Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-352-75-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × Fl(1, 3, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
2 copies of E^(w6) + E^(2w4) + E^(w1 + w2)
Bundle
2 copies of wedge^2 Q_2,1^v ot wedge^2 U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(0,2) + O_1(1) box O_2(1,0)
ZL62 label
154.559g
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 75
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 352
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 10

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 352
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 184
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 64
$\mathrm{c}_4$ = 16
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 - 10 0 x0 - 10 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 94 0 0 x1 94
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 119 0 0 x1 - x2 + 44 0 75
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 70t + 210t^{2} + 70t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(105)
Coates et al. (2020) Obro(4,73)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(151)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 11t^{4} + 36t^{3} + 8t^{2} - t - 1 \right) \left( 243t^{4} - 36t^{2} - 5t - 1 \right) \left( 691t^{4} + 360t^{3} + 44t^{2} - 5t - 1 \right) \left( 7486452148966453362882995961579t^{29} + 38200030967356434667656069191820t^{28} + 93190745640165453493317110388591t^{27} + 141073268379872251978089081719685t^{26} + 147624156027961431046111895525268t^{25} + 113330363865925890294803974558200t^{24} + 66185427178139652093497419031384t^{23} + 30091743258971179039218620168819t^{22} + 10816300731055362142376859516247t^{21} + 3110389387422336959265147765070t^{20} + 726139484702445343412301412463t^{19} + 141818287688084292334159862798t^{18} + 24707709058656324424784855350t^{17} + 4209422194515291460946864447t^{16} + 730531731489155076923548184t^{15} + 123293037878466839624458040t^{14} + 19869513963835998704495257t^{13} + 3239369224913481468607628t^{12} + 524800307423697396470933t^{11} + 72907784715075757878901t^{10} + 7538619025770015548517t^{9} + 521240994952382234854t^{8} + 19995843401754628290t^{7} - 21962648233035960t^{6} - 56793685985085416t^{5} - 3977730987330496t^{4} - 141145332806296t^{3} - 2178074877736t^{2} + 41930437928t + 597953664 \right)D^{8} + \left( 497800765317004017074621910355059392292t^{41} + 4184373038609220025305070134891462166380t^{40} + 15617880109904296561647719616788520571614t^{39} + 35176366032213048573232664020882844783127t^{38} + 53815521465547071264395072636397656904036t^{37} + 59410156480493129850986790588808736678640t^{36} + 48871012506188018093420633780416906075407t^{35} + 30272941872083765915177898474442130071674t^{34} + 13876321019038361988602859585959212422498t^{33} + 4315691220528740807378080902473279168643t^{32} + 540757730608956362979904287830138031721t^{31} - 308412932189586736614923136785905695450t^{30} - 254355155372044115361460633903150916149t^{29} - 108305424105932097557972984118054909105t^{28} - 33354374002350604058023411537844958783t^{27} - 8139149947519194905045583103838532250t^{26} - 1660795328259864460502796209083811388t^{25} - 295385282650589354689583737057334914t^{24} - 45914210671922864249454097566049675t^{23} - 5626531550173315044695896899221653t^{22} - 332181802452232497433591006134008t^{21} + 59959358734855689857676194388477t^{20} + 24237585361787943140991581634306t^{19} + 5698503846329287672162797025758t^{18} + 1348269172787075306391283840413t^{17} + 318831214630470857715085246188t^{16} + 64176555420109500595018940792t^{15} + 10406734281932880415420881467t^{14} + 1419102950460947646460421009t^{13} + 176813293208640778412476415t^{12} + 20733892247774915027694053t^{11} + 2120600665778450066952809t^{10} + 167980666425042791782902t^{9} + 9083079354645775919482t^{8} + 253113415770076982820t^{7} - 4674812919347984032t^{6} - 900944493512418760t^{5} - 49578939116616008t^{4} - 1483234344649080t^{3} - 18737009863288t^{2} + 342020993728t + 4185675648 \right)D^{7} + \left( 7549978273974560925631765640385067449762t^{41} + 60329155644704769097660272058723583070816t^{40} + 218939291357858563935796027757111416079160t^{39} + 485195690834266571947190876442972471443799t^{38} + 737060723414300642668090511132506636187280t^{37} + 816008222025262337717361771394881972381630t^{36} + 682562292223732753197822126950834841013911t^{35} + 440023434591030856041945344161970002740408t^{34} + 219850971393830079461420661222527113706034t^{33} + 