + 334705644351486041708839351503t^{15} + 28356822025980982980863126047t^{14} + 1996276006550700182576118439t^{13} + 213659856350905907243666532t^{12} + 18391178717666082197399688t^{11} + 1531240259756920201331394t^{10} + 75610774343335104535134t^{9} + 810973539428422780431t^{8} - 138827187939326003361t^{7} - 7698838677515471394t^{6} - 161037971421857712t^{5} + 3332061523400922t^{4} + 72689368459572t^{3} - 2021516403678t^{2} - 5419560312t + 25759944 \right)D + 144 t ^{3} \left( 26259244684684788058255079985863470080t^{38} + 176480613876915869346669976199334377460t^{37} + 533786591398152998730871159542605067260t^{36} + 1036031748475555748343292311194770778100t^{35} + 1435959665582359043571299192790187387888t^{34} + 1450258979553959189157981730869079790730t^{33} + 1048322277469701824897488541177683160744t^{32} + 509116130338840299587955164251231153160t^{31} + 121660527088871716932474120687597943515t^{30} - 38712377858861972289979495427650883430t^{29} - 58686827090825127085987975154208453154t^{28} - 36693428897720018222127613868891083363t^{27} - 16805781348970862969504498341135216252t^{26} - 6192053682819140140865891445701875421t^{25} - 1816826874950501680961063118494523853t^{24} - 407724734850133804973161479449071711t^{23} - 66800884415548546029204930423168408t^{22} - 7029462203168364961830223257950824t^{21} + 18994393059890615187547963551974t^{20} + 240836643300799132685761488269364t^{19} + 72395603824869424691404447207825t^{18} + 13854851155619735662766810274727t^{17} + 1951988997035346596756908427417t^{16} + 227136234527755759559018999171t^{15} + 23689330107924737624860117311t^{14} + 1853094344783360579758408030t^{13} + 105789203949583277071022350t^{12} + 9231022488932839020528285t^{11} + 817916610795721085481747t^{10} + 84469379753612635635810t^{9} + 4308483127722108250032t^{8} + 28177943856701857542t^{7} - 7606344626456331870t^{6} - 404039760944276646t^{5} - 5638336324265430t^{4} + 207541853418168t^{3} + 1704803964768t^{2} - 87563444256t + 49601160 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ3P3

|λ| = 7.275212 λ ≈ 7.275212; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.428364 - 4.872482i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.428364 + 4.872482i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.534332 - 2.185999i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.534332 + 2.185999i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.32471 - 3.521731i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.32471 + 3.521731i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.892062; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.787146 - 0.09838844i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.787146 + 0.09838844i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.1341873 - 1.299365i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.1341873 + 1.299365i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$7.27521246$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$7.275212$11
$1.428364 - 4.872482\mathrm{i}$11
$1.428364 + 4.872482\mathrm{i}$11
$-4.534332 - 2.185999\mathrm{i}$11
$-4.534332 + 2.185999\mathrm{i}$11
$-3.32471 - 3.521731\mathrm{i}$11
$-3.32471 + 3.521731\mathrm{i}$11
$1.892062$11
$-1.787146 - 0.09838844\mathrm{i}$11
$-1.787146 + 0.09838844\mathrm{i}$11
$0.1341873 - 1.299365\mathrm{i}$11
$0.1341873 + 1.299365\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 7 \lambda^{11} + 2 \lambda^{10} - 200 \lambda^{9} - 1399 \lambda^{8} - 9953 \lambda^{7} - 53195 \lambda^{6} - 149939 \lambda^{5} - 30192 \lambda^{4} + 405449 \lambda^{3} + 534434 \lambda^{2} + 948972 \lambda + 1153013\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 7 \lambda^{11} + 2 \lambda^{10} - 200 \lambda^{9} - 1399 \lambda^{8} - 9953 \lambda^{7} - 53195 \lambda^{6} - 149939 \lambda^{5} - 30192 \lambda^{4} + 405449 \lambda^{3} + 534434 \lambda^{2} + 948972 \lambda + 1153013\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2 & -3 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 5 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$