83999532131334795434714255861798493221823t^{32} + 23226299947326070901863713302159201705947t^{31} + 3699440985500600498547703475436483222392t^{30} - 291139641193861500721797127655253771573t^{29} - 435027855433315313885606755462423355313t^{28} - 173917100580711997767527364468914620511t^{27} - 48531914761089618116301274589339948912t^{26} - 11359585075629571618245360602339432606t^{25} - 2520447922508399775794663335428144952t^{24} - 565880162238946457874344087420400285t^{23} - 126596201934211710025174518301334615t^{22} - 27100412859619546863641910502658300t^{21} - 5434405612415073564526806142104425t^{20} - 1000825435671271165044022121531464t^{19} - 162947676351303294676464710124706t^{18} - 22475259767693562426424791446205t^{17} - 2578423845841535978330307792904t^{16} - 256885482029413019251044944844t^{15} - 26084103649032029372020747953t^{14} - 3342593953274114725903014477t^{13} - 519354969890139462197618189t^{12} - 76887783400965316726761721t^{11} - 9148023005866954510919873t^{10} - 799049265152715199238598t^{9} - 47547853372177572159010t^{8} - 1672969273381398043116t^{7} - 12299777204966661080t^{6} + 2264349741686300712t^{5} + 145351118089920376t^{4} + 4359763057912664t^{3} + 59620069698264t^{2} - 892489321536t - 10165212288 \right)D^{6} + \left( 62722896429942506151402360704737483428792t^{41} + 479368788858771594454766746283789356233048t^{40} + 1692984935041855719425284653674176972471434t^{39} + 3685353582562334307469095206093293632452361t^{38} + 5537806576036380851970049255344541625073378t^{37} + 6106204908824329283569087338771827574016152t^{36} + 5128906317809556470741780664578147487095607t^{35} + 3359073203948789652812773583260468272350808t^{34} + 1737909318846996783391541214550843445920740t^{33} + 712994273545234274138369515936474048163871t^{32} + 230224091890325314444890761675489353396561t^{31} + 56974468637713776429255000981763452030870t^{30} + 10030852949273369510190377428382304764615t^{29} + 932338073816006870400153161121823314185t^{28} - 89028016905015994326315826571957687129t^{27} - 55971705146573344293564496046579402824t^{26} - 13072335477377155899612943354299029492t^{25} - 2301746204999912130077328412916639602t^{24} - 380910676049276464504500557137347671t^{23} - 67588122523869138916433165632895833t^{22} - 15995874210835158413573258251566548t^{21} - 5142580264635143033779264193234099t^{20} - 1551638048441668954592539741756638t^{19} - 355871536517994989216357515611768t^{18} - 58866494822361087494143800670201t^{17} - 6775531122584651257960074731954t^{16} - 475649733057772475666825308334t^{15} - 2953172888403969192619649937t^{14} + 4807283757268048902794888435t^{13} + 961958490138147349046879929t^{12} + 140709966158888200015654259t^{11} + 16621868366965872962957357t^{10} + 1484747000157045120655712t^{9} + 92704798810312504484474t^{8} + 3650843287167333809200t^{7} + 64729645383034457832t^{6} - 1795183853857554808t^{5} - 166329732248722616t^{4} - 4978923982043144t^{3} - 69647013121208t^{2} + 977171293136t + 10165212288 \right)D^{5} + \left( 310420260572261754980782979598909119376753t^{41} + 2282959060279270332301121295001730108209128t^{40} + 7859326149125457275503596970663787007849447t^{39} + 16795371410403025259924779779659608614630315t^{38} + 24909287076057816307130014220410399258842381t^{37} + 27243022082498765866239353540304421630145103t^{36} + 22816717298803689959408098478403882068935578t^{35} + 14996830788265331842731593973044393641371936t^{34} + 7857969930876759013381361279838573714896847t^{33} + 3312278749528352600315547435733755733563363t^{32} + 1127218177840405869705273840266379370403497t^{31} + 309461653767706773366207468838186989714383t^{30} + 68416017198497958926849020488116627908251t^{29} + 12308195535397546652449730105565125573172t^{28} + 1920168935699722917449214746915825786583t^{27} + 308355204671992897814168467947613661110t^{26} + 58699940663019417245398316194145241103t^{25} + 11667273913728265465721125653469042503t^{24} + 1999308001528908383063898093179270053t^{23} + 241508266564385032464085197599679907t^{22} - 4959365123322799030954789013909660t^{21} - 15485248543079172593328162753422654t^{20} - 5727908437970008512112134002207559t^{19} - 1323583372169117157062866983098517t^{18} - 216737334665637239799197103915137t^{17} - 26003932851569183203241618208535t^{16} - 2295734586228604535274224777291t^{15} - 146002373218455312335494790604t^{14} - 6480828804406218931386867173t^{13} - 313983244645667060760631954t^{12} - 52692325699950387942213472t^{11} - 9229206864956957609743391t^{10} - 1020425998759156091914989t^{9} - 71676829810772558360234t^{8} - 3123045289548475834818t^{7} - 72164709647034923320t^{6} + 186378855142866968t^{5} + 71737917095575440t^{4} + 2032375054478800t^{3} + 25909918837560t^{2} - 378500808856t - 3587721984 \right)D^{4} + 2 t \left( 465194815188740253956234175226803002096874t^{40} + 3312018929505439504476686907149385435346710t^{39} + 11140742852711105840245774959589980896611428t^{38} + 23382386191758044408032406554174470540849804t^{37} + 34196814086181705173459644913676020122196397t^{36} + 37015739969962855746554819014120489014415596t^{35} + 30792543577514896426558258822127725313233557t^{34} + 20181488623081390013038287195941947807413111t^{33} + 10595409284497774636340974891376019378038829t^{32} + 4504448367297487707004344468812414266210311t^{31} + 1561193936615411317739281325790867847032083t^{30} + 443310639547310968093836885498144085304118t^{29} + 104025861650232096595549418084672585637955t^{28} + 20716528532949361125348019646838789026632t^{27} + 3761631412700056700583511741229591255244t^{26} + 703209464220286318762491208827685844757t^{25} + 145479447673620233510475303407822820544t^{24} + 31612210820982409010096257285124261282t^{23} + 6700231896710058208663690637021446489t^{22} + 1308715057153812869858179089038480675t^{21} + 211316633529841962284066430631527126t^{20} + 21457227124562987734126787090405763t^{19} - 602164132785791879446378032870786t^{18} - 766439270619444227581909569984335t^{17} - 172594097262289383588360752084478t^{16} - 23947504603472521044397469968905t^{15} - 2291718832284014877781749960205t^{14} - 146501162947786536301506075625t^{13} - 4459024422367516753204692958t^{12} + 225427446213679080175360792t^{11} + 38969979493756457489892572t^{10} + 2593235152689408936715493t^{9} + 106406516487967511489285t^{8} + 3295371875829850857390t^{7} + 124994912921035245902t^{6} + 6497355049586098652t^{5} + 227867234921913792t^{4} + 3366563363106912t^{3} + 21055951009856t^{2} - 51532818408t + 152885880 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 408348733349345711895296100963757192049307t^{39} + 2831086855540254104881873948381636933646076t^{38} + 9332986348249407703810194715144992956185665t^{37} + 19265471864547411434170656414989662213005549t^{36} + 27792216839206533475246292445782472346775520t^{35} + 29752284921714321728211188735978044535253273t^{34} + 24539355207419298839666007908404162917713292t^{33} + 15986449343365458493791522951041725250541699t^{32} + 8365723433067682716693749870128414958849886t^{31} + 3556623764258129347620216840579016596995861t^{30} + 1237723518721159343605152332847852489023539t^{29} + 354706164254015375029740532653834227720617t^{28} + 84534289283495622643998115951830141096676t^{27} + 17205564986081839736800015896645507228638t^{26} + 3195702845067801040219604869963325167569t^{25} + 604521183999746746226622930935539073453t^{24} + 125668555382946650319684121026069530143t^{23} + 27980979250167150966763180353284337575t^{22} + 6267951923094040261289402326536477615t^{21} + 1322373162984436531461850111180130064t^{20} + 238794723083375490473254702702669204t^{19} + 32166182698797180963502489644729862t^{18} + 2324668674410101879607333113063779t^{17} - 157937972724315834941413123502762t^{16} - 75844472323726696110943261409891t^{15} - 12249234214434033617878855698117t^{14} - 1235441846496904698318843803871t^{13} - 79415191616540268570726636847t^{12} - 2148656629696557563551677159t^{11} + 169488802817184425868211274t^{10} + 25756471256246589651444898t^{9} + 1749344222424825056590408t^{8} + 78614973380692543930256t^{7} + 2742320023020007503768t^{6} + 94625155628341929608t^{5} + 3592466355553373224t^{4} + 95071514312515400t^{3} + 1114167394870592t^{2} + 6669649901408t - 21526331904 \right)D^{2} + 8 t ^{2} \left( 189413191203120028496893636890100098767106t^{39} + 1286177644509657039509746892128210535206914t^{38} + 4170365988982432302939819901494930539551332t^{37} + 8486458627390313303924266827573061187503878t^{36} + 12092466150504249173090623475398383248226204t^{35} + 12810196280126909064396153698980176829021560t^{34} + 10473522305332868111579755505847654089400381t^{33} + 6774872748173168642169226561247962099673136t^{32} + 3526180345888122902754078979566058087901604t^{31} + 1493624874007566901647629425908186251829249t^{30} + 518750778033353974792868343244765997125827t^{29} + 148561447150385001425251838065355739496194t^{28} + 35387508525571292126797379045356491711276t^{27} + 7180128651468946406762515741527837223402t^{26} + 1319859626656129634331805167244803923740t^{25} + 245379624121826637628488197914198474312t^{24} + 50661129830573809027483060681426215216t^{23} + 11547879297736030572297962686518151112t^{22} + 2719001527707915068971818171144210431t^{21} + 607794459535547454905625168713343326t^{20} + 116810817190980972412263656823022658t^{19} + 17393128134399396102794743228325737t^{18} + 1726891130655227972238940915858512t^{17} + 56053658429468451759817185203324t^{16} - 15217070049681360167527064268238t^{15} - 3315742042903782895561079498939t^{14} - 363188813453916153248288819843t^{13} - 23889013493141822678193682194t^{12} - 597735348231942781870966108t^{11} + 61490167282144224496775564t^{10} + 8846485272593507038682738t^{9} + 606532432768242589139756t^{8} + 28035576505146822708756t^{7} + 989096675212153450632t^{6} + 31582424766416382968t^{5} + 1010396728192500480t^{4} + 21875564297948944t^{3} + 216425293034624t^{2} + 1074266425904t - 2391814656 \right)D + 96 t ^{3} \left( 5807675595365046865870588954142359576740t^{38} + 38846390865859623475710799341955625955510t^{37} + 124399305551235000474246760913948806370430t^{36} + 250348321434415720801013296158236609735820t^{35} + 353209515248402452678411961000930871866232t^{34} + 370923945523244202226655223233864025372918t^{33} + 300967944557819192680139494231384602084897t^{32} + 193415125992030449437626303868230145762458t^{31} + 100115029912358356352888509805273431989228t^{30} + 42212566838514369064740471319214941548975t^{29} + 14602762224179712140239138984652621887023t^{28} + 4164849154484486100750671749816003085688t^{27} + 986180645157975692394132003908443692960t^{26} + 197865533013736919383397506421858564300t^{25} + 35619478053841157466378670020944018624t^{24} + 6442093814083844216378173525511382938t^{23} + 1314072344268820928998066920820424138t^{22} + 306438427991150194239639306191962782t^{21} + 75606581717622592836101259484744101t^{20} + 17739614719244312128011696321065634t^{19} + 3562375747693993223488888835341930t^{18} + 560283343452042117933469714942433t^{17} + 62654133087830148951147335468616t^{16} + 3866878078662468989271215573564t^{15} - 121387801148326310173910455560t^{14} - 60306574808835735307240176007t^{13} - 7500264633057736394456000045t^{12} - 516478330946969077876228008t^{11} - 12803312253388277213178486t^{10} + 1458677193258125909796818t^{9} + 208915657084171305569452t^{8} + 14521595446747732391392t^{7} + 679546602459621701924t^{6} + 23639562317187702076t^{5} + 701416420515416360t^{4} + 19675175828914208t^{3} + 364347354406320t^{2} + 3386357753472t + 11307174912 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × Fl(1, 3, 6)

|λ| = 7.856831 λ ≈ 7.856831; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.159376 - 5.881002i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.159376 + 5.881002i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.766661; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.045085 - 1.445039i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.045085 + 1.445039i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.799605; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.234552 - 1.940705i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.234552 + 1.940705i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.852048; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.1708; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.3305004; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$7.85683095$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$7.856831$11
$-2.159376 - 5.881002\mathrm{i}$11
$-2.159376 + 5.881002\mathrm{i}$11
$-4.766661$11
$-4.045085 - 1.445039\mathrm{i}$11
$-4.045085 + 1.445039\mathrm{i}$11
$3.799605$11
$-2.234552 - 1.940705\mathrm{i}$11
$-2.234552 + 1.940705\mathrm{i}$11
$-2.852048$11
$2.1708$11
$-0.3305004$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{4} + 5 \lambda^{3} + 36 \lambda^{2} - 243\right) \left(\lambda^{4} + \lambda^{3} - 8 \lambda^{2} - 36 \lambda - 11\right) \left(\lambda^{4} + 5 \lambda^{3} - 44 \lambda^{2} - 360 \lambda - 691\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{4} + 5 \lambda^{3} + 36 \lambda^{2} - 243\right) \left(\lambda^{4} + \lambda^{3} - 8 \lambda^{2} - 36 \lambda - 11\right) \left(\lambda^{4} + 5 \lambda^{3} - 44 \lambda^{2} - 360 \lambda - 691\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 6 & 0 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & 4 & 3 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & -3 & -2 & 0 & 2 & 4 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 3 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & -3 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